機器學習(xí)與資産定價: Facts and Fictions
發布時(shí)間：2023-06-21 | 來(lái)源: 川總寫量化(huà)
作者：石川
摘要：本文從五方面闡述中低頻(pín)實證資産定價中的(de)機器學習(xí)應用(yòng)。
自 Gu, Kelly and Xiu (2020) 這(zhè)篇綜述把機器學習(xí)方法正式引入實證資産定價研究以來(lái)，學術界的(de)一衆學者在這(zhè)幾年将各種（線性的(de)非線性的(de)）機器學習(xí)模型都應用(yòng)到了(le)股票(piào)收益率的(de)預測之上。
這(zhè)背後的(de)契機是大(dà)數據和(hé)機器學習(xí)時(shí)代協變量的(de)激增以及協變量和(hé)未來(lái)收益率之間的(de)複雜(zá)關系。這(zhè)二者給傳統基于計量經濟學方法的(de)實證研究帶來(lái)了(le)巨大(dà)的(de)挑戰。毫無疑問，計量經濟學方法是可(kě)以被用(yòng)來(lái)分(fēn)析簡單線性關系和(hé)進行參數審定（parameter adjudication）的(de)利器，然而它并非處理(lǐ)高(gāo)維預測（prediction）問題時(shí)的(de)首選。對(duì)于後者來(lái)說，早在自然語言處理(lǐ)、圖像識别等其他(tā)領域證明(míng)了(le)自己的(de)機器學習(xí)算(suàn)法自然而然地走進了(le)人(rén)們的(de)視野。
伴随而來(lái)的(de)，是學界的(de)研究從 diminishing anomalies（即提出 ad-hoc 簡約模型來(lái)消滅異象）向 increasing prominence of machine learning methods（即如何通(tōng)過機器學習(xí)算(suàn)法得(de)到更好的(de)預測）的(de)轉型，并從中形成新的(de)研究範式。研究悄然從 procedurally 轉向了(le) empirically。無論認可(kě)與否，在大(dà)勢面前，一切似乎都不可(kě)逆轉，那些将機器學習(xí)算(suàn)法用(yòng)于資産定價并發表在頂刊上的(de)實證文章(zhāng)就是最好的(de)證明(míng)。
通(tōng)讀這(zhè)些基于美(měi)股市場(chǎng)（當然，有不少已經被 copy & paste 到了(le) A 股，sorry for 吐槽）、發表在頂刊上的(de)實證文章(zhāng)其實不難發現，無論是理(lǐ)論描述還(hái)是實證結果，它們都有很多(duō)的(de)共性。深入理(lǐ)解它們，有助于加深對(duì)将機器學習(xí)算(suàn)法應用(yòng)于實證資産定價的(de)正确認知。因此，今天這(zhè)篇小文就以 Facts 和(hé) Fictions 爲題從五方面梳理(lǐ)這(zhè)類研究的(de)“是”與“非”。希望通(tōng)過此文幫你客觀了(le)解實證研究的(de)現狀。
最後想要強調的(de)是，本文的(de)闡述僅限于中低頻(pín)實證資産定價中的(de)機器學習(xí)應用(yòng)。在國内外的(de)量化(huà)投資實踐中，注定會有一些領先于學術研究的(de)内容，但它們不在本文討(tǎo)論範圍之内。另外，本文參考文獻中優先引用(yòng)已發表的(de)版本。
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Fiction: 将數據無腦(nǎo)扔進高(gāo)級算(suàn)法，單純指望數據發聲。
金融數據低信噪比和(hé)不滿足平穩性這(zhè)兩個(gè)特點足以打消人(rén)們單純指望數據發聲的(de)良好願景。就資産定價來(lái)說，參數先驗、協變量尺度縮放、正則化(huà)罰項以及調參依據選擇等都會影(yǐng)響最終的(de)結果（Nagel 2021，我和(hé)王熙老師的(de)翻譯在此）。
下(xià)面這(zhè)個(gè)例子來(lái)自 Nagel (2021)，雖然簡單，但能清晰闡明(míng)上面的(de)問題。假設我們使用(yòng)過去 120 期的(de)曆史收益率以及它們的(de)平方和(hé)三次方作爲協變量來(lái)預測下(xià)一期收益率。下(xià)表總結了(le)不同設定下(xià)的(de)預測結果。其中 Method 一欄表明(míng)了(le)正則化(huà)的(de)罰項（OLS 表示沒有正則化(huà)），Scaling 一欄表明(míng)對(duì)協變量進行了(le)怎樣的(de)标準化(huà)處理(lǐ)（Equal 表示協變量都被标準化(huà)到均值爲 0、标準差爲 1；Unequal 表明(míng)協變量标準化(huà)之後的(de)标準差不同），CV criterion 一欄表示調參的(de)依據（例如以驗證集 R-squared 或者以投資組合在驗證集上的(de)預期收益率
表中的(de)實證結果顯示，模型設定對(duì)于會産生怎樣的(de)結果影(yǐng)響很大(dà)。然而，當我們面臨衆多(duō)選擇時(shí)，不該也(yě)無法枚舉所有的(de)排列組合，而是應該充分(fēn)利用(yòng)先驗。例如，如果我們認爲模型是非稀疏的(de)，那麽就會傾向 Ridge 而非 Lasso；如果我們認爲協變量在預測收益率時(shí)的(de)重要程度不同，可(kě)能就會選擇 Unequal 而非 Equal 的(de)處理(lǐ)方式；如果我們從金融問題核心出發，可(kě)能會選擇以最大(dà)化(huà)夏普比率（或最小化(huà) pricing errors）而非傳統的(de) R-squared 來(lái)進行模型調優。而這(zhè)些的(de)背後，都離不開資産定價理(lǐ)論。
Fact: 以大(dà)數據爲依托、以機器學習(xí)算(suàn)法爲工具，圍繞資産定價理(lǐ)論展開。
在實證資産定價這(zhè)個(gè)領域，從 CAPM，到 APT/ICAPM，再到 zoo of factors，層出不窮的(de)實證挑戰無疑極大(dà)推動了(le)學科的(de)發展。然而，無論範式如何演化(huà)，研究都是圍繞著(zhe)實證資産定價理(lǐ)論展開的(de)。
以最近幾年火爆的(de)幾篇文章(zhāng)爲例，Bryzgalova, Pelger and Zhu (2020) 以及 Chen, Pelger and Zhu (forthcoming)，雖然前者使用(yòng)了(le)決策樹而後者使用(yòng)了(le)生成對(duì)抗網絡（GAN），但它們都是在随機貼現因子（SDF）這(zhè)一框架下(xià)将不同的(de)算(suàn)法應用(yòng)于資産定價。又比如，Kelly, Pruitt and Su (2019) 的(de) IPCA 以及 Gu, Kelly and Xiu (2021) 的(de) Autoencoder 則使用(yòng)了(le)隐性多(duō)因子模型，即把
在實證方面，這(zhè)些文章(zhāng)的(de)共性是使用(yòng)了(le)大(dà)量的(de)協變量（of course 較傳統研究而言），并通(tōng)過投資組合的(de) OOS 表現來(lái)表明(míng)方法的(de)有效性。雖然它們各自嘗試了(le)不同的(de)機器學習(xí)算(suàn)法，但鑒于 SDF 和(hé)多(duō)因子模型的(de)等價性，它們都可(kě)以被放在一統的(de)框架下(xià)審視和(hé)學習(xí)。
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Fiction: 機器學習(xí)模型是黑(hēi)箱，學術研究不關注可(kě)解釋性。
對(duì)于傳統的(de) ad-hoc 多(duō)因子模型或者異象研究而言，可(kě)解釋性是它們的(de)靈魂。比如 FF5 是基于 DDM、q-factor model 是基于 q-theory。而各種關于異象的(de)論文中也(yě)會有解釋（risk-based vs mispricing）。而一旦把研究目标轉移到通(tōng)過複雜(zá)模型構造更準确的(de)收益率預測，給人(rén)的(de)印象就是這(zhè)方面的(de)要求就被淡化(huà)了(le)。然而，事實并非如此。
對(duì)于線性模型而言，例如 Kozak, Nagel and Santosh (2018, 2020) 的(de) PCA，以及 KPS 的(de) IPCA，模型的(de)解釋是非常清晰的(de)。以前者爲例，KNS 在對(duì)通(tōng)過 size 和(hé) value 劃分(fēn)出的(de) 25 個(gè)投資組合進行 PCA 時(shí)發現前兩個(gè) PCs 完美(měi)對(duì)應著(zhe) SMB 和(hé) HML 因子；而對(duì)于後者而言，IPCA 雖然在數學上看似繁瑣，但其背後的(de)直覺解釋卻是一系列通(tōng)過 cross-section regression 構造的(de) managed portfolios 的(de)線性組合（PCs）。因此，對(duì)于線性模型而言，其解釋性恰恰植根于我們熟悉的(de) regression 以及 portfolio sort 方法中。
而對(duì)于非線性模型而言，其可(kě)解釋性雖然不如線性模型那麽直觀，但學術研究依然給予了(le)它足夠的(de)重視（見 fact 部分(fēn)）。
Fact: 機器學習(xí)揭示的(de)最重要預測變量和(hé)大(dà)量實證資産定價結果吻合。
Gu, Kelly and Xiu (2020) 使用(yòng) permutation importance 揭示了(le)哪些協變量對(duì)解釋預期收益率最重要（下(xià)圖）。從中我們可(kě)以看出：（1）最重要的(de)協變量和(hé)以往實證結果相吻合，其中最重要的(de)變量大(dà)緻可(kě)以分(fēn)爲四大(dà)類，即動量/反轉，流動性相關，風險相關（比如 IVOL）以及基本面相關；（2）不同的(de)機器學習(xí)模型來(lái)說，最重要的(de)協變量也(yě)在很大(dà)程度上是相似的(de)。
Chen, Pelger and Zhu (forthcoming) 通(tōng)過計算(suàn) SDF 權重對(duì)協變量的(de)偏導數來(lái)評價模型的(de)可(kě)解釋性。下(xià)圖顯示，在所有協變量中，最重要的(de)可(kě)以被分(fēn)爲交易摩擦、價值、無形資産、盈利、投資以及曆史收益率幾大(dà)類。
另一篇值得(de)一提的(de)文章(zhāng)是 Kozak (2019)。它利用(yòng) kernel trick 巧妙地在不增加運算(suàn)量的(de)前提下(xià)将協變量映射到高(gāo)維并對(duì)映射後的(de)協變量進行 PCA，以此來(lái)進行資産定價。在使用(yòng)了(le)非線性 kernel 後，我們無從知道映射後的(de)協變量是什(shén)麽樣子。但是，通(tōng)過将構造的(de) SDF 映射到原始協變量的(de) managed portfolios，依然能夠鑒别出最重要的(de)解釋變量。
最後，也(yě)可(kě)以通(tōng)過觀察選出股票(piào)（多(duō)頭或者多(duō)空對(duì)沖組合）在不同協變量上是否有共性來(lái)判斷哪些變量更加重要，例如 Avramov, Cheng and Metzker (2023)。
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Fiction: 複雜(zá)模型容易樣本内過拟合，導緻樣本外預測誤差加劇。
對(duì)于模型來(lái)說，其樣本外表現和(hé)模型複雜(zá)度關系密切。當模型複雜(zá)度很低時(shí)，模型的(de)方差很小，但是偏差很高(gāo)；當模型複雜(zá)度高(gāo)時(shí)，模型的(de)方差變大(dà)，但是偏差降低。二者的(de)共同作用(yòng)就是人(rén)們熟悉的(de) bias-variance trade-off，因此存在某個(gè)最優的(de)超參數，使得(de)樣本外的(de)總誤差（風險）最低。
我們還(hái)可(kě)以換個(gè)角度來(lái)理(lǐ)解 bias-variance trade-off。當模型很簡單時(shí)，它能夠有效規避過拟合，但并非是真實世界的(de)很好近似；而當模型複雜(zá)時(shí)，它更有可(kě)能逼近真實世界，但是也(yě)的(de)确更容易過拟合。因此 bias-variance trade-off 也(yě)可(kě)以理(lǐ)解爲 approximation-overfit trade-off。
然而，上述結論有一個(gè)人(rén)們習(xí)以爲常的(de)前提：變量個(gè)數 < 樣本個(gè)數。如果模型複雜(zá)到變量的(de)個(gè)數超過了(le)樣本的(de)個(gè)數又會怎樣呢(ne)？事實上，這(zhè)一問題并非無緣無故的(de)憑空想象。對(duì)于複雜(zá)的(de)神經網絡模型來(lái)說，模型參數的(de)個(gè)數很容易超過樣本的(de)個(gè)數。當變量個(gè)數 ≥ 樣本個(gè)數時(shí)（被稱爲 over-parameterization），模型在樣本内能夠完美(měi)的(de)拟合全部樣本（當變量個(gè)數和(hé)樣本個(gè)數相等時(shí)，模型能夠完美(měi)的(de) fit 所以樣本點。這(zhè)個(gè)現象在機器學習(xí)術語中被稱爲 interpolation）。由于金融數據的(de)信噪比極低，對(duì)于這(zhè)樣一個(gè)妥妥樣本内過拟合了(le)噪聲的(de)模型，人(rén)們通(tōng)常的(de)認知是，它在樣本外的(de)預測誤差一定會“爆炸”。然而事實也(yě)許并非如此。
Fact: 複雜(zá)模型是真實 DGP 的(de)更好近似，在正則化(huà)使用(yòng)得(de)當的(de)前提下(xià)，複雜(zá)模型帶來(lái)的(de)好處可(kě)能優于統計代價。
近年來(lái)，機器學習(xí)領域一個(gè)令人(rén)興奮的(de)發現就是樣本外誤差随模型複雜(zá)度變化(huà)的(de) double descent 現象。Belkin et al (2019) 指出，當模型複雜(zá)度突破樣本個(gè)數這(zhè)個(gè)“禁忌之地”後，神奇的(de)事情發生了(le)：樣本外總誤差并沒有“爆炸”，而是随著(zhe)複雜(zá)度的(de)提升單調下(xià)降。正因爲在樣本個(gè)數兩側都出現了(le)誤差單調下(xià)降的(de)情況，這(zhè)個(gè)現象被稱爲 double descent。
這(zhè)背後的(de)直覺解釋是：當協變量個(gè)數超過樣本個(gè)數的(de)時(shí)候，樣本内的(de)解是不唯一的(de)，而最優的(de)解可(kě)以理(lǐ)解爲讓參數的(de)方差最小的(de)那個(gè)解。随著(zhe)變量越來(lái)越多(duō)，最優解的(de)方差總能單調下(xià)降。再來(lái)看偏差，通(tōng)常來(lái)說，偏差确實會随著(zhe)複雜(zá)度的(de)提升而增加。但是所有模型都是真實 DGP 的(de)某個(gè) mis-specified 版本。當存在模型設定偏誤的(de)時(shí)候，可(kě)以證明(míng)當變量個(gè)數超過樣本個(gè)數時(shí)，偏差也(yě)會在一定範圍内随著(zhe)複雜(zá)度而下(xià)降。因此，二者的(de)綜合結果就是模型在樣本外的(de)誤差表現會随複雜(zá)度的(de)上升而下(xià)降。對(duì)于 double descent 現象背後的(de)理(lǐ)論，感興趣的(de)小夥伴請參考 Hastie et al. (2022)。
在實證資産定價方面， Kelly, Malamud and Zhou (forthcoming) 将上述理(lǐ)念應用(yòng)到了(le)美(měi)股擇時(shí)之中，并發現了(le)類似的(de) double descent 現象：當采用(yòng)協變量個(gè)數遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過樣本個(gè)數的(de)模型時(shí)，樣本外的(de)夏普比率提升了(le)。客觀的(de)說，關于模型複雜(zá)度和(hé)樣本外表現的(de)討(tǎo)論，在資産定價領域尚處于萌芽階段，且正則化(huà)（或者 implied 正則化(huà)）在這(zhè)個(gè)過程中至關重要，期待未來(lái)在這(zhè)方面有更多(duō)精彩的(de)研究成果。
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Fiction: 非線性模型可(kě)以輕松讓夏普比率翻倍。
我們先看一組似乎足以推翻這(zhè)個(gè) fiction 的(de)實證結果。Baba-Yara, Boyer and Davis (2021) 複現了(le)最近幾年最重要的(de)機器學習(xí)模型，并将它們的(de)結果和(hé)傳統的(de)多(duō)因子模型進行了(le)比較。我挑選了(le)幾個(gè)有代表性的(de)彙總于下(xià)表。
上述結果清晰的(de)表明(míng)，相比于傳統多(duō)因子模型，機器學習(xí)模型的(de)夏普比率确實是前者的(de)兩倍甚至是三倍。但不要忘了(le)，右邊這(zhè)些都是強加了(le)特設稀疏性的(de)簡約模型（隻用(yòng)了(le)太少的(de)變量），因此這(zhè)樣的(de)比較是不公平的(de)。（另外，在本節 fact 部分(fēn)我們還(hái)會再次討(tǎo)論上述結果，相信那時(shí)候你會更加确信。）另一方面，如果你仔細觀察就不難發現，在上面的(de)結果中，KNS 的(de) PCA 以及 KPS 的(de) IPCA（這(zhè)兩個(gè)非條件和(hé)條件線性模型）的(de)夏普比率反而要高(gāo)于另外兩個(gè)分(fēn)别利用(yòng)随機森林(lín)和(hé)神經網絡的(de)模型。因此，非線性模型（至少在上述實證結果中）并沒有占得(de)便宜。
Fact: 非線性模型能捕捉協變量和(hé)預期收益率之間的(de)非線性關系，且現階段對(duì)表現隻是提供邊際增量貢獻。
事到如今，我們無需懷疑協變量和(hé)預期收益率之間存在非線性關系。哪怕是傳統的(de) double portfolio sort，也(yě)是考察控制了(le)變量 A 之後，變量 B 和(hé)預期收益率的(de)關系。由 Nagel (2021) 以及大(dà)量最新實證資産定價論文的(de)結果可(kě)知，在非線性關系中，變量的(de)交互作用(yòng)是最重要的(de)。對(duì)于傳統線性回歸模型來(lái)說，一旦協變量數目激增，枚舉考慮兩兩變量的(de)交乘項是不切實際的(de)，因此這(zhè)就給了(le)善于處理(lǐ)非線性關系的(de)機器學習(xí)模型施展的(de)空間。
話(huà)雖如此，我們也(yě)應該對(duì)非線性關系對(duì)于預測收益率提供的(de)增量貢獻有正确的(de)預期。Chen, Pelger and Zhu (forthcoming) 的(de)實證結果顯示，他(tā)們的(de)生成對(duì)抗網絡在構造 SDF 時(shí)能夠捕捉到協變量之間的(de)交互作用(yòng)，然而另一方面，他(tā)們也(yě)強調獨立協變量對(duì)于 SDF 的(de)影(yǐng)響幾乎是線性的(de)。
下(xià)面讓我們回到 fiction 部分(fēn)提到的(de) Baba-Yara, Boyer and Davis (2021) 一文。上面的(de)這(zhè)個(gè)表來(lái)自該文的(de)早期版本，其 OOS 實證區(qū)間是 1990 到 2020。然而，在最新的(de)版本中，其 OOS 實證區(qū)間搖身一變縮短爲 1990 到 2016。論文的(de)版本更新了(le)，而實證區(qū)間卻倒退了(le)，實在令人(rén)不解。而更讓人(rén)匪夷所思的(de)是，作者給出的(de)解釋竟然是作爲比較的(de) ad-hoc 模型 Stambaugh-Yuan 的(de)數據隻到 2016 年（你們在複現機器學習(xí)模型！拜托！）。既然早期工作版本中能複現到 2020 年，爲什(shén)麽在新的(de)版本中卻又以此爲借口放棄了(le)？真正的(de)動機恐怕隻有作者自己清楚。
在這(zhè)個(gè)短一些的(de)實證區(qū)間内，實證結果如下(xià)（下(xià)表中括号内數據是截至到 2020 年的(de)結果，放在這(zhè)裏方便比較）。有意思的(de)是，當實證區(qū)間的(de)終點選爲 2016 之後，四個(gè)機器學習(xí)模型都不同程度的(de)變差了(le)（BPZ 有些讓人(rén)意外），而四個(gè) ad-hoc 模型卻都提升了(le)（SY 發表在 2017，FF6 = FF5 + Carhart Mom 而 FF5 以及 HXZ 都發表在 2015，玄妙吧）。
Anyway，讓我們聚焦于機器學習(xí)模型。上述對(duì)比說明(míng)，随著(zhe)實證區(qū)間的(de)不同，模型的(de)結果也(yě)會有較大(dà)的(de)波動。而另一方面，所有這(zhè)些發表在頂刊上的(de)論文，雖然它們都是使用(yòng) rolling 或者 expanding 窗(chuāng)口進行訓練和(hé)驗證，然後再預測樣本外的(de) next month、如此往複，但是這(zhè)些文章(zhāng)并沒有對(duì)調參的(de)過程以及不同參數下(xià)模型的(de)穩健性進行多(duō)少（if any!）的(de)描述。從這(zhè)個(gè)意義上說，機器學習(xí)應用(yòng)于資産定價的(de)研究生态還(hái)遠(yuǎn)談不上完善（呼籲有大(dà)佬能站出來(lái)，提出學界認可(kě)的(de)研究生态）。
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Fiction: 機器學習(xí)模型可(kě)以很容易地被應用(yòng)于實踐。
雖然機器學習(xí)模型在實證資産定價的(de)學術研究中取得(de)了(le)令人(rén)欣慰的(de)結果，但并不意味著(zhe)它們能夠被輕易的(de)用(yòng)于實踐，并獲得(de)可(kě)觀的(de)費後超額收益。這(zhè)方面一個(gè)最重要的(de)經驗事實是，機器學習(xí)模型構造的(de)投資組合都有很高(gāo)的(de)換手率。
在這(zhè)方面，Avramov, Cheng and Metzker (2023) 複現了(le) Gu, Kelly and Xiu (2020) 中的(de)神經網絡模型、CPZ 的(de) GAN、KPS 的(de) IPCA 以及 Gu, Kelly and Xiu (2021) 的(de)（Conditional）Autoencoder (CA)。這(zhè)些模型的(de)月(yuè)均換手率如下(xià)。作爲對(duì)比，像 size 和(hé) value 這(zhè)種傳統低頻(pín)風格因子的(de)月(yuè)均換手率通(tōng)常低于 10%（即 0.1）。通(tōng)過對(duì)交易成本的(de)估計，Avramov, Cheng and Metzker (2023) 指出，在如此高(gāo)的(de)換手率下(xià)，對(duì)于一般投資者（average investors）來(lái)說，很難通(tōng)過機器學習(xí)模型賺取額外的(de)超額收益（當然不排除有些投資者能夠很好的(de)将這(zhè)些模型工程化(huà)，并在高(gāo)換手率的(de)前提下(xià)依然獲得(de)超額收益）。
爲了(le)應對(duì)交易成本帶來(lái)的(de)挑戰，Jensen et al. (2022) 提出了(le) implementable efficient frontier 的(de)概念，即在構造策略的(de)時(shí)候直接通(tōng)過費後收益率進行評估，從而将帶有交易成本的(de)投資組合優化(huà)問題融入到機器學習(xí)的(de)框架之中，并取得(de)了(le)不錯的(de)結果。
Fact: 機器學習(xí)發現的(de)可(kě)預測性部分(fēn)集中于套利成本和(hé)交易成本高(gāo)的(de)股票(piào)，對(duì)一些機構投資者價值有限。
實證結果表明(míng)，諸多(duō)異象的(de)超額收益主要來(lái)自空頭（Avramov et al. 2013）或者微小市值股票(piào)（Novy-Marx and Velikov 2016）。而對(duì)于機器學習(xí)模型來(lái)說，它們也(yě)善于從套利和(hé)交易成本更高(gāo)的(de)股票(piào)中挖掘可(kě)預測性，因而削弱了(le)它們的(de)實踐價值。仍以 Avramov, Cheng and Metzker (2023) 的(de)實證結果爲例。除 full sample 外，該文還(hái)分(fēn)别考察了(le)剔除微小市值、剔除無 credit rating 公司以及剔除 financially distressed 公司的(de)三個(gè)子樣本。結果（下(xià)表，表中括号内爲 t-statistics）顯示，和(hé) full sample 相比，主流機器學習(xí)模型（IPCA 除外）在這(zhè)三個(gè)子樣本中的(de)表現均有明(míng)顯的(de)下(xià)降，且一些模型較傳統 ad-hoc 多(duō)因子模型（例如 FF6）的(de)
以 GAN 爲例，其在剔除微小市值子樣本中的(de)月(yuè)均收益率和(hé) full sample 相比，降低了(le)超過 50%。在上述四個(gè)模型中，除 IPCA 之外都是非線性模型，而唯有 IPCA 的(de)結果比較穩健（在 full 和(hé)幾個(gè)子樣本中的(de)結果較爲一緻）。需要說明(míng)的(de)是，上述針對(duì)三個(gè)子樣本的(de)結果仍然是使用(yòng)基于 full sample 訓練出的(de)模型得(de)到的(de)。這(zhè)也(yě)許會讓一些讀者頗有微詞。對(duì)于此，Avramov, Cheng and Metzker (2023) 進一步使用(yòng)子樣本進行訓練和(hé)樣本外預測，但發現結果并沒有實質的(de)改變，而且在一些子樣本中 OOS 的(de)表現還(hái)下(xià)降了(le)。換句話(huà)說，原本打算(suàn)通(tōng)過約束讓模型學習(xí)目标樣本，然而結果卻是更少的(de)樣本量（子樣本 vs full）卻導緻了(le)更差的(de) OOS 表現。成功 tweak 非線性模型使其聚焦于套利和(hé)交易成本低的(de)股票(piào)，将會是機器學習(xí)模型落地的(de)重要前提。
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以上從五方面的(de) facts and fictions 梳理(lǐ)了(le)近幾年最重要的(de)機器學習(xí)資産定價實證發現。
作爲本文的(de)結尾，我想最後強調的(de)是，雖然這(zhè)些論文的(de)實證結果都是 OOS（即用(yòng)曆史數據建模和(hé)調參，然後預測下(xià)一個(gè) period），然而它們使用(yòng)的(de)協變量幾乎都是來(lái)自以往實證資産定價研究所挖出來(lái)的(de) anomaly。從這(zhè)個(gè)意義上說，我不得(de)不再抛出一直以來(lái)的(de)觀點“所有曆史數據都是樣本内”。
在協變量和(hé)收益率存在非線性關系，以及協變量都是在曆史上顯著的(de)前提下(xià)，我們似乎不用(yòng)對(duì)這(zhè)些模型在 OOS 的(de)優越表現感到特别的(de)意外。然而，另一個(gè)值得(de)思考的(de)問題是，如果以 agnostic 視角出發，将機器學習(xí)模型應用(yòng)實證資産定價之中，又會有怎樣的(de)結果？在這(zhè)方面，Nagel (2021) 有過初步的(de)嘗試，發現機器學習(xí)能夠從諸多(duō)變量中識别出和(hé)預期收益率相關的(de)那些。
希望本文的(de)梳理(lǐ)能幫助你對(duì)基于機器學習(xí)模型的(de)實證資産定價研究形成正确的(de)預期，在抱有期待的(de)同時(shí)也(yě)客觀認識到研究的(de)現狀和(hé)面臨的(de)挑戰。最後，我想引用(yòng) Bryan Kelly 在某 Q&A 環節就機器學習(xí)正确預期的(de)回答(dá)總結本文。作爲學界新生代當仁不讓的(de)扛把子之一以及 AQR 的(de) Head of Machine Learning，Kelly 的(de)觀點值得(de)認真體會。
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