作者：石川
1 三要素
主動投資管理(lǐ)的(de)先驅之一 Richard Grinold 寫過一篇著名的(de)文章(zhāng)，題爲《α = Volatility × IC × Score》。這(zhè)篇文章(zhāng)标題直白醒目，簡明(míng)扼要的(de)說明(míng)了(le)在主動管理(lǐ)中尋求股票(piào) α 收益率的(de)三要素。
Grinold 對(duì) α 的(de)定義爲個(gè)股收益率中無法被與市場(chǎng)收益率相關的(de) β 部分(fēn)解釋的(de)殘餘部分(fēn)。假設 r 爲個(gè)股相對(duì)無風險收益率的(de)超額收益，r_m 爲市場(chǎng)相對(duì)無風險收益率的(de)超額收益，那麽有
如果個(gè)股的(de) α 都是零（就像 CAPM 假設的(de)那樣），那麽我們買個(gè)指數就萬事大(dà)吉，所有主動型基金經理(lǐ)都會失業。但現實并不是這(zhè)樣，一些股票(piào)的(de)确存在正的(de) α，而另一些存在負的(de) α。主動投資管理(lǐ)就是從所有的(de)股票(piào)中選出擁有超額 α 收益的(de)那些優秀股票(piào)。
讓我們假設爲了(le)挖掘有真正 α 的(de)優秀股票(piào)，某主動型基金經理(lǐ)有一個(gè)模型（咱們先甭管這(zhè)個(gè)模型是怎麽得(de)到的(de)，也(yě)許是靠著(zhe)手底下(xià)衆多(duō)研究員(yuán)的(de)深度研究，也(yě)許是靠著(zhe)科學的(de)量化(huà)分(fēn)析，也(yě)許是靠打聽(tīng)内部消息，也(yě)許是靠猴子扔飛(fēi)镖，whatever，you name it）。每當這(zhè)個(gè)基金經理(lǐ)要預測個(gè)股下(xià)一期的(de) α 收益時(shí)，這(zhè)個(gè)模型便給出一個(gè)預測，記爲 f。
這(zhè)樣 α 的(de)三要素爲 IC、Volatility 以及 Score：
IC：它是對(duì) α 的(de)預測（即 f）和(hé)實際 α 的(de)相關系數，在這(zhè)裏被稱爲信息系數 Information Coefficient。顯然，這(zhè)個(gè)相關度越高(gāo)越好，它最直接的(de)反映基金經理(lǐ)在主動管理(lǐ)中的(de)預測能力。
Volatility：代表的(de)是個(gè)股 α 本身的(de)波動。α 本身的(de)波動越大(dà)，說明(míng)越有機會可(kě)圖。舉個(gè)極端的(de)例子，如果 α = 0 或者一個(gè)恒定的(de)常數，那麽這(zhè)支個(gè)股對(duì)所有人(rén)來(lái)說都是一樣的(de)，根本沒有 α 可(kě)以挖掘。
Score：這(zhè)是一個(gè)把當期對(duì) α 的(de)預測值 f 按照(zhào)過去的(de)預測進行标準化(huà)後的(de)一個(gè)标準化(huà)分(fēn)數。它代表了(le)在此時(shí)此刻，該基金經理(lǐ)對(duì)這(zhè)支股票(piào)的(de)看好的(de)程度。這(zhè)麽說也(yě)許不夠直白。舉個(gè)例子來(lái)說，假設這(zhè)個(gè)基金經理(lǐ)有一個(gè)非常厲害的(de)模型，每次都能預測個(gè)八九不離十，這(zhè)次的(de)預測值 f 爲 -1%，假設它标準化(huà)後的(de)分(fēn)數爲 -2。因此score就等于 -2，說明(míng)該模型在當期對(duì)這(zhè)支股票(piào)相當不看好。
2 數學含義
在這(zhè)篇文章(zhāng)中，Grinold 雖然使用(yòng)了(le)大(dà)量的(de)例子來(lái)闡述這(zhè)三要素在解釋 α 時(shí)發揮的(de)作用(yòng)，但它并沒有具體給出公式 α = Volatility × IC × Score 的(de)推導。下(xià)面我們就來(lái)從數學上說明(míng)這(zhè)個(gè)公式的(de)美(měi)妙之處，它可(kě)以通(tōng)過對(duì) α 收益率以及它的(de)預測值f的(de)曆史時(shí)間序列進行線性回歸來(lái)得(de)到。
用(yòng)時(shí)間序列 f 對(duì)時(shí)間序列 α 做(zuò)線性回歸模型有：
其中，a 和(hé) b 是回歸系數，ε 是回歸誤差，一般假設 ε 的(de)期望爲 0。通(tōng)過曆史數據，利用(yòng)最小二乘法對(duì)上述模型求解可(kě)以得(de)到參數 a 和(hé) b 的(de)最優值：
将得(de)到的(de) a 和(hé) b 的(de)最優參數帶回到上面的(de)回歸模型中，并舍去回歸誤差項，可(kě)得(de)：
由于 E[α] 是 α 的(de)曆史均值，對(duì)任何一期的(de) α 都是一樣的(de)，因此真正影(yǐng)響 α 的(de)是後面這(zhè)三項的(de)乘積，即 α = IC × Volatility × Score。如果用(yòng)一句話(huà)來(lái)說清楚這(zhè)個(gè) α 公式的(de)含義就是：如果股票(piào)本身有 α 可(kě)以挖掘（α 的(de) Volatility 波動率大(dà)）、我有一個(gè)準确的(de)預測方法（在曆史上預測值 f 和(hé) α 之間的(de) IC 高(gāo)），并且當期我的(de)預測值 f 非常好（我對(duì)這(zhè)個(gè)股票(piào)非常有信心），那麽我就可(kě)以預期這(zhè)支股票(piào)在未來(lái)有不錯的(de)超額收益 α。
在這(zhè)三要素中，α 自身的(de)波動由股票(piào)所處的(de)行業和(hé)公司的(de)性質所決定。更能反映基金經理(lǐ)本事的(de)是長(cháng)期的(de)預測能力（IC）以及在當前的(de)判斷（Score）。在我看來(lái)，高(gāo)IC是最重要的(de)條件，否則不管 Score 多(duō)高(gāo)，如果模型壓根就不能有效的(de)預測 α（低 IC），那麽一切都是枉然。當然，如果有了(le)高(gāo)的(de) IC，那麽我們隻需要找到在當前時(shí)刻的(de)預測中 Score 高(gāo)的(de)那些股票(piào)買入即可(kě)。所以，所有靠選股爲生的(de)主動型基金經理(lǐ)大(dà)概都在較勁腦(nǎo)汁的(de)想找到一個(gè)可(kě)以提高(gāo) IC 的(de) α 預測模型或者方法。
3 另一種形式
Grinold 最初提出的(de) α 三因素公式就如同前面小節所說明(míng)的(de)那樣，我們預測的(de)是 α 本身，回歸時(shí)是在時(shí)間維度對(duì)預測值f的(de)時(shí)間序列和(hé)實際 α 的(de)時(shí)間序列進行回歸。然而預測 α 本身終究是困難的(de)，更常見的(de)做(zuò)法是尋找能夠挖掘 α 收益率的(de)因子，使用(yòng)因子本身的(de)值對(duì) α 建模，并通(tōng)過截面回歸來(lái)分(fēn)析這(zhè)類模型是否具有挖掘 α 的(de)能力，這(zhè)就是 α 三因素公式的(de)變種。
截面回歸是在給定的(de)時(shí)間節點，使用(yòng)所有股票(piào)在該時(shí)點在某一因子上的(de)取值對(duì)下(xià)一時(shí)刻股票(piào)的(de) α 收益進行回歸分(fēn)析。令向量 d 爲所有股票(piào)在時(shí)刻 t 的(de)因子暴露，α 爲所有股票(piào)在 t+1 時(shí)刻的(de) α 收益率向量，利用(yòng)線性回歸便可(kě)以得(de)到與本文第二節中相似的(de)結果：
雖然公式看起來(lái)很相似，但這(zhè)裏的(de)解釋略有不同：E[α] 是所有股票(piào)在 t+1 時(shí)刻的(de)期望 α 收益，它應該近似的(de)等于 0。IC 是該因子和(hé) α 的(de)截面相關系數，它衡量在 t 時(shí)刻，該因子是否具備優秀的(de)選股能力。Volatility 是所有股票(piào) α 收益的(de)截面波動率，它描述的(de)是個(gè)股 α 收益率的(de)差異性。Score 衡量個(gè)股在因子上取值的(de)強弱。
總結來(lái)說，因子和(hé) α 收益率的(de)相關性越高(gāo)，個(gè)股 α 的(de)差異性越大(dà)，我們的(de)選股基礎就越好。在這(zhè)個(gè)基礎上，隻需要按照(zhào)該因子選出分(fēn)數高(gāo)的(de)股票(piào)就可(kě)以預期得(de)到超額的(de) α 收益。如果所有股票(piào)的(de) α 都一樣（Volatility = 0）或者所有股票(piào)的(de)因子取值都一樣（Score = 0），那麽上式就相當于 α = 0，也(yě)就是說根本無法通(tōng)過該因子選出含有超額 α 收益的(de)股票(piào)；隻有因子和(hé) α 收益率的(de)相關性越高(gāo)，股票(piào)的(de)差異性越大(dà)（α 和(hé)因子的(de)差異性都是越大(dà)越好），才越有可(kě)能找出 α。
截面回歸方法往往是一種事後驗證。即我們在已知 t+1 時(shí)刻所有股票(piào)的(de) α 的(de)前提下(xià)，用(yòng) t 時(shí)刻的(de)因子取值對(duì) α 進行回歸，以此來(lái)衡量該因子在t時(shí)刻的(de)選股能力。然而，由于不同因子之間有相關性，這(zhè)種衡量方法其實也(yě)是有一定缺陷的(de)。此外，t 時(shí)刻的(de)選股能力更不能保證在 t+1 時(shí)刻該因子仍然有同樣的(de)選股能力。要正确判斷一個(gè)因子的(de)選股能力仍然需要從時(shí)間維度上的(de)考察通(tōng)過該因子構造的(de)純因子投資組合（即排除其他(tā)因子對(duì)目标因子的(de)幹擾）是否可(kě)以持續的(de)獲得(de)超額收益。
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