Harry Markowitz

發布時(shí)間：2023-06-26 | 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作者：石川

摘要：謹以此文紀念 Harry Markowitz.

美(měi)國當地時(shí)間 2023 年 6 月(yuè) 22 日，現代投資組合理(lǐ)論發明(míng)者、諾貝爾經濟學獎獲獎者 Harry Markowitz 去世，享年 95 歲。

不誇張地說，在上世紀 50 年代，Markowitz 的(de)研究可(kě)謂從無到有，他(tā)以一己之力将數量化(huà)分(fēn)析方法應用(yòng)于金融市場(chǎng)，并開創性地提出現代投資組合理(lǐ)論（mean-variance 有效前沿），讓人(rén)們對(duì)于金融市場(chǎng)的(de)分(fēn)析從 DCF 轉向同時(shí)關注 return 和(hé) risk。

直到今天，資産配置依然是投資中（最）重要的(de)課題（之一）。而從事量化(huà)投資的(de)小夥伴也(yě)無不對(duì) mean-variance portfolio allocation 以及由此衍生出來(lái)的(de)其他(tā)配置方法如數家珍（見《淺析資産配置的(de)幾種方法》）。

本文就來(lái)簡要回顧一下(xià) Markowitz 學術發現背後的(de)心路曆程。本文前半部分(fēn)的(de)曆史叙述參考羅聞全教授的(de) In Pursuit of the Perfect Portfolio 一書(shū)中關于 Markowitz 的(de)章(zhāng)節（Lo and Foerster 2021），第三節是我個(gè)人(rén)的(de)思考。

1 命中注定

正如所有不凡人(rén)生都有一些傳奇色彩，Markowitz 也(yě)不例外。

1950 年，就像所有迷茫的(de) Ph.D. candidates 一樣，正在芝加哥(gē)大(dà)學攻讀博士學位的(de) Markowitz 坐(zuò)在他(tā)導師 Marschak 的(de)辦公室外，等待和(hé)他(tā)探討(tǎo)博士論文選題。與此同時(shí)，同樣等在門外的(de)是一位股票(piào)經紀人(rén)。也(yě)許是爲了(le)打發時(shí)間，這(zhè)個(gè)青澀的(de)、投資經營爲零的(de)博士生和(hé)這(zhè)位經紀人(rén)閑聊了(le)起來(lái)。而正是這(zhè)個(gè)契機改變了(le)一切。當日稍晚的(de)時(shí)候，Markowitz 對(duì)導師說“門外這(zhè)個(gè)人(rén)建議(yì)我研究股票(piào)市場(chǎng)。您覺著(zhe)如何？” Marschak 思考後告訴他(tā)這(zhè)是一個(gè)值得(de)嘗試的(de)方向。于是，這(zhè)次陰差陽錯的(de)邂逅便拉開了(le) Markowitz 的(de)研究之路，他(tā)緻力于将數學和(hé)統計學方法應用(yòng)于股票(piào)市場(chǎng)。

這(zhè)便是第一個(gè)命中注定的(de)時(shí)刻。然而，傳奇色彩遠(yuǎn)不止于此。

在上世紀 50 年代，别說是金融學，就連定量研究在股票(piào)市場(chǎng)中幾乎都是聞所未聞。因此，可(kě)供 Markowitz 參考的(de)文獻寥寥無幾。彼時(shí)，經由導師牽線搭橋，時(shí)任商學院院長(cháng)的(de) Marshall Ketchum 給 Markowitz 推薦了(le)幾本幫他(tā)了(le)解股票(piào)投資的(de)專著，其中包括 Graham 和(hé) Dodd 的(de)、如今家喻戶曉的(de) Security Analysis。不過對(duì) Markowitz 影(yǐng)響最大(dà)的(de)則要數 John Burr Williams 的(de) The Theory of Investment Value。也(yě)正是它極大(dà)推動了(le) Markowitz 的(de)研究。

1950 年的(de)某天下(xià)午，當 Markowitz 在芝加哥(gē)大(dà)學商學院圖書(shū)館中啃著(zhe) Williams 的(de)這(zhè)本著作時(shí)，一絲靈光(guāng)乍現誕生了(le)。Markowitz 發現 Williams 的(de)理(lǐ)論中忽視了(le)股票(piào)收益率之間的(de)相關性，此外該理(lǐ)論假設投資者隻關心預期收益率而不關心風險。在這(zhè)個(gè)假設下(xià)，投資者隻需購(gòu)買預期收益率最高(gāo)的(de)單支股票(piào)來(lái)構建投資組合即可(kě)，而不需要同時(shí)持有多(duō)支股票(piào)。

這(zhè)樣的(de)推論讓 Markowitz 十分(fēn)不解，因爲這(zhè)和(hé)業界的(de)共識不符。在 Ketchum 給 Markowitz 的(de)資料中，還(hái)有一份來(lái)自 Wiesenberger 的(de) Survey，它顯示投資者非常在乎多(duō)樣化(huà)（diversification）并且通(tōng)過買入公募基金來(lái)達到同時(shí)持有一攬子（而絕非單支）股票(piào)的(de)目的(de)。理(lǐ)論和(hé)實踐的(de)矛盾讓 Markowitz 意識到，Williams 的(de)理(lǐ)論中缺失了(le)一個(gè)重要的(de)因素，即投資者對(duì)投資組合整體風險的(de)關注。

爲了(le)确定投資組合的(de)風險，Markowitz 進一步意識到，Williams 忽視股票(piào)收益率之間的(de)相關性也(yě)是錯誤的(de)。因爲股票(piào)的(de)收益率之間是相關的(de)，而非獨立的(de)。因此，僅僅知道單一股票(piào)的(de)風險是不夠的(de)，而且還(hái)要知道它們的(de)相關性。Markowitz 事後回憶道，這(zhè)個(gè)想法是他(tā)學術生涯的(de)第一個(gè) aha moment。每當有人(rén)問他(tā)“你是否意識到這(zhè)會爲你帶來(lái)諾貝爾獎”時(shí)，他(tā)總是回答(dá)說“當然不！但是我意識到這(zhè)會給我帶來(lái)一個(gè)博士學位。”

這(zhè)便是第二個(gè)命中注定的(de)時(shí)刻。

2 現代投資組合理(lǐ)論的(de)誕生

由于良好的(de)數學和(hé)統計學訓練，通(tōng)過标準差刻畫(huà)單一股票(piào)風險，通(tōng)過相關系數和(hé)标準差來(lái)計算(suàn)投資組合的(de)風險對(duì)于 Markowitz 似乎就是水(shuǐ)到渠成一般。

在第二個(gè)命中注定時(shí)刻的(de)那天下(xià)午，Markowitz 在草(cǎo)稿紙上畫(huà)出了(le)也(yě)許是世界上第一個(gè) mean-variance 有效前沿。隻不過當時(shí)他(tā)把預期收益率放在了(le)橫坐(zuò)标，将風險放在了(le)縱坐(zuò)标，因此有效前沿如下(xià)圖所示（摘自其 1952 年發表在 JF 上的(de)文章(zhāng)），即對(duì)于給定的(de)預期收益率，該組合風險最低；或者對(duì)于給定的(de)風險，該組合的(de)預期收益率最高(gāo)。

1952 年，Markowitz 以 Portfolio Selection 爲題将其研究成果發表在 Journal of Finance 上，這(zhè)甚至比他(tā)獲得(de)博士學位還(hái)要早了(le)兩年。這(zhè)篇文章(zhāng)通(tōng)篇數學公式，并配合恰當的(de)圖例，這(zhè)對(duì)于當年的(de) JF 來(lái)說，是十足的(de)異類。然而在如今看來(lái)，正是它拉開了(le)定量研究的(de)序幕，Markowitz 也(yě)被稱爲現代投資組合之父。

不過有意思的(de)是，無論是金融學的(de)發端還(hái)是 Markowitz 的(de)曆史功績背後，都不乏一些逸聞趣事，向世人(rén)傳遞著(zhe)屬于那個(gè)時(shí)代的(de)溫情。

在 Markowitz 博士論文答(dá)辯之前，他(tā)認爲自己不會遇到什(shén)麽麻煩。然而，在答(dá)辯僅僅進行了(le)五分(fēn)鐘(zhōng)之後，Milton Friedman 便打斷他(tā)說“Harry，你的(de)論文不屬于經濟學範疇，我們不能給你經濟學博士學位。”可(kě)以想象，在之後的(de)一個(gè)半小時(shí)中，Markowitz 是在怎樣的(de)糾結中度過。不過最終的(de)結果并沒有像 Friedman 描述的(de)那樣“殘酷”。在他(tā)答(dá)辯之後，學術委員(yuán)會隻進行了(le) 5 分(fēn)鐘(zhōng)的(de)討(tǎo)論便達成了(le)共識：“Congratulations Dr. Markowitz”。Friedman 後來(lái)告訴 Markowitz，就學術成果而言，他(tā)足以獲得(de)博士學位，隻不過即使在 50 年後，Friedman 依然堅持自己的(de)看法，即他(tā)的(de)研究并不屬于經濟學。也(yě)許正是在那個(gè)時(shí)刻，作爲新興學科的(de)金融學悄然發轫。

如今，提到現代投資組合理(lǐ)論，人(rén)們會首推 Markowitz (1952)；而 Markowitz 也(yě)被認爲是現代投資組合理(lǐ)論之父。然而無巧不成書(shū)，似乎是注定再添加一筆傳奇色彩，早在十二年前的(de) 1940，現代投資組合理(lǐ)論的(de)雛形就被一位意大(dà)利統計學家 de Finett 提出了(le)。在其論文中，de Finetti 在保險精算(suàn)問題中使用(yòng)了(le) mean-variance analysis 但是并沒有試圖解決最優化(huà)問題。然而由于語言壁壘（論文是意大(dà)利語而非英語）以及研究的(de)并非是金融投資問題，他(tā)的(de)發現并沒有得(de)到足夠的(de)重視。此外，在 Markowitz (1952) 發表後三個(gè)月(yuè)，來(lái)自英國的(de) A. D. Roy 在 Econometrica 上也(yě)發表了(le)類似的(de)發現。

Markowitz 在事後談到這(zhè)些早期或者同期的(de)發現時(shí)表現的(de)十分(fēn)淡然（比如他(tā)用(yòng)“De Finetti Scoops Markowitz”評價了(le) de Finetti 的(de)文章(zhāng)）。也(yě)許和(hé)其他(tā)大(dà)佬一樣，追求真相的(de)快(kuài)感遠(yuǎn)遠(yuǎn)高(gāo)于個(gè)人(rén)所獲得(de)的(de)榮譽。

3 未竟的(de)事業

如今，mean-variance 投資組合理(lǐ)論曆經了(le) 70 餘載，而資産配置也(yě)早已成爲投資中最重要的(de)課題。

現代投資組合理(lǐ)論雖然在數學上十分(fēn)優雅，但是在實踐中，由于需要估計的(de)參數誤差很大(dà)（包括預期收益率非常難以估計，且協方差的(de)逆運算(suàn)也(yě)有很多(duō)實操的(de)坑），因此其在業界往往被吐槽。不過，質疑也(yě)好，吐槽也(yě)罷，本節還(hái)是讓我們客觀的(de)來(lái)評價一下(xià) mean-variance 最優化(huà)。

讓我們從一個(gè)簡單的(de)實證說起。

我以 BetaPlus 小組針對(duì) A 股市場(chǎng)構造的(de) Fama-French 五因子爲待配置的(de)标的(de)（數據可(kě)在 www.factorwar.com 下(xià)載）。假設曆史數據計算(suàn)的(de) $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ 就是真實的(de) $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ ，而下(xià)圖中藍線是根據該 $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ 計算(suàn)而來(lái)的(de)有效前沿。接下(xià)來(lái)，假設這(zhè)五個(gè)組合的(de)收益率滿足 multivariate normal（參數爲上述 $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ ），并生成模拟樣本。對(duì)于每次模拟，使用(yòng)模拟樣本計算(suàn) $\mu^\prime$ 和(hé) $\Sigma^\prime$ ，并使用(yòng)它們計算(suàn)投資組合的(de)最優權重 $w^\prime$ 。得(de)到最優權重 $w^\prime$ 之後，将其代入到真實的(de)參數 $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ 中，便得(de)到了(le)圖中的(de)綠線（一共考慮了(le) 50 組模拟，因此一共有 50 條綠色曲線）。

由于真實的(de)參數是 $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ ，而我們計算(suàn)最優權重使用(yòng)的(de)是 $\mu^\prime$ 和(hé) $\Sigma^\prime$ ，因此每個(gè)模拟中的(de)綠色有效前沿都要比藍色曲線差。它們的(de)差異表明(míng)了(le)參數估計誤差對(duì)實際投資組合的(de)影(yǐng)響。這(zhè)往往就是人(rén)們抱怨 mean-variance 最優化(huà)的(de)原因。然而，另一個(gè)更重要的(de)因素是，資産的(de)預期收益率（以及協方差）不滿足平穩性（e.g.，結構性變化(huà)）。和(hé)參數估計不準确相比（參數估計準确性可(kě)以通(tōng)過更多(duō)的(de)曆史樣本來(lái)提高(gāo)），DGP 變化(huà)導緻的(de)參數變化(huà)對(duì)于 mean-variance 最優化(huà)在樣本外的(de)表現影(yǐng)響更大(dà)。

在 Markowitz (1952) 中，下(xià)面這(zhè)兩段話(huà)其實非常重要。Markowitz 在文章(zhāng)中将資産配置過程分(fēn)爲兩個(gè)步驟，第一步是對(duì) $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ 的(de)估計，第二步才是構造 mean-variance 最優組合。盡管第一步不是他(tā)關注的(de)，但下(xià)面這(zhè)段話(huà)還(hái)是反映出他(tā)的(de)觀點，即僅僅使用(yòng)曆史數據來(lái)估計未來(lái)的(de) $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ 是不夠的(de)，而一些包含其他(tā)信息的(de) judgment 是必要的(de)。

這(zhè)自然而然的(de)就讓我想到了(le) Black-Litterman 這(zhè)個(gè)貝葉斯框架下(xià)的(de)資産配置利器。該模型從市場(chǎng)均衡狀态出發确定預期收益率的(de)先驗，并結合投資者的(de)主觀判斷（以此捕捉 DGP 的(de)變化(huà)）形成預期收益率的(de)後驗。将其作爲預期收益率的(de)估計代入到 mean-variance 最優化(huà)問題中，往往能夠獲得(de)比直接使用(yòng)曆史數據更好的(de)結果。

此外，由于 mean-variance 最優化(huà)中協方差需要估計的(de)參數太多(duō)，Markowitz 也(yě)嘗試提出一種簡化(huà)模型來(lái)實現 portfolio selection。而正是這(zhè)個(gè)契機成就了(le) Sharpe 的(de)研究，造就了(le)後來(lái)家喻戶曉的(de) CAPM。

另一方面，考慮到事前估計 $\mu$ 和(hé) $\Sigma$ 十分(fēn)困難，人(rén)們又通(tōng)過合理(lǐ)假設來(lái)規避掉某些需要估計的(de)參數，并相繼提出了(le)很多(duō)其他(tā)的(de)資産配置方法，如 minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity 等。這(zhè)些模型均對(duì)實踐中的(de)資産配置産生了(le)深遠(yuǎn)的(de)影(yǐng)響，而它們都源自 Markowitz 的(de)現代投資組合理(lǐ)論。

和(hé)那個(gè)年代的(de)許多(duō)大(dà)師一樣，Markowitz 作爲奠基者之一見證了(le)金融學從 0 到 1。而他(tā)也(yě)是當之無愧的(de)現代投資組合理(lǐ)論之父。

謹以此文紀念 Harry Markowitz。

參考文獻

Lo, A. W. and S. R. Foerster (2021). In Pursuit of the Perfect Portfolio: The Stories, Voices, and Key Insights of the Pioneers Who Shaped the Way We Invest. Princeton University Press.

Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. Journal of Finance 7(1), 77 – 91.

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