什(shén)麽樣的(de)收益率特性适合趨勢追蹤策略

作者：石川

1 引言

在交易中如果想掙錢，就必須借助市場(chǎng)的(de)“大(dà)勢”：在牛市中做(zuò)多(duō)；在熊市中做(zuò)空。事實上，在商品期貨交易中的(de)大(dà)部分(fēn) CTA 策略都是趨勢追蹤策略。在股票(piào)交易中，雖然不易做(zuò)空，但是隻做(zuò)多(duō)的(de)趨勢策略依然有很好的(de)效果。

聽(tīng)起來(lái)，趨勢追蹤像是“包治百病的(de)良藥”。不過，來(lái)看兩個(gè)例子。

這(zhè)兩個(gè)例子說明(míng)每個(gè)趨勢跟蹤策略都有著(zhe)特定的(de)參數；參數的(de)背後是使用(yòng)者對(duì)于投資品（對(duì)數）收益率的(de)基本假設。比如該投資品在什(shén)麽頻(pín)率上有趨勢？分(fēn)鐘(zhōng)線？小時(shí)線？日線？周線？月(yuè)線？年線？又如該收益率的(de)趨勢相對(duì)于噪聲的(de)強弱程度等。在上面這(zhè)兩個(gè)例子中，顯然上證指數符合該策略的(de)假設，而标普 500 和(hé)它的(de)假設背道而馳。

那麽，投資品的(de)收益率一般有哪些特性呢(ne)？我們又如何利用(yòng)它們來(lái)選擇合适的(de)趨勢追蹤策略呢(ne)？這(zhè)就是本文的(de)話(huà)題。需要說明(míng)的(de)是，雖然下(xià)文中定義了(le)嚴謹的(de)數學模型，且包含了(le)大(dà)量的(de)仿真實驗，但是本文仍屬于定性的(de)文章(zhāng)。文中并沒有給出太過定量的(de)結論，我們的(de)重點是想從定性的(de)角度來(lái)回答(dá)提出的(de)問題。另外，爲了(le)簡化(huà)討(tǎo)論，我們僅考慮隻能做(zuò)多(duō)的(de)趨勢追蹤策略。

2 均值、自相關、白噪聲

投資品的(de)收益率一般包含三個(gè)部分(fēn)：（長(cháng)期）均值，自相關性和(hé)白噪聲。

在這(zhè)三部分(fēn)中，白噪聲是随機擾動；對(duì)于另外兩個(gè)部分(fēn)，當長(cháng)期均值越高(gāo)，自相關性越強，趨勢追蹤策略的(de)效果則越好。那麽長(cháng)期均值和(hé)自相關性這(zhè)兩個(gè)因素之間哪個(gè)更重要呢(ne)？它們分(fēn)别又對(duì)趨勢追蹤策略有什(shén)麽樣的(de)影(yǐng)響呢(ne)？爲了(le)便于分(fēn)析，我們利用(yòng)數學模型來(lái)人(rén)工合成對(duì)數收益率。這(zhè)些對(duì)數收益率滿足給定的(de)長(cháng)期均值 μ，自相關性 ρ，以及白噪聲的(de)波動率 σ。該數學模型如下(xià)所示：

其中，e_t 是白噪聲序列，它滿足均值爲 0，标準差爲 σ 的(de)正态分(fēn)布。r_t 是我們構造的(de)人(rén)工對(duì)數收益率序列。爲了(le)使它滿足給定的(de)長(cháng)期均值 μ 和(hé)自相關性 ρ，構造過程中使用(yòng)了(le)輔助序列 b_t。首先利用(yòng)叠代構造出滿足自相關性 ρ 的(de)序列 b_t。由于在構造 b_t 時(shí)可(kě)能會引入意外的(de)均值 μ_b，因此在利用(yòng) b_t 構造 r_t 時(shí)，将 μ_b 去除并把給定的(de)均值 μ 加回來(lái)。這(zhè)樣最終生成的(de)對(duì)數收益率序列 r_t 同時(shí)滿足的(de)長(cháng)期均值 μ 和(hé)自相關性 ρ。這(zhè)就是上面四個(gè)式子所表述的(de)過程。

利用(yòng)這(zhè)個(gè)數學模型，以 μ、ρ、σ 作爲輸入，就可(kě)以人(rén)工生成對(duì)數收益率序列。當然，爲了(le)使這(zhè)個(gè)研究對(duì)投資實踐有借鑒意義，這(zhè)三個(gè)參數的(de)取值需要貼近實際。此外，由于研究的(de)重點是收益率的(de) μ 和(hé) ρ 對(duì)趨勢策略的(de)影(yǐng)響，研究中将 σ 的(de)取值固定。假設我們合成的(de)是日收益率序列，則 σ 的(de)合理(lǐ)取值爲 0.01。在決定 μ 和(hé) ρ 的(de)取值時(shí)，考慮如下(xià)一些參照(zhào)：

可(kě)見，除了(le) A 股的(de)大(dà)牛市那段神一樣的(de)存在外（注意，那一段收益率的(de)均值比平時(shí)高(gāo)出了(le)一個(gè)數量級！我們後面會針對(duì)這(zhè)點來(lái)特别論述），其他(tā)時(shí)候對(duì)數日收益率的(de)均值在 0.0004 左右。在自相關性方面，除了(le)标普爲負之外（雖然是負的(de)，但是事實也(yě)非常接近 0），A 股不同階段的(de)自相關性在 0.02 到 0.1 之間。鑒于以上的(de)數據，我們決定 μ 和(hé) ρ 的(de)取值如下(xià)：

μ：0.0001，0.0005，0.001

ρ：0.01，0.1，0.2

将它們兩兩組合便得(de)到 9 組不同的(de) μ 和(hé) ρ，由此便可(kě)以根據上述數學模型構建任意長(cháng)度的(de)對(duì)數收益率序列。在實驗中，每一組序列包括 2500 個(gè)點（假設一年有 250 個(gè)交易日，則這(zhè)個(gè)長(cháng)度相當于十年）。此外，由于生成的(de)是對(duì)數收益率，因此該序列的(de)累加和(hé)就是其對(duì)應的(de)（以初始價格的(de)對(duì)數值爲偏移量的(de)）對(duì)數價格曲線，将該偏移量消除并将對(duì)數價格曲線的(de)每一項進行指數運算(suàn)就可(kě)以得(de)到價格曲線。在實驗中，假設投資品的(de)原始價格爲 100。

下(xià)圖爲這(zhè) 9 組 μ 和(hé) ρ 參數下(xià)生成的(de)一組樣本人(rén)造價格曲線（由于在生成對(duì)數收益率的(de)過程中引入了(le)随機誤差，因此即便是給定了(le) μ 和(hé) ρ，每次生成的(de)價格曲線也(yě)不相同。因此下(xià)圖僅僅是每組參數下(xià)的(de)一條樣本價格曲線）。

從這(zhè) 9 條人(rén)造價格曲線中可(kě)以看出：

這(zhè)些不同的(de)參數對(duì)趨勢追蹤策略有什(shén)麽樣的(de)影(yǐng)響呢(ne)？下(xià)面就來(lái)看看一個(gè)給定的(de)趨勢追蹤策略會在不同的(de)參數下(xià)有什(shén)麽樣的(de)表現。

3 不同 μ 和(hé) ρ 參數下(xià)的(de)趨勢追蹤策略效果

在展開本節的(de)討(tǎo)論之前，必須說清楚兩個(gè)問題：

1. 本節的(de)标題事實上是一個(gè)非常“宏偉”的(de)課題。如果想要系統的(de)考察 μ 和(hé) ρ 如何影(yǐng)響趨勢追蹤策略，則必須考慮不同的(de)趨勢追蹤策略，并且對(duì)于每個(gè)策略考察不同時(shí)間尺度下(xià)的(de)參數。這(zhè)顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出本文的(de)範疇。在本文中，我們僅考慮一個(gè)技術分(fēn)析領域中非常常見的(de)趨勢追蹤策略——雙均線策略；以及該策略的(de)一組非常常見的(de)參數：慢(màn)均線爲 50 日簡單均值；快(kuài)均線爲 13 日簡單均值。

由于價格曲線是人(rén)工生成的(de)，因此每個(gè)交易日隻有一個(gè)價格數據，我們假設它就是收盤價。由于僅有收盤價而沒有其他(tā)數據，我們無法使用(yòng)諸如“以收盤價計算(suàn)，以下(xià)個(gè)開盤價購(gòu)買”這(zhè)種更合理(lǐ)的(de)方式構建策略；我們隻能以收盤價作爲交易價格，而通(tōng)過考慮足夠大(dà)的(de)交易成本來(lái)使得(de)仿真實驗更加接近現實。具體策略爲：

2. 前文提到，由于在生成人(rén)造價格曲線時(shí)引入了(le)随機噪聲，因此即便對(duì)于給定 μ 和(hé) ρ，每次生成的(de)價格曲線也(yě)都完全不同。這(zhè)意味著(zhe)，對(duì)于任一組參數，我們都必須生成足夠多(duō)的(de)樣本價格曲線，然後使用(yòng)上面的(de)趨勢追蹤策略來(lái)對(duì)它們逐一進行交易，以此統計該策略的(de)收益和(hé)風險分(fēn)布情況。唯有這(zhè)樣才能客觀的(de)評價該策略在這(zhè)組參數下(xià)的(de)表現。爲此，對(duì)于每組 μ 和(hé) ρ，我們進行 500 次實驗。

在評價策略時(shí)，考察六個(gè)指标，它們分(fēn)别爲：

所謂相對(duì)，是指策略較價格曲線本身的(de)表現。下(xià)面就分(fēn)别來(lái)看看在這(zhè) 9 組參數下(xià)，上述雙均線策略的(de)表現。對(duì)于每一組參數，我們使用(yòng)六張圖分(fēn)别顯示 500 次實驗後上述六個(gè)指标的(de)分(fēn)布。上面三張圖爲絕對(duì)指标；下(xià)面三張圖爲相對(duì)指标。黃(huáng)色的(de)豎線爲每個(gè)指标的(de)均值。接下(xià)來(lái)首先呈現 9 組參數的(de)指标分(fēn)布，然後總結它們傳達的(de)信息。

第一組參數：μ = 0.0001，ρ = 0.01

第二組參數：μ = 0.0001，ρ = 0.1

第三組參數：μ = 0.0001，ρ = 0.2

第四組參數：μ = 0.0005，ρ = 0.01

第五組參數：μ = 0.0005，ρ = 0.1

第六組參數：μ = 0.0005，ρ = 0.2

第七組參數：μ = 0.001，ρ = 0.01

第八組參數：μ = 0.001，ρ = 0.1

第九組參數：μ = 0.001，ρ = 0.2

這(zhè) 9 組參數的(de)實驗結果說明(míng)：

下(xià)面就來(lái)總結一下(xià)這(zhè)九組實驗帶給我們的(de)啓發。

4 長(cháng)期均值主宰自相關

對(duì)于“如何根據收益率的(de)特性選擇适合的(de)趨勢追蹤策略”這(zhè)個(gè)問題，上面九組實驗說明(míng)以下(xià)兩點：

首先來(lái)看第一條。實驗結果說明(míng)，當投資品的(de)長(cháng)期均值較随機波動的(de)數量級太小時(shí)，無論它表現出多(duō)麽強的(de)自相關性，趨勢策略都無法有效獲得(de)正收益。換句話(huà)說，均值決定了(le)趨勢的(de)強弱（盡管我們不知道确切的(de)時(shí)間尺度），而一個(gè)趨勢策略有效的(de)必要條件是該趨勢不能被随機波動所抵消。如果這(zhè)一點無法滿足，那麽趨勢追蹤顯然是徒勞。

第七組到第九組的(de)參數接近 A 股大(dà)牛市時(shí)的(de)情況。在那種盛世下(xià)，趨勢追蹤顯然能夠獲得(de)非常不錯的(de)效果。盡管在大(dà)牛市階段，趨勢追蹤不能夠戰勝基準本身，但是考慮到大(dà)牛市之後往往伴随著(zhe)大(dà)熊市的(de)一落千丈，因此在一個(gè)完整的(de)牛熊周期之後，趨勢追蹤策略必然會戰勝基準。在過去的(de)十幾年中，正因爲 A 股有這(zhè)樣的(de)特性（3 波牛熊周期），才使得(de)趨勢追蹤策略脫穎而出。

第四組到第六組的(de)參數其實很接近股災 3.0 後的(de) A 股和(hé)金融危機後美(měi)股标普 500 指數的(de)特性。在這(zhè)種特性下(xià)，價格曲線呈現一個(gè)長(cháng)期慢(màn)牛的(de)形态，但收益率的(de)波動率較均值仍然較大(dà)。由于無法保證階段性上漲的(de)趨勢一定滿足趨勢策略的(de)參數假設，因此趨勢策略的(de)效果就無法保證。這(zhè)邊引出了(le)我們的(de)第二點：趨勢尺度需滿足策略參數。來(lái)看下(xià)面三個(gè)例子。它們的(de)收益率長(cháng)期均值均爲 0，而自相關系數爲 0.3（非常強的(de)自相關）。在這(zhè)三個(gè)例子中，同樣的(de)雙均線趨勢策略表現出了(le)完全不同的(de)效果。而趨勢策略的(de)效果完全取決于趨勢的(de)尺度是否滿足策略的(de)參數。

在這(zhè)三個(gè)價格序列中，由于随機噪聲的(de)影(yǐng)響，趨勢持續的(de)時(shí)間尺度自上而下(xià)逐漸減小，從而離策略假設的(de)時(shí)間尺度相差的(de)越來(lái)越遠(yuǎn)，這(zhè)便直接造成策略的(de)效果越來(lái)越差。

這(zhè)個(gè)結果對(duì)策略研發非常重要。因爲在實際中，我們的(de)曆史數據僅僅是未知分(fēn)布的(de)一個(gè)實現（比如，我們僅僅會有上面三個(gè)價格曲線的(de)一個(gè)）。假設第一個(gè)價格曲線是真實的(de)曆史數據，而我們針對(duì)它開發了(le)一個(gè)趨勢策略，那麽我們能否預期它在樣本外有同樣的(de)表現呢(ne)？答(dá)案是否定的(de)。其原因正是因爲沒有更多(duō)的(de)曆史樣本，我們根本無法在統計上正确的(de)評價該策略的(de)參數對(duì)這(zhè)個(gè)未知收益率分(fēn)布是否有效。我們得(de)到的(de)“有效”的(de)結論僅僅源于對(duì)一個(gè)來(lái)自該分(fēn)布的(de)特定樣本價格序列優化(huà)的(de)結果。因此，該策略在樣本外的(de)表現也(yě)很有可(kě)能和(hé)其在樣本内的(de)表現大(dà)相徑庭。

因此，對(duì)于第四組到第六組的(de)參數所描述的(de)價格曲線采用(yòng)趨勢追蹤是有風險的(de)。風險來(lái)自于無法合理(lǐ)的(de)評價該策略在未來(lái)的(de)效果。那麽我們應該怎麽辦呢(ne)？

5 啓示

股災 3.0 後，上證指數的(de)日收益率均值、方差、自相關性這(zhè)些指标乃至是走勢都和(hé)金融危機之後的(de)标普 500 有些類似。這(zhè)說明(míng)在短時(shí)間尺度内，随機的(de)擾動對(duì)于日收益率的(de)均值影(yǐng)響比較大(dà)。這(zhè)就迫使我們把投資周期拉長(cháng)，從而把擾動略去。周期拉長(cháng)什(shén)麽意思？就是迫使我們把持倉時(shí)間變長(cháng)。如果我們原來(lái)做(zuò)短線，那麽現在就隻能變成長(cháng)線。這(zhè)麽做(zuò)的(de)結果就是，投機者被迫變成投資者。價值投資就回歸了(le)！

因此，股災 3.0 後的(de) A 股應該怎麽搞？美(měi)股怎麽搞，我們就應該怎麽搞。在這(zhè)種收益率特征下(xià)，趨勢追蹤很難超過買入持有策略。國外有很多(duō)策略針對(duì)美(měi)股搞趨勢類擇時(shí)并且聲稱戰勝了(le)指數。但仔細想想不難發現，用(yòng)标普 500 做(zuò)回測，隻要能把金融危機躲過去，就幾乎一定跑赢指數（而且那些策略還(hái)在金融危機的(de)時(shí)候做(zuò)空美(měi)股），但那叫耍流氓。如果從 2010 年後對(duì)美(měi)股使用(yòng)僅做(zuò)多(duō)的(de)趨勢追蹤策略，那麽想要超過買入持有策略難度堪比登天。因此，美(měi)股對(duì)我們的(de)第一個(gè)借鑒就是買入持有。

如果我們想在買入持有的(de)基礎上更進一步，那麽巴菲特的(de)價值投資無疑是黑(hēi)夜中的(de)一盞明(míng)燈。在價值投資回歸的(de)背景下(xià)，通(tōng)過選股做(zuò)指數增強無疑是更好的(de)選擇。較趨勢追蹤無法保證跑赢基準，指數增強可(kě)以穩定的(de)賺取 α 收益率（或者說是結構性的(de) β 收益率）。而長(cháng)期健康牛預期更是減少了(le)使用(yòng)股指期貨對(duì)沖市場(chǎng)風險的(de)必要性，這(zhè)也(yě)爲選股策略提供了(le)更好的(de)生存環境。

免責聲明(míng)：入市有風險，投資需謹慎。在任何情況下(xià)，本文的(de)内容、信息及數據或所表述的(de)意見并不構成對(duì)任何人(rén)的(de)投資建議(yì)。在任何情況下(xià)，本文作者及所屬機構不對(duì)任何人(rén)因使用(yòng)本文的(de)任何内容所引緻的(de)任何損失負任何責任。除特别說明(míng)外，文中圖表均直接或間接來(lái)自于相應論文，僅爲介紹之用(yòng)，版權歸原作者和(hé)期刊所有。