精選技術指标系列（3）：FRAMA

作者：石川

摘要：FRAMA 利用(yòng)分(fēn)形原理(lǐ)計算(suàn)時(shí)間序列的(de)統計相似性，從而确定平滑參數，是一個(gè)優秀的(de)移動平均算(suàn)法。

1 引言

本期精選技術指标系列的(de)主角是分(fēn)形自适應移動平均 FRactal Adaptive Moving Average，簡稱 FRAMA。它是一種高(gāo)級移動均線算(suàn)法。與上期的(de) HMA 一樣，我們重點講一講 FRAMA 作爲移動平均線的(de)特點和(hé)優勢；僅以兩個(gè)非常簡單的(de)擇時(shí)策略例子說明(míng)它在擇時(shí)方面的(de)作用(yòng)，但并不對(duì)擇時(shí)策略做(zuò)過多(duō)的(de)參數優化(huà)或分(fēn)析。

2 含義和(hé)計算(suàn)公式

顧名思義，分(fēn)形自适應移動平均利用(yòng)了(le)投資品價格序列的(de)分(fēn)形特征（對(duì)于不熟悉分(fēn)形的(de)讀者，請參考《分(fēn)形市場(chǎng)假說》）。簡單地說，FRAMA 是一個(gè)動态的(de)指數移動平均。它的(de)算(suàn)法通(tōng)過一個(gè)簡單但有效的(de)公式計算(suàn)從當前時(shí)刻往前的(de)長(cháng)度爲 2T 的(de)時(shí)間窗(chuāng)口内時(shí)間序列的(de)分(fēn)形維數 D，并利用(yòng)分(fēn)形維數進一步求解指數移動平均的(de)衰減參數 alpha。這(zhè)使得(de) FRAMA 均線在保證移動平均線平滑的(de)同時(shí)，大(dà)大(dà)降低了(le)移動平均線的(de)滞後性。（對(duì)于移動平均的(de)詳細介紹見《移動平均：你知道的(de)與你不知道的(de)》。）

分(fēn)形維數描述時(shí)間序列的(de)趨勢，其取值在 1 到 2 之間，越大(dà)說明(míng)趨勢越明(míng)顯，越小說明(míng)時(shí)間序列越随機。通(tōng)過連續的(de)計算(suàn)時(shí)間序列局部的(de)分(fēn)形維數，該算(suàn)法根據時(shí)間序列自身的(de)統計相似性特征，動态、自适應地計算(suàn)平滑所用(yòng)的(de)參數。由于 alpha 是 D 的(de)減函數，因此 D 越大(dà)（趨勢越明(míng)顯），alpha 越小，即指數平滑時(shí)對(duì)過去的(de)數值衰減的(de)越慢(màn)；D 越小（随機性越強），alpha 越大(dà)，即指數平滑時(shí)對(duì)過去的(de)數值衰減的(de)越快(kuài)、對(duì)最新數據的(de)變化(huà)越敏感。

具體的(de)，對(duì)于當前時(shí)點 t 和(hé)給定的(de)窗(chuāng)口 2T，該方法用(yòng)到了(le)三個(gè)時(shí)間窗(chuāng)口，即 t 到 t-T+1（記爲窗(chuāng)口 W1，長(cháng)度爲 T），t-T 到 t-2T+1（記爲窗(chuāng)口 W2，長(cháng)度爲 T），以及 t 到 t-2T+1（記爲窗(chuāng)口 W，長(cháng)度爲 2T）。不難看出，W = W1 + W2。FRAMA 的(de)計算(suàn)過程如下(xià)：

如果想讓 SMA 達到相同的(de)滞後效果，就必須使用(yòng)更短的(de)窗(chuāng)口來(lái)計算(suàn)（但更短的(de)窗(chuāng)口會保留一定的(de)高(gāo)頻(pín)誤差）。下(xià)圖爲 52 周窗(chuāng)口計算(suàn)的(de) FRAMA 和(hé) 8 周窗(chuāng)口計算(suàn)的(de) SMA 的(de)比較。在使用(yòng)了(le)更短的(de)窗(chuāng)口之後，SMA 的(de)滞後性大(dà)大(dà)減弱，效果和(hé) FRAMA 相似，但同時(shí) SMA 變的(de)不夠平滑、展現出了(le)比 FRAMA 更大(dà)的(de)波動。可(kě)見，SMA 減小滞後性是以犧牲移動均線的(de)平滑性爲前提的(de)。

3 基于 FRAMA 的(de)簡單擇時(shí)

由于移動均線捕捉低頻(pín)趨勢，因此我們可(kě)以基于此構建一個(gè)簡單的(de)擇時(shí)策略：

假設不考慮任何交易成本，我們比較52周時(shí)間窗(chuāng)口下(xià)用(yòng) FRAMA 和(hé) SMA 兩個(gè)移動均線算(suàn)法得(de)到的(de)策略在上證指數的(de)擇時(shí)效果：

圖中，藍色爲 FRAMA 擇時(shí)淨值，而綠色爲 SMA 擇時(shí)淨值。（爲了(le)突出它們的(de)差距，我們特意沒有将縱坐(zuò)标對(duì)數化(huà)。）在過去 15 年裏，FRAMA 簡單擇時(shí)策略可(kě)以取得(de) 16.1% 的(de)年化(huà)收益；它的(de)最大(dà)回撤爲 32.3%，平均回撤爲 13.6%；另一方面，因爲計算(suàn)均值的(de)時(shí)間窗(chuāng)口較長(cháng)（52 期），SMA 産生了(le)巨大(dà)的(de)滞後性，導緻基于它的(de)擇時(shí)策略效果很差，其年化(huà)收益率僅爲 7.4%，最大(dà)回撤達到 58.9%，平均回撤 32.1%。

我們減少計算(suàn) SMA 的(de)時(shí)間窗(chuāng)口，以 8 周爲窗(chuāng)口計算(suàn)，從而降低它的(de)滞後性，得(de)到的(de)淨值和(hé) 52 期窗(chuāng)口的(de) FRAMA 淨值比較如下(xià)：

在選擇了(le)短的(de)時(shí)間窗(chuāng)口後，SMA 的(de)滞後性大(dà)大(dà)降低，因此其淨值大(dà)幅提高(gāo)，達到了(le)與 FRAMA 接近的(de)收益率和(hé)回撤水(shuǐ)平。在回測期内，基于 8 周窗(chuāng)口的(de) SMA 擇時(shí)策略取得(de) 15.9% 的(de)年化(huà)收益率，最大(dà)回撤和(hé)平均回撤分(fēn)别爲 32.9% 和(hé) 12.7%。

本文的(de)目的(de)是爲了(le)說明(míng) FRAMA 的(de)原理(lǐ)和(hé)特點。我們不繼續深入探討(tǎo)基于 FRAMA 的(de)擇時(shí)策略。

4 結語

移動平均線是技術分(fēn)析中一種分(fēn)析股票(piào)價格時(shí)間序列的(de)常用(yòng)工具。移動平均可(kě)撫平短期波動（高(gāo)頻(pín)噪聲），反映出中長(cháng)期趨勢，輔助投資者做(zuò)出投資判斷。FRAMA 是一個(gè)優秀的(de)移動平均算(suàn)法，它利用(yòng)時(shí)間序列本身的(de)分(fēn)形特征，在保證均線平滑性的(de)同時(shí)降低了(le)移動平均的(de)滞後性。這(zhè)有助于投資者對(duì)趨勢的(de)變化(huà)做(zuò)出及時(shí)的(de)判斷。

無論是什(shén)麽技術指标，若想通(tōng)過它持續地賺到錢，必須充分(fēn)理(lǐ)解該指标的(de)原理(lǐ)和(hé)它們反映的(de)本質、并堅持使用(yòng)它。對(duì)于任何指标，必須判斷它是否适合我們面對(duì)的(de)市場(chǎng)。通(tōng)過嚴格的(de)曆史回測和(hé)分(fēn)析，可(kě)以計算(suàn)出技術指标的(de)有效性。此外，随著(zhe)市場(chǎng)自身内在的(de)變化(huà)，回測中有效的(de)技術指标也(yě)許會在将來(lái)的(de)某一天失效。因此我們應用(yòng)動态和(hé)發展的(de)眼光(guāng)看問題，不斷的(de)檢驗指标是否持續有效。

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