Risk-Return Tradeoffs (I)

發布時(shí)間：2023-09-27 | 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作者：石川

摘要：隐性多(duō)因子模型如何成爲研究資産定價的(de)重要範式？且聽(tīng) Kelly and Xiu (2023) 娓娓道來(lái)。

上期文章(zhāng)介紹了(le) Giglio and Xiu (2021) 提出的(de) three-pass estimator。它在 Fama-MacBeth regression 的(de)基礎上加入了(le) PCA，是近年來(lái)通(tōng)過 PCA 研究隐性因子模型的(de)代表之一。

在隐性因子模型中，因子暴露和(hé)因子都是不可(kě)觀測的(de)，而是需要通(tōng)過統計手段估計得(de)到（因此按照(zhào) FF 方法構造的(de) HML 就不是隐性因子）。在這(zhè)方面，對(duì)（大(dà)量）資産的(de)協方差矩陣進行 PCA 就是最重要的(de)工具之一，而這(zhè)背後的(de)理(lǐ)論基礎正是源自 APT。這(zhè)樣得(de)到的(de)因子也(yě)被稱爲統計因子（statistical factors）。

當然，如果僅僅是從資産的(de)協方差矩陣出發，那麽能夠利用(yòng)的(de)信息将會十分(fēn)有限（即隻用(yòng)了(le)收益率信息）。爲了(le)利用(yòng)到更多(duō)的(de)信息（例如 firm characteristics），可(kě)以将因子暴露直接建模爲特征的(de)函數，即 $\beta(X)$ 。這(zhè)就是 Bryan Kelly 等人(rén)提出的(de) Instrument-PCA（IPCA）模型。在數學上，它近似等價于對(duì)使用(yòng)這(zhè)些特征構造的(de)一大(dà)堆 managed portfolios 的(de)收益率的(de)協方差矩陣進行 PCA，因此和(hé)直接對(duì)資産協方差矩陣進行 PCA 有異曲同工之妙。不過工具變量（那些 characteristics）的(de)引入使該模型成爲條件因子模型，因此能夠更好地刻畫(huà)資産收益率的(de)時(shí)變性。

鋪墊了(le)這(zhè)麽多(duō)，是因爲今天我想翻譯一下(xià) Kelly and Xiu (2023) 的(de)第四章(zhāng)（Risk-Return Tradeoffs）—— 對(duì)，我把第三章(zhāng)跳過去了(le)。第四章(zhāng)中涉及的(de)最重要兩篇文章(zhāng)就是 Giglio and Xiu (2021) 以及 Kelly et al. (2019) 的(de) IPCA 模型。此外，由于原著的(de)第四章(zhāng)内容過于豐富，本文隻覆蓋到其中的(de) 4.3 節。後面的(de)三小節将會在後續推文中介紹。

再次感謝王熙和(hé)劉洋溢對(duì)内容的(de)反饋。本翻譯僅供學習(xí)交流使用(yòng)，禁止一切商業行爲，未經授權，禁止轉載。

最後，祝各位中秋、國慶節快(kuài)樂(yuè)。

以下(xià)是正文部分(fēn)。

上一章(zhāng)主要關注于監督預測模型而沒有考慮風險和(hé)收益率之間的(de)權衡，因此它們并不是資産定價模型。本章(zhāng)将通(tōng)過無監督和(hé)半監督學習(xí)方法提出因子定價模型，它們明(míng)确地考慮了(le)風險和(hé)收益率之間的(de)權衡問題。

4.1 套利定價理(lǐ)論基礎

Ross (1976) 的(de)套利定價理(lǐ)論（APT）爲數據驅動的(de)和(hé)基于機器學習(xí)的(de)因子模型分(fēn)析奠定了(le)基礎。它表明(míng)，通(tōng)過部分(fēn)模型設定 —— 本質上隻需假設線性因子結構，因子數量固定，以及無套利這(zhè)一基礎的(de)經濟假設 —— 我們便能方便地通(tōng)過研究因子組合來(lái)學習(xí)資産定價模型，并了(le)解收益率中哪部分(fēn)是可(kě)以分(fēn)散化(huà)的(de)，而哪部分(fēn)則不能。換句話(huà)說，APT 爲關于風險與收益率權衡的(de)實證分(fēn)析提供了(le)一個(gè)藍圖，而無需使用(yòng)者了(le)解導緻資産定價因子背後的(de)機制。因此，我們可(kě)以利用(yòng)機器學習(xí)方法進行隐性因子分(fēn)析，從而得(de)出關于實證資産定價現象的(de)全新見解。

我們還(hái)推薦讀者參閱 Giglio et al. (2022a) 關于收益率因子模型的(de)綜述。在這(zhè)篇綜述中，幾位作者依照(zhào)因子是否是可(kě)觀測的(de)、 $\beta$ 值是否是可(kě)觀測的(de)或兩者都是不可(kě)被觀測這(zhè)幾條标準将文獻分(fēn)類。針對(duì)可(kě)觀測的(de)因子或 $\beta$ ，學者們已經提出了(le)很多(duō)時(shí)序和(hé)截面回歸方法。在本章(zhāng)中，我們聚焦于一個(gè)更具挑戰性的(de)情況，即因子和(hé) $\beta$ 都是隐性的(de)（或最多(duō)隻是部分(fēn)可(kě)觀測的(de)），以便能夠深入探討(tǎo)一些機器學習(xí)因子建模的(de)技術細節。

4.2 無條件因子模型

Ross (1976) 的(de) APT 是以如下(xià)這(zhè)個(gè)統計因子模型爲前提：

$R_t=\alpha+\beta F_t+\epsilon_t, ~~~~~~(4.1)$

其中 $N\times 1$ 維向量 $R_t$ 表示單個(gè)資産的(de)超額收益 $R_{i,t}$ ， $N\times K$ 維矩陣 $\beta$ 表示這(zhè)些資産對(duì) $K$ 個(gè)隐性因子 $F_t$ 的(de)暴露， $F_t$ 的(de)非零均值 $\gamma=\mathbb{E}[F_t]$ 則可(kě)以被理(lǐ)解爲因子的(de)風險溢價（譯者注：即因子收益率，這(zhè)一結論成立的(de)充分(fēn)條件是因子可(kě)以被交易），最後 $N\times 1$ 維向量 $\epsilon_t$ 則表示均值爲零的(de)随機擾動。

另外， $N\times 1$ 維截距向量 $\alpha$ 表示定價誤差。它們是資産預期收益率中無法被對(duì)風險因子的(de)暴露所解釋的(de)部分(fēn)。Ross (1976) 的(de) APT 以及其後繼者們（例如 Huberman 1982, Ingersoll 1984, Chamberlain and Rothschild 1983）指出，無近似套利條件等價于

$\displaystyle \alpha^\prime\mbox{Var}(\epsilon_t)^{-1}\alpha\lesssim_P 1,~~\mbox{as}~~N\rightarrow\infty.~~~~~~(4.2)$

上式意味著(zhe)，承擔特質性風險的(de)補償并不會随著(zhe)投資範圍的(de)擴大(dà)而激增（譯者注：根據原著腳注的(de)說明(míng)， $a \lesssim_P b$ 代表 $a=O_P(b)$ ，其意思爲随著(zhe)樣本量趨于無窮大(dà)， $a$ 的(de)增長(cháng)率不會超過 $b$ 的(de)某個(gè)固定的(de)倍數。此外，在後文中，原著使用(yòng) $a\asymp_P b$ 表示 $a \lesssim_P b$ 以及 $b \lesssim_P a$ 兩個(gè)條件同時(shí)滿足）。

4.2.1 使用(yòng) PCA 估計因子

受 APT 的(de)啓發，Chamberlain and Rothschild (1983)，Connor and Korajczyk (1986) 以及 Connor and Korajczyk (1988) 均主張，當因子和(hé)因子暴露均無法觀測時(shí)，使用(yòng)主成分(fēn)分(fēn)析（PCA）作爲因子模型的(de)估計方法。爲此，一個(gè)等價但更方便的(de)處理(lǐ)方法是對(duì)去均值之後的(de)收益率 $\bar{R}=R-(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TR_t)\iota^\prime_T$ 進行奇異值分(fēn)解（SVD）：

$\displaystyle\bar{R}=\sum_{j=1}^{\widehat{K}}\sigma_j\varsigma_j\xi_j^\prime+\widehat{U},~~~~~~(4.3)$

其中 $\{\sigma_j\}$ 、 $\{\varsigma_j\}$ 以及 $\{\xi_j\}$ 分(fēn)别表示 $\bar{R}$ 的(de)前 $\widehat{K}$ 個(gè)奇異值，以及左、右奇異向量， $\widehat{K}$ 爲 $R_t$ 中因子個(gè)數的(de)任意一緻估計量（例如 Bai and Ng 2002）， $\widehat{U}$ 爲殘差矩陣， $\iota_T$ 表示其元素均爲 $1$ 的(de) $T\times 1$ 維向量。通(tōng)過上述奇異值分(fēn)解可(kě)以得(de)到因子變化(huà) $V_t=F_t-\mathbb{E}[F_t]$ 和(hé)風險暴露 $\beta$ 的(de)估計值

$\begin{array}{l} \displaystyle\widehat{V}=T^{1/2}(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{\widehat{K}})^\prime,\\ \displaystyle\widehat{\beta}=T^{-1/2}(\sigma_1\varsigma_1,\sigma_2\varsigma_2,\cdots,\sigma_{\widehat{K}}\varsigma_{\widehat{K}}).~~~~~~(4.4) \end{array}$

上述因子估計值是标準化(huà)的(de)，因而滿足 $\widehat{V}\widehat{V}^\prime=T\mathbb{I}_{\widehat{K}}$ 。類似的(de)，我們也(yě)可(kě)以将 $\widehat{\beta}$ 标準化(huà)，使其滿足 $\widehat{\beta}^\prime\widehat{\beta}=N\mathbb{I}_{\widehat{K}}$ 。在隐性因子模型中，存在一個(gè)基本的(de)不确定性，即旋轉因子并同時(shí)反向旋轉因子暴露不改變數據生成過程。因此，因子及其暴露的(de)可(kě)識别性僅限于一個(gè)可(kě)逆的(de)線性變換（即旋轉）。鑒于此，不同的(de)标準化(huà)會産生等價的(de)因子和(hé)因子暴露估計量，它們之間可(kě)以通(tōng)過某種旋轉而相互轉換。在所有因子都是普遍性的(de)假設下(xià)，即 $\lambda_K(\beta^\prime\beta)\asymp_P N$ ，Bai (2003) 證明(míng)了(le) PCA 估計的(de)一緻性并推導出它們在該假設下(xià)的(de)漸近分(fēn)布。

Connor and Korajczyk (1988) 最早使用(yòng)大(dà)約 1500 支股票(piào)研究了(le)隐性因子模型的(de)表現。他(tā)們發現，盡管基于 PCA 的(de)因子模型比起 CAPM 模型更能解釋樣本中的(de)風險和(hé)收益率，但它依然會産生很大(dà)且顯著的(de)定價誤差。一般來(lái)說，無條件因子模型很難描述個(gè)股級别的(de)數據。基于該研究以及其他(tā)相關研究，無條件隐性因子模型（及其通(tōng)過 PCA 的(de)估計）自 Connor and Korajczyk (1988) 之後便淡出了(le)人(rén)們的(de)視線。Kelly et al. (2019) 利用(yòng)最新的(de)數據也(yě)證實了(le)上述發現。他(tā)們顯示，在橫跨 1962—2014 年的(de) CRSP 股票(piào)面闆數據中，PCA 在估計個(gè)股風險溢價方面極不穩健。

近年來(lái)，利用(yòng) PCA 對(duì)收益率因子建模再次回到了(le)人(rén)們的(de)視線之中。這(zhè)個(gè)現象在很大(dà)程度上源于這(zhè)樣一個(gè)事實：盡管 PCA 在描述個(gè)股股票(piào)面闆數據時(shí)效果不理(lǐ)想，但它在對(duì)投資組合的(de)面闆數據建模方面取得(de)了(le)巨大(dà)的(de)成功。例如，Kelly et al. (2019), Kozak et al. (2018) 以及 Pukthuanthong et al. (2019) 均表明(míng)，通(tōng)過 PCA 分(fēn)析異象投資組合的(de)面闆數據而得(de)到的(de)因子模型能夠對(duì)這(zhè)些很好地爲這(zhè)些組合定價，表現爲經濟意義很小的(de)定價誤差。這(zhè)些分(fēn)析是建立在 Geweke and Zhou (1996) 的(de)早期工作之上，他(tā)們使用(yòng) Gibbs 抽樣法從投資組合級别數據中提取隐性因子。

對(duì)于隐性因子模型而言，由于該模型的(de)不确定性（譯者注：即可(kě)以通(tōng)過旋轉得(de)到等價的(de)模型），它的(de)一個(gè)潛在的(de)缺點是人(rén)們難以解釋估計出的(de)因子。然而，當我們關注的(de)對(duì)象不受旋轉影(yǐng)響時(shí)，使用(yòng)隐性因子模型就會變得(de)非常方便。下(xià)面我們就來(lái)看這(zhè)樣一個(gè)例子。

4.2.2 風險溢價的(de)三步法估計量

因子的(de)風險溢價等于均衡狀态下(xià)投資者因暴露于該因子的(de)風險而要求的(de)補償。許多(duō)理(lǐ)論經濟模型是基于一些不可(kě)交易因子（即因子本身并非某個(gè)投資組合），如消費、GDP 增長(cháng)、通(tōng)貨膨脹、流動性和(hé)氣候風險等，來(lái)開發的(de)。爲了(le)估計一個(gè)不可(kě)交易因子的(de)風險溢價，我們需要構建一個(gè)模拟該因子的(de)投資組合并估計其預期收益率。爲了(le)便于闡述，假設某個(gè)不可(kě)交易因子 $G_t$ 與資産的(de)截面關系如下(xià)：

$\displaystyle G_t=\xi+\eta V_t+Z_t,~~~~~~(4.5)$

其中 $Z_t$ 是測量誤差且 $V_t=F_t-\mathbb{E}[F_t]$ 。在這(zhè)個(gè)模型中， $G_t$ 的(de)風險溢價爲 $\eta\gamma$ 。由于 $G_t$ 往往是源自某些經濟理(lǐ)論，因此它的(de)模拟組合和(hé)風險溢價可(kě)能在經濟上是可(kě)解釋的(de)。此外，盡管 $V_t$ 、 $\eta$ 以及 $\gamma$ 的(de)可(kě)識别性僅限于可(kě)逆的(de)線性變換（旋轉），但 $\eta V_t$ 以及 $\eta\gamma$ 卻不受旋轉的(de)影(yǐng)響，因而是可(kě)以被識别的(de)。爲了(le)理(lǐ)解這(zhè)一點，由 Bai and Ng (2002) 可(kě)知存在矩陣 $H$ 使得(de) $\widehat{V}_t\xrightarrow{P} HV_t$ （對(duì)任意 $t$ ）。如果我們利用(yòng) $HV_t$ 表示 $R_t$ 和(hé) $G_t$ 的(de)數據生成過程，那麽 $V_t$ 的(de)風險溢價可(kě)以表示爲 $H\gamma$ ，且 $G_t$ 對(duì) $HV_t$ 的(de)暴露變爲 $\eta H^{-1}$ ，然而模拟組合的(de)因子突變以及 $G_t$ 的(de)風險溢價卻不受上述旋轉的(de)影(yǐng)響，即 $\eta H^{-1}HV_t=\eta V_t$ 以及 $\eta H^{-1}H\gamma=\eta\gamma$ 。

通(tōng)過将 Fama-MacBeth 回歸與 PCA 相結合，Giglio and Xiu (2021) 提出一個(gè)三步法估計量來(lái)對(duì) $\eta\gamma$ 進行推斷。該估計量的(de)第一步是使用(yòng) PCA 并根據式 (4.4) 估計因子和(hé)暴露。第二步通(tōng)過 Fama-MacBeth 回歸求解隐性因子的(de)風險溢價：

$\displaystyle \widehat{\gamma}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T\left(\widehat{\beta}^\prime\widehat{\beta}\right)^{-1}\widehat{\beta}^\prime R_t.~~~~~~(4.6)$

第三步則是計算(suàn) $G_t$ 對(duì)隐性因子的(de)暴露：

$\displaystyle\widehat{\eta}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T G_t\widehat{V}_t^\prime.$

最終， $G_t$ 的(de)風險溢價估計量爲 $\widehat{\eta}\widehat{\gamma}$ 。

Giglio and Xiu (2021) 進一步給出了(le)該估計量的(de)漸近性質。他(tā)們對(duì)基于 PCA 結果的(de) Fama-MacBeth 回歸的(de)漸近分(fēn)析爲風險溢價、随機貼現因子（Giglio et al. 2021b）以及 $\alpha$ （Giglio et al. 2021a）等變量進行統計推斷鋪平了(le)道路，這(zhè)些變量均是人(rén)們使用(yòng)隐性因子模型進行資産定價時(shí)的(de)重要研究對(duì)象。

三步法估計量和(hé)基于 PCA 回歸的(de)模拟投資組合密切相關。後者是使用(yòng) $G_t$ 對(duì) $R_t$ 的(de)主成分(fēn)回歸以構造其因子模拟投資組合，并通(tōng)過計算(suàn)其平均收益率而得(de)到 $G_t$ 的(de)風險溢價。使用(yòng)主成分(fēn)而非 $R_t$ 中的(de)原始資産是一種正則化(huà)形式。這(zhè)種觀點鼓勵人(rén)們在構造模拟投資組合時(shí)，采用(yòng)機器學習(xí)中的(de)其他(tā)正則化(huà)方法，如嶺回歸和(hé) LASSO 回歸。

在實證研究方面，表 4.1 彙總了(le)使用(yòng)不同方法對(duì)若幹不可(kě)交易因子的(de)風險溢價估計，其中包括 Ludvigson and Ng (2010) 中的(de)工業生産增長(cháng)的(de) AR(1) 沖擊（IP），以及 279 個(gè)宏觀金融變量的(de)前三個(gè)主成分(fēn)的(de) VAR(1) 沖擊，Pástor and Stambaugh (2003) 的(de)流動性因子，He et al. (2017) 的(de)中介資本因子，Novy-Marx (2014) 的(de)四個(gè)氣象因子，以及 Malloy et al. (2009) 的(de)一個(gè)綜合消費因子。

表格中的(de)結果清晰展示了(le)傳統兩步法回歸中存在的(de)兩個(gè)問題：遺漏變量偏誤以及測量誤差偏誤。兩步法估計量依賴于研究者選擇哪些基準因子作爲控制變量。然而，就這(zhè)方面而言，經濟理(lǐ)論往往無法提供足夠的(de)指引。遺漏控制變量通(tōng)常會導緻風險溢價估計量出現偏誤。以流動性和(hé)中介資本因子爲例，對(duì)于前者而言，當使用(yòng)單變量的(de)兩步法回歸時(shí)，其風險溢價估計值爲每月(yuè) 226 個(gè)基點，而一旦使用(yòng) FF3 因子作爲控制變量，其風險溢價則變爲 57 個(gè)基點；類似地，對(duì)于後者而言，兩種情況下(xià)的(de)風險溢價分(fēn)别爲 101 和(hé) 43 個(gè)基點。

式 (4.5) 也(yě)可(kě)用(yòng)來(lái)分(fēn)析噪聲因子（ $\eta=0$ ）和(hé)弱因子（ $\eta$ 很小）這(zhè)兩類特殊情況，它們的(de)存在往往會影(yǐng)響兩步法回歸中關于因子溢價的(de)推斷（這(zhè)種現象最初由 Kan and Zhang (1999) 提出）。例如，來(lái)自 Novy-Marx (2014) 的(de)四個(gè)因子看上去确實能夠在常規預測回歸檢驗中預測收益率，但它們與股票(piào)市場(chǎng)的(de)經濟聯系似乎無關。盡管如此，使用(yòng) FF3 爲控制變量的(de)兩步法回歸顯示其中三個(gè)因子都有顯著的(de)風險溢價。宏觀因子（例如上述主成分(fēn)或消費增長(cháng)）也(yě)屬于弱因子。三步法能夠解決遺漏變量偏差和(hé)測量誤差問題，這(zhè)是因爲它的(de)第一步估計了(le)隐性因子，并在第二步将它們作爲截面回歸時(shí)的(de)控制變量，最後在第三步通(tōng)過時(shí)序回歸來(lái)消除測量誤差。得(de)益于這(zhè)種穩健性，表 4.1 最後兩列展示的(de)估計值（譯者注：來(lái)自三步法估計量）似乎更具經濟合理(lǐ)性。

4.2.3 PCA 延伸

雖然 PCA 是發現因子的(de)最常見方法，但也(yě)還(hái)存在其他(tā)一些具備獨特特點的(de)拓展。例如，Giglio et al. (2021a) 采用(yòng)矩陣補全來(lái)估計因子模型，以應對(duì)不平衡面闆收益率數據的(de)問題。假設 $\Omega$ 是一個(gè) $N\times T$ 維矩陣，當且僅當 $R_{i,t}$ 不缺失時(shí)， $\Omega$ 中的(de)第 $(i, t)$ 個(gè)元素等于 $1$ 。矩陣補全算(suàn)法解決了(le)以下(xià)凸優化(huà)問題：

$\displaystyle\widehat{X}=\arg\min_X\parallel(R-X)\circ\Omega\parallel^2+\lambda\parallel X\parallel_n,$

其中 $\circ$ 表示哈達瑪乘積（譯者注：即兩個(gè)形狀一樣的(de)矩陣中相同位置的(de)元素相乘）， $\parallel X\parallel_n=\sum_{i=1}^{\min\{N,T\}}\psi_i(X)$ 且 $\psi_i(X)$ 表示 $X$ 的(de)第 $i$ 大(dà)的(de)奇異值， $\lambda$ 則是一個(gè)調優參數。通(tōng)過懲罰 $X$ 奇異值的(de) $\ell_1$ 範數，該算(suàn)法試圖僅使用(yòng)非缺失的(de)元素來(lái)找到 $R$ 的(de)一個(gè)低秩近似。所估計的(de) $\widehat{X}$ 是具有低秩結構的(de) $R$ 的(de)完整矩陣，對(duì)它進行奇異值分(fēn)解便能夠獲得(de)隐性因子以及因子暴露。

标準 PCA 實現方法是對(duì)去均值後的(de)超額收益矩陣 $\bar{R}$ 進行奇異值分(fēn)解。該處理(lǐ)方法通(tōng)過收益率的(de)樣本中心二階矩來(lái)估計隐性因子和(hé) $\beta$ 值。Lettau and Pelger (2020b) 指出，PCA 僅使用(yòng)二階矩的(de)信息導緻了(le)因子模型的(de)估計值并非是有效的(de)（譯者注：即估計量的(de)方差并非最小）。資産定價理(lǐ)論暗示了(le)資産預期收益率和(hé)因子暴露 $\beta$ 之間的(de)關系（例如，基于無條件的(de)歐拉方程 (1.2)）。因此，他(tā)們認爲，更加重視收益數據一階矩中包含的(de)因子暴露信息能夠提高(gāo) PCA 估計量的(de)整體性能。基于該想法，他(tā)們提出了(le)“風險溢價 PCA”（RP-PCA）估計量，該估計量通(tōng)過對(duì)非中心化(huà)的(de)收益率二階矩應用(yòng) PCA 而得(de)到，即 $T^{-1}\sum_{t=1}^{T} R_tR_t^\prime+\lambda(T^{-1}\sum_{t=1}^{T}R_t)(T^{-1}\sum_{t=1}^{T}R_t)^\prime$ ，其中 $\lambda >-1$ 是調優參數。Connor and Korajczyk (1988) 同樣使用(yòng)了(le)非中心化(huà)的(de) PCA，但僅限于 $\lambda = 0$ 的(de)情況，而标準的(de) PCA 則對(duì)應著(zhe) $\lambda = -1$ 的(de)情況。

Lettau and Pelger (2020a) 建立了(le) RP-PCA 的(de)漸近理(lǐ)論，并指出在沒有定價誤差且因子是普遍存在的(de)情況下(xià)，它比 PCA 估計量更有效。雖然标準 PCA 方法對(duì)定價誤差的(de)存在并不敏感，但由于定價誤差存在時(shí)資産預期收益率不再和(hé)因子暴露一一對(duì)應，因此該誤差可(kě)能會導緻 RP-PCA 估計量出現偏移。我們猜測，如果施加了(le)無近似套利的(de)經濟約束 (4.2)，該偏移則是可(kě)以漸近忽略的(de)，因爲在這(zhè)種情況下(xià) $\alpha$ 足夠小，從而不會對(duì)因子及因子暴露的(de)漸近估計産生偏差。

Giglio et al. (2021b) 指出一個(gè)因子的(de)強度取決于測試資産的(de)選擇。如果所有的(de)測試資産都是對(duì)市場(chǎng)暴露爲零的(de)多(duō)空對(duì)沖組合，那麽即便是市場(chǎng)因子也(yě)會被認爲是一個(gè)弱因子。爲了(le)解決風險溢價估計中的(de)弱因子問題，該文提出了(le)一個(gè)基于監督 PCA 來(lái)選擇檢驗資産的(de)方法（如第 3.5.2 節所述）。此外，這(zhè)個(gè)方法可(kě)以被用(yòng)來(lái)檢測随機貼現因子模型中的(de)缺失因子。

4.2.4 有哪些因子？

人(rén)們爲了(le)解釋股票(piào)預期收益率截面差異，已經找到了(le)數百個(gè)潛在的(de)候選因子。然而，其中很多(duō)因子在控制了(le)其他(tā)因子之後便對(duì)資産定價而言沒有增量的(de)解釋力，因而是冗餘的(de)。有些因子甚至自身就是完全無用(yòng)的(de)，沒有任何解釋力。

機器學習(xí)方法可(kě)以通(tōng)過降維和(hé)變量選擇來(lái)解決冗餘和(hé)無用(yòng)因子問題。例如，通(tōng)過将平均收益率對(duì)因子協方差進行 LASSO 回歸可(kě)以獲得(de)一個(gè)簡約的(de)因子集，它們能夠在截面上很好地爲資産定價。與此同時(shí)，錯誤選擇也(yě)是難以避免的(de)：過度拟合可(kě)能導緻選出無用(yòng)的(de)因子；相對(duì)解釋力較弱的(de)因子可(kě)能被遺漏；冗餘的(de)因子也(yě)有可(kě)能被選出從而取代真正的(de)因子。Feng et al. (2020) 的(de)發現（圖 4.1）顯示，在交叉驗證時(shí)采用(yòng)不同的(de)随機種子（即随機将樣本數據分(fēn)割爲多(duō)個(gè)子集）會對(duì) LASSO 回歸的(de)結果産生重大(dà)的(de)影(yǐng)響。

Feng et al. (2020) 将 Chernozhukov et al. (2018) 的(de)雙機器學習(xí)框架和(hé)兩步法橫截面回歸相結合，提出了(le)一個(gè)能夠識别與資産定價密切相關的(de)因子的(de)方法，并同時(shí)給出了(le)其估計量的(de)漸近分(fēn)布。通(tōng)過該分(fēn)布，他(tā)們可(kě)以對(duì)這(zhè)些因子進行推斷。

在實證方面，Feng et al. (2020) 遞歸地使用(yòng)他(tā)們的(de)推斷方法，以此區(qū)分(fēn)文獻中介紹的(de)有用(yòng)因子和(hé)無用(yòng)及冗餘因子。他(tā)們的(de)實證發現顯示，如果從 1994 年開始逐年應用(yòng)他(tā)們的(de)方法，那麽在 120 多(duō)個(gè)候選因子中隻有 17 個(gè)因子是有用(yòng)的(de)，而其他(tā)大(dà)多(duō)數因子則是冗餘或無用(yòng)的(de)。

另有文獻從模型不确定性和(hé)模型平均的(de)角度考慮因子模型的(de)選擇問題，相關的(de)研究包括 Avramov et al. (2023) 和(hé) Chib et al. (2023)。Avramov et al. (2023) 認爲，關于夏普比率取值的(de)先驗觀點将左右因子和(hé)預測變量的(de)選擇。總體上，貝葉斯所考慮到的(de)模型不确定性是未來(lái)金融機器學習(xí)領域中一個(gè)有趣的(de)研究方向。

4.3 條件因子模型

前一節重點關注了(le)歐拉方程 (1.2) 的(de)無條件版本（通(tōng)過空集代替信息集 $\mathbb{I}_t$ ，或去掉條件），即因子暴露和(hé)風險價格都是靜态的(de)，不随時(shí)間變化(huà)。通(tōng)常，當我們改變條件信息集時(shí)，因子也(yě)會随之而改變，這(zhè)是因爲資産的(de)條件矩會發生變化(huà)。我們不能完全否定如下(xià)這(zhè)種情況，即當我們去掉條件時(shí)，資産的(de)因子暴露和(hé)預期收益率不會發生變化(huà) —— 在這(zhè)種特殊情況下(xià)，條件和(hé)無條件模型是相同的(de)。然而，實證研究表明(míng)資産的(de)協方差在時(shí)間序列中是高(gāo)度可(kě)預測的(de)，并且大(dà)量的(de)證據表明(míng)資産的(de)預期收益率也(yě)是可(kě)預測的(de)。換句話(huà)說，我們可(kě)以排除“條件靜态”（譯者注：因子暴露和(hé)風險價格不随給定信息集而變化(huà)）這(zhè)一特殊情況。

是選擇條件還(hái)是無條件模型？這(zhè)是在研究收益率因子模型時(shí)要考慮的(de)問題。我們的(de)觀點是，研究者都應盡可(kě)能努力構建一個(gè)有效的(de)條件模型。條件模型往往目标遠(yuǎn)大(dà) —— 它們描述了(le)資産價格的(de)狀态依賴性，從而更精細地捕捉了(le)市場(chǎng)的(de)行爲。然而，提出條件模型的(de)要求也(yě)更高(gāo)，它需要研究者提供相關數據來(lái)總結當前的(de)條件。這(zhè)種條件信息集涉及的(de)方面可(kě)能非常廣泛，并且可(kě)能需要更豐富的(de)參數化(huà)模型來(lái)捕捉微妙的(de)條件行爲。當相關的(de)條件信息不可(kě)用(yòng)時(shí)，使用(yòng)簡單的(de)無條件模型，研究者在無需了(le)解詳細的(de)市場(chǎng)動态的(de)情況下(xià)便能夠理(lǐ)解基本的(de)資産行爲。因此，早期關于收益率因子分(fēn)析的(de)文獻大(dà)多(duō)使用(yòng)了(le)無條件模型（如前一節所述）。在本節中，我們将討(tǎo)論的(de)重點放在條件模型的(de)構建上。

與式 (4.1) 類似，向量形式的(de)條件隐性因子模型爲

$\displaystyle R_{t+1}=\alpha_t+\beta_tF_{t+1}+\epsilon_{t+1},~~~~~~(4.7)$

其中因子暴露和(hé)定價誤差均随條件信息集 $\mathbb{I}_t$ 變化(huà)。

4.3.1 IPCA

如不加入額外的(de)約束，模型則會因爲式 (4.7) 右側的(de)自由度太高(gāo)而無法被識别。Kelly et al. (2019) 利用(yòng)工具變量主成分(fēn)分(fēn)析（IPCA）将因子暴露（以及資産的(de)定價錯誤）和(hé)觀測變量聯系在一起，取得(de)了(le)一定的(de)進展。IPCA 模型的(de)形式爲：

$\displaystyle R_{t+1}=\underbrace{Z_t\Gamma_{\alpha}}_{\alpha_t} + \underbrace{Z_t\Gamma_{\beta}}_{\beta_t}F_{t+1}+\epsilon_{t+1},~~~~~~(4.8)$

其中 $N\times L$ 矩陣 $Z_t$ 表示 $N$ 個(gè)資産在L個(gè)可(kě)觀測特征（“工具變量”）的(de)取值。 $K\times 1$ 維向量 $F_{t+1}$ 表示隐性因子。Harvey and Ferson (1999) 以及近期的(de) Gagliardini et al. (2016) 也(yě)通(tōng)過可(kě)觀測變量的(de)時(shí)變函數爲因子暴露建模，但他(tā)們的(de)因子是完全可(kě)觀測的(de)。

IPCA 模型的(de)核心是其對(duì) $\beta_t$ 的(de)設定。首先最重要的(de)是，時(shí)變的(de)工具變量直接将條件性引入到條件因子暴露中。更爲根本的(de)是，納入工具變量允許多(duō)因子模型受到更多(duō)數據的(de)影(yǐng)響，這(zhè)與僅從收益率數據估算(suàn)因子結構的(de)無條件隐性因子方法（如 PCA）有所不同。此外，将因子暴露錨定到可(kě)觀察的(de)變量上，使得(de)我們在識别多(duō)因子模型時(shí)通(tōng)過數據部分(fēn)替代未識别的(de)參數。

模型中 $L\times K$ 維矩陣 $\Gamma_{\beta}$ 将潛在大(dà)量的(de)公司特征（ $L$ 維）映射到少數幾個(gè)風險因子（ $K$ 維）的(de)暴露上。當估計 $\Gamma_{\beta}$ 時(shí)，我們的(de)目标是尋找公司特征的(de)少數幾個(gè)線性組合，以使它們盡可(kě)能地代表隐性的(de)因子暴露結構。爲了(le)更好地理(lǐ)解這(zhè)一點，試想一下(xià) $\Gamma_{\beta}$ 是一個(gè) $L$ 維的(de)單位矩陣的(de)情況。這(zhè)時(shí)，容易證明(míng) $F_t$ 包含了(le) $L$ 個(gè)隐性因子（它們的(de)收益率正比于 $R_{t+1}^\prime Z_t$ ）且特征決定了(le)資産對(duì)這(zhè)些因子的(de)暴露值。這(zhè)不禁讓人(rén)想起 Rosenberg (1974) 以及 MSCI Barra 多(duō)因子模型（Barra 模型是業界一個(gè)常用(yòng)的(de)風險因子模型）。在 Barra 模型中， $Z_t$ 包括了(le)幾十個(gè)公司特征和(hé)行業指标。當特征 $L$ 的(de)數量很大(dà)時(shí)，自由參數的(de)數量等于因子實現值的(de)數量 $\{F_t\}$ ，或 $L\times T$ ，這(zhè)通(tōng)常比樣本數要多(duō)。Barra 模型中的(de)因子存在顯著的(de)冗餘（少量的(de)主成分(fēn)能夠捕獲了(le)它們的(de)大(dà)部分(fēn)共同變化(huà)），這(zhè)表明(míng)它的(de)過度參數化(huà)以及非有效性。

IPCA 通(tōng)過對(duì)特征空間降維來(lái)解決這(zhè)個(gè)問題。如果許多(duō)公司特征都關于股票(piào)風險敞口提供了(le)帶噪聲的(de)信号，那麽将它們聚合成線性組合能夠在剝離出信号的(de)同時(shí)一并抵消掉噪聲。

資産風格遷移問題，例如股票(piào)從小市值變成大(dà)市值或者從成長(cháng)股變爲價值股，對(duì)使用(yòng)簡單的(de)時(shí)間序列方法研究個(gè)股條件預期收益率模型提出了(le)極大(dà)的(de)挑戰。對(duì)此，常規的(de)解決方法是構造一些投資組合，每個(gè)組合中的(de)資産在特定公司特征上的(de)平均值在時(shí)序上相對(duì)穩定。然而，如果我們需要用(yòng)多(duō)個(gè)公司特征來(lái)準确描述資産時(shí)，上述方法就變得(de)不切實際。IPCA 的(de)解決方案是将因子暴露（ $\beta$ ）視爲影(yǐng)響股票(piào)風險和(hé)收益率的(de)公司特征的(de)函數。IPCA 通(tōng)過資産的(de)因子暴露來(lái)跟蹤資産風格遷移，而因子暴露又由公司特征而确定。這(zhè)使得(de)模型能夠根據特征的(de)取值來(lái)識别資産，不再需要研究者手動将資産劃分(fēn)到不同的(de)投資組合。因此，該模型無需通(tōng)過構造特設（ad-hoc）的(de)投資組合便能夠處理(lǐ)高(gāo)維度的(de)資産體系（即個(gè)股）。

最後，式 (4.8) 所示的(de) IPCA 設定還(hái)考慮了(le)這(zhè)樣一種可(kě)能，即（公司）特征代表 $\alpha$ 而非 $\beta$ 。傳統的(de)資産定價模型假設資産之間的(de)預期收益率差異僅僅是歸因于其風險敞口的(de)差異。然而，一旦 $L\times 1$ 維系數向量 $\Gamma_{\alpha}$ 不爲零，則意味著(zhe)股票(piào)層面的(de)特征能夠以一種和(hé)風險暴露對(duì)應之外的(de)方式來(lái)預測收益率（譯者注：即預測風險暴露之外的(de)超額收益率）。IPCA 在控制住公司特征對(duì)因子暴露的(de)作用(yòng)的(de)前提下(xià)，以盡可(kě)能解釋資産預期收益率截面差異爲目标，通(tōng)過公司特征的(de)線性函數（ $\Gamma_{\alpha}$ ）來(lái)估計 $\alpha$ 。如果特征和(hé)資産平均收益率的(de)關系與特征與風險因子暴露之間的(de)關系存在差異（譯者注：即預期收益不僅僅由對(duì)風險因子的(de)暴露決定），IPCA 便會得(de)到一個(gè)非零的(de)估計 $\Gamma_{\alpha}$ ，從而識别出錯誤定價（即因持有資産而獲得(de)的(de)與資産系統性風險敞口無關的(de)額外補償）。

表 4.2 将使用(yòng)不同數量隐性因子的(de) IPCA 模型（面闆A）與文獻中的(de)其他(tā)主要多(duō)因子模型進行了(le)比較。第一組比較模型包括預先指定的(de)可(kě)觀察因子，并逐一使用(yòng)資産進行時(shí)間序列回歸這(zhè)一傳統方法進行估計。K=1 表示 CAPM 模型，K=3 表示包括市場(chǎng)、SMB 以及 HML 的(de) Fama and French (1993) 三因子模型（以下(xià)簡稱“FF3”），K=4 表示 Carhart (1997，“FFC4”) 模型，它在 FF3 模型中加入了(le)動量因子 MOM，K=5 代表 Fama and French (2015，“FF5”) 五因子模型，它在 FF3 模型中加入了(le)盈利 RMW 和(hé)投資 CMA 因子，K=6（“FFC6”）則在 FF5 之上加入了(le)動量 MOM 因子。在表 4.2 的(de)結果中，所有 IPCA 模型都是在施加 $\Gamma_{\alpha} = 0$ 的(de)約束下(xià)而估計得(de)到，且所有時(shí)序回歸中都沒有包含截距項。

表 4.2 報告了(le)基于同期因子已實現收益率計算(suàn)的(de)總體 $R^2$ 、預測性 $R^2$ （用(yòng)因子收益率均值代替已實現值）以及每個(gè)模型中所需估計參數的(de)數量（ $N_p$ ）。我們同時(shí)彙報了(le)模型對(duì)個(gè)股以及基于特征構造的(de)投資組合的(de)定價表現。表中的(de)統計數據是樣本内的(de)計算(suàn)結果。當考慮股票(piào)時(shí)，基于可(kě)觀察因子的(de)模型的(de)總體 $R^2$ 略高(gāo)于 IPCA 模型。然而，爲了(le)實現這(zhè)一點，基于可(kě)觀察因子的(de)模型所需要估計的(de)參數數量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過 IPCA 模型。在這(zhè)個(gè)包含 11452 支股票(piào)、37 個(gè)工具變量和(hé) 599 個(gè)月(yuè)的(de)樣本中，可(kě)觀察因子模型所需估計的(de)參數是 IPCA 模型的(de) 18 倍（ $\approx 11452/(37 + 599)$ ）。換言之，IPCA 模型與主流多(duō)因子模型在刻畫(huà)個(gè)股系統性風險方面的(de)表現十分(fēn)接近，而 IPCA 模型将需要估計的(de)參數個(gè)數減少了(le)将近 95%。與此同時(shí)，IPCA 模型比可(kě)觀測因子模型提供了(le)關于股票(piào)風險補償更加準确的(de)刻畫(huà)，一如預測性 $R^2$ 所表明(míng)的(de)那樣。對(duì)于基于特征構造的(de)投資組合而言，無論是總體 $R^2$ 還(hái)是預測性 $R^2$ ，IPCA 模型都優于可(kě)觀測因子模型。

圖 4.2 比較了(le)兩類模型對(duì) 37 個(gè)基于特征構造的(de)“異象”投資組合的(de)平均定價誤差。在左側的(de)子圖中，縱坐(zuò)标是這(zhè)些異象組合相對(duì)于 FFC6 模型的(de)超額收益率 $\alpha$ ，橫坐(zuò)标是其原始的(de)平均收益率，可(kě)以看到它們和(hé) 45 度線相重疊（譯者注：說明(míng) FFC6 無法解釋這(zhè)些異象）。圖中實心正方形表示 t-statistic 超過 2.0 的(de) $\alpha$ ，空心圓圈表示不顯著的(de) $\alpha$ 。當使用(yòng) FFC6 作爲定價模型時(shí)，有 29 個(gè)特征投資組合獲得(de)了(le)顯著的(de) $\alpha$ 。這(zhè)些 $\alpha$ 圍繞著(zhe) 45 度線排列，表明(míng)它們的(de)平均收益率無法被 FFC6 模型中的(de)可(kě)觀測因子解釋。右側的(de)子圖展示了(le)包含五個(gè)隐性因子的(de) IPCA 模型的(de)情況。此時(shí)，僅有 4 個(gè)特征投資組合的(de)條件 $\alpha$ 顯著不爲零（但經濟意義很小）。基于上述結果，我們可(kě)以得(de)出如下(xià)結論：相對(duì)于具有可(kě)觀察因子的(de)資産定價模型而言，包含隐性因子的(de) IPCA 模型對(duì)一系列股票(piào)投資組合的(de)定價效果更好。

上述 IPCA 框架已被應用(yòng)于多(duō)種市場(chǎng)的(de)截面資産定價問題之中，包括國際股票(piào)（Langlois 2021; Windmueller 2022）、公司債券（Kelly et al. forthcoming）、股票(piào)指數期權（Büchner and Kelly 2022）、特定單一股票(piào)期權（Goyal and Saretto 2022）以及貨币（Bybee et al. 2023a）市場(chǎng)。此外，它還(hái)被用(yòng)來(lái)分(fēn)析價格趨勢信号的(de)盈利能力（Kelly et al. 2021）以及叙事資産定價模型（Bybee et al. forthcoming）。

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