随筆

發布時(shí)間：2024-07-06 | 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作者：石川

摘要：我們每個(gè)人(rén)的(de)能力都有限，也(yě)終究會停下(xià)腳步。但是如果我們把路鋪好，就能夠讓别人(rén)走得(de)更遠(yuǎn)。

最近看到了(le)北(běi)大(dà)王熙老師說的(de)一段話(huà)：

知識的(de)傳授不是爲了(le)炫技

而是梳理(lǐ)清楚學科裏面重要的(de)問題

問題和(hé)問題之間的(de)聯系

前人(rén)是怎麽回答(dá)的(de)

我們怎麽樣更好地回答(dá)這(zhè)些問題

并最終學會問更好的(de)問題

看完後感觸頗深。這(zhè)和(hé)我一直寫公衆号的(de)初衷契合，也(yě)和(hé)我自己涉獵一個(gè)領域時(shí)的(de) approach 一緻。例如，我的(de)博士論文的(de)文獻綜述裏，最早的(de)參考文獻是上世紀 50 年代的(de)。後來(lái)有個(gè)老教授看了(le)之後，不無感慨的(de)說“現在很少有人(rén)讀 old papers 了(le)”。

對(duì)于任何一個(gè) topic，我們都需要搞清楚其發展的(de)來(lái)龍去脈并清晰的(de)展現出來(lái)。更重要的(de)是，這(zhè)種展現不應是文獻按照(zhào)不同 categories 的(de)羅列（盡管很多(duō) review paper 都是這(zhè)麽寫的(de)），而是通(tōng)過主線厘清問題以及解決方法的(de)演進和(hé)叠代、不同方法之間的(de)關聯。

就以基于多(duō)因子模型的(de)實證資産定價爲例。如今最新的(de)文章(zhāng)大(dà)部分(fēn)是在這(zhè)個(gè)框架下(xià)通(tōng)過機器學習(xí)算(suàn)法把大(dà)量的(de) firm characteristics 映射到 factor exposure 之中。然而，當我們試圖去理(lǐ)解這(zhè)種做(zuò)法的(de)時(shí)候，先決條件就是首先明(míng)白人(rén)們是如何走到這(zhè)一步的(de)。

這(zhè)就意味著(zhe)，我們需要從資産定價理(lǐ)論，例如 SDF、APT/ICAPM 說起：APT/ICAPM 提出了(le)使用(yòng)多(duō)因子模型作爲實證研究的(de)框架。然而，無論 APT 還(hái)是 ICAPM 都沒有告訴人(rén)們應該用(yòng)哪些因子。所以，從這(zhè)裏開始，相關的(de)研究就又劃分(fēn)到兩個(gè)分(fēn)支。

其一是通(tōng)過經濟學或者金融學理(lǐ)論來(lái)提出因子，例如 Fama-French 和(hé) q-factor model 等（它們确實叱咤學術界二十載），而另一個(gè)分(fēn)支則是繼承 APT 的(de)思想，以解構 covariance matrix 的(de) structure 爲目标，通(tōng)過 PCA 來(lái)構造 latent factor。而這(zhè)方面，随著(zhe)機器學習(xí)的(de)發展又換發了(le)青春。比如，傳統的(de) PCA 隻關心 central 二階矩，而不關心一階矩（average return），所以學界在 PCA 的(de)基礎上提出了(le) RP-PCA；又比如上述方法都僅僅是通(tōng)過 return 數據來(lái)構造因子，而忽視了(le)其他(tā)信息，因此在這(zhè)個(gè)動機的(de)趨勢下(xià)，Instrumented PCA 被提出，它在 return 基礎上納入了(le) firm characteristics 的(de)信息，且因爲後者是随時(shí)間變化(huà)的(de)，因此還(hái)把多(duō)因子模型從靜态轉向了(le)動态。

再比如，随著(zhe)近年來(lái)對(duì)模型複雜(zá)度和(hé)樣本外表現關系的(de)重新認知，學界又提出應該盡可(kě)能用(yòng)更豐富的(de)高(gāo)維信息以及信息和(hé)收益率之間的(de)非線性關系（盡管尚有争議(yì)）。在這(zhè)個(gè) trend 之下(xià)，人(rén)們又從 linear mapping 轉向了(le) nonlinear mapping（例如 Conditional Autoencoder 模型）等等。

你看，這(zhè)就解釋了(le)我們是怎麽從 FF3 慢(màn)慢(màn)的(de)走到今天的(de)。而當這(zhè)條主線清晰的(de)被展現在人(rén)們面前的(de)時(shí)候，我們就能更好的(de)理(lǐ)解新模型被提出的(de)動機，以及每個(gè)新模型解決了(le)哪些前人(rén)遺留的(de)問題。

說到這(zhè)，我索性歪個(gè)樓，簡單介紹一篇我個(gè)人(rén)很欣賞的(de)文章(zhāng) Kozak (2019)。這(zhè)篇文章(zhāng)将 kernel trick 巧妙的(de)用(yòng)在了(le) PCA 當中，在不增加計算(suàn)量的(de)同時(shí)實現了(le) managed portfolio 的(de)維數激增，從而提升了(le) latent factor model 的(de)樣本外表現。

簡單來(lái)說，我們考慮 $L$ 個(gè) managed portfolios:

$\underbrace{F_{t+1}}_{L\times 1}=\underbrace{X_t’}_{L\times N}\underbrace{R_{t+1}}_{N\times 1},$

并以這(zhè)些 managed portfolios 爲 assets、通(tōng)過 PCA 來(lái)構造 latent factors。把 $F_t$ 轉置再縱向堆疊起來(lái)，得(de)到 $T\times L$ 維矩陣 $F$ ：

$\underbrace{F}_{T\times L}=\left[ \begin{array}{c} F_1'\\ F_2'\\ \vdots\\ F_T’ \end{array} \right].$

爲了(le)簡單起見，假設 $F$ 的(de)每一列（即每個(gè) managed portfolio）已經時(shí)序上 demean 了(le)，因此它們的(de) variance-covariance matrix 可(kě)以寫成：

$\begin{array}{rll} \Sigma&=&\displaystyle \frac{1}{T}F’F\\ &=&\displaystyle\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t’R_{t+1}R_{t+1}’X_t\\ &=&\text{vec}(X)’\text{diag}(R)\text{diag}(R)’\text{vec}(X). \end{array}$

上面就是一般的(de) PCA，隻不過把個(gè)股的(de)超額收益率換成了(le) managed portfolios 的(de)超額收益率。下(xià)面是第一個(gè)精妙之處：對(duì)于 PCA 而言，對(duì) $F’F$ 進行特征分(fēn)解和(hé)對(duì) $FF’$ 進行特征分(fēn)解是等價的(de)（因爲都是基于原始數據 $F$ 的(de) SVD 分(fēn)解，所以二者之間可(kě)以相互轉換）。所以，可(kě)以把原始問題轉化(huà)爲對(duì) $T\times T$ 維的(de)矩陣 $FF’$ 來(lái)進行PCA：

$\Omega=\underbrace{\text{diag}(R)’}_{T\times NT}\underbrace{\text{vec}(X)}_{TN\times L}\underbrace{\text{vec}(X)’}_{L\times TN}\underbrace{\text{diag}(R)}_{NT\times T},$

其中

$\underbrace{\text{vec}(X)}_{TN\times L}\underbrace{\text{vec}(X)’}_{L\times TN}=\left[ \begin{array}{ccc} X_1X_1’&\cdots&X_1X_T’\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ X_TX_1’&\cdots&X_TX_T’ \end{array} \right]_{NT\times NT}.$

式中每個(gè) $X_tX_s’$ 都是一個(gè) $N\times N$ 維矩陣，其中第 $(i,j)$ 個(gè)元素代表 $t$ 期股票(piào) $i$ 和(hé) $s$ 期股票(piào) $j$ 所有特征取值的(de)內積。可(kě)見，在 $FF’$ 中， $\text{vec}(X)\text{vec}(X)’$ 包含了(le)所使用(yòng)的(de)協變量的(de)全部信息。更重要的(de)是，無論 managed portfolios 的(de)維數 $L$ 多(duō)大(dà)，其中每個(gè) $X_tX_s’$ 都是 $N\times N$ 維。

Ok，下(xià)面就是第二個(gè)精妙之處（kernel trick）。我們可(kě)以把 $X_tX_s’$ 換成原始協變量的(de)非線性函數，即 $\Phi(X_t)\Phi(X_s)’$ ，但這(zhè)可(kě)能是非常高(gāo)維的(de)，從而大(dà)大(dà)增加計算(suàn)量。然而，利用(yòng) kernel trick， $\Phi(X_t)\Phi(X_s)’$ 的(de)計算(suàn)可(kě)以通(tōng)過 kernel 函數來(lái)完成，即 $\Phi(X_t)\Phi(X_s)’=\mathcal{K}(X_t, X_s)$ 。而 $\text{vec}(X)\text{vec}(X)’$ 變爲

$\left[ \begin{array}{ccc} \mathcal{K}(X_1,X_1)&\cdots&\mathcal{K}(X_1,X_T)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \mathcal{K}(X_T,X_1)&\cdots&\mathcal{K}(X_T,X_T) \end{array} \right]_{NT\times NT}.$

這(zhè)樣，就可(kě)以在不增加計算(suàn)量的(de)前提下(xià)，把原始協變量增加到更高(gāo)的(de)維數和(hé)更複雜(zá)的(de)非線性關系。實證結果顯示，以此爲前提構造的(de) latent factors 能夠 span 出樣本外更好的(de) SDF。

Beautiful.

老實說，我個(gè)人(rén)非常喜歡這(zhè)種 style 的(de)論文，就是它有足夠的(de)經濟學動機，且 technique 用(yòng)的(de)恰到好處（而不是無腦(nǎo)模型的(de)堆砌；我不是很理(lǐ)解連漸近性質都沒搞清楚的(de)時(shí)候非要使用(yòng)複雜(zá)神經網絡的(de)做(zuò)法）。

不過有意思的(de)是，這(zhè)篇文章(zhāng)到今天還(hái)是個(gè) working paper。也(yě)許 Kozak（或者學術界？）認爲它的(de) contribution 有限？另外，我自己試過這(zhè)個(gè)方法，但是它的(de)實施上确實還(hái)有一些坑。感興趣的(de)小夥伴請仔細閱讀原文。

Sorry! 我 detour 的(de)有點遠(yuǎn)。讓我在回到本文的(de)主題：聽(tīng)王老師的(de)話(huà)有感。我希望公衆号能一直不忘初心，腳踏實地。畢竟，我們每個(gè)人(rén)的(de)能力都有限，也(yě)終究會停下(xià)腳步。但是如果我們把路鋪好，就能夠讓别人(rén)走得(de)更遠(yuǎn)。

參考文獻

Kozak, S. (2019). Kernel trick for the cross-section. Working paper.

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