Cross-Section Research, A History

作者：石川

摘要：從 CAPM 到機器學習(xí)下(xià)的(de)新範式，本文簡要梳理(lǐ)關于資産預期收益截面差異的(de)研究路徑。

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Cross-section research（即研究不同資産預期收益的(de)截面差異）的(de)發端要追溯到上世紀 60 年代。在那之前，人(rén)們對(duì)于風險、預期收益以及二者的(de)關系并無清晰的(de)認識。而金融學無論是理(lǐ)論還(hái)是實證都處于萌芽階段 —— 理(lǐ)論方面，尚無關于 cross-section 的(de)模型；實證方面，尚無高(gāo)質量的(de)數據，且計算(suàn)機算(suàn)力也(yě)十分(fēn)有限。

一切都處于無序之中。直到 60 年代，Treynor (1962)，Sharpe (1964)，Lintner (1965) 以及 Mossin (1966) 分(fēn)别獨立提出了(le)資本資産定價模型（CAPM）[1]，它是關于資産預期收益截面差異的(de)第一個(gè)模型：

CAPM 模型非常優雅，背後的(de)金融學理(lǐ)論也(yě)很容易被人(rén)接受。Eugene Fama 曾對(duì)其高(gāo)度評價：The arrival of the CAPM was like the time after a thunderstorm, when the air suddenly clears.  根據資産定價理(lǐ)論，随機折現因子 SDF 和(hé) mean-variance efficient portfolio 是等價的(de)[2]。因此 CAPM 的(de)隐含假設就是市場(chǎng)組合是 mean-variance efficient portfolio。如果這(zhè)個(gè)假設成立，那麽市場(chǎng)組合就可(kě)以給其他(tā)任意資産定價。

然而，理(lǐ)想很豐滿，現實很骨感。CAPM 被統計檢驗拒絕了(le) —— 資産的(de)預期收益并不和(hé)它們對(duì)市場(chǎng)組合的(de)   大(dà)小成正比。在早期的(de)檢驗中，最具代表性的(de)要數 Black, Jensen and Scholes (1972)。 該文發現股票(piào)的(de)超額收益   和(hé)市場(chǎng)   負相關。在這(zhè)個(gè)基礎上，他(tā)們提出了(le)一個(gè)雙因子模型；新模型中的(de)第二個(gè)因子稱爲 zero-beta 因子：

除此之外，在上世紀 80 年代前後，學者們陸續發現按照(zhào)某種風格“打包”的(de)股票(piào)能夠戰勝市場(chǎng)。這(zhè)其中最值得(de)一提的(de)是 Basu (1977) 發現的(de) EP 效應和(hé) Banz (1981) 發現的(de)小市值效應。它們均無法被 CAPM 解釋，因而也(yě)被稱爲異象（anomalies）。面對(duì)諸多(duō)無法被 CAPM 解釋的(de)異象，cross-section research 再一次陷入了(le)無序之中。

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直到 Fama and French (1993)。觀察到價值和(hé)規模有助于解釋股票(piào)預期收益的(de)差異，Fama and French (1993) 在 CAPM 的(de)基礎上加入了(le) HML 和(hé) SMB 兩個(gè)因子，提出了(le)三因子（FF3）模型：

這(zhè)篇文章(zhāng)以及它的(de)“姊妹篇”Fama and French (1996) 拉開使用(yòng)多(duō)因子模型進行實證資産定價研究的(de)序幕。如果說 Fama and French (1993) 僅僅是使用(yòng)三因子對(duì)同樣通(tōng)過 size 和(hé) BM 雙重排序構造的(de) 25 個(gè) portfolios 定價，因而難以令人(rén)信服，那麽 Fama and French (1996) 則是利用(yòng)三因子模型對(duì)其他(tā) CAPM 無法解釋的(de)異象定價，例如通(tōng)過 EP、CP 和(hé) five-year sales 等構造的(de) portfolios，一舉奠定了(le) FF3 的(de)地位。

自此，FF3 扛過了(le) CAPM 的(de)大(dà)旗，成爲了(le)最家喻戶曉的(de)多(duō)因子定價模型。當然，這(zhè)也(yě)讓它成爲衆矢之的(de)，各路學者紛紛研究能夠拒絕 FF3 的(de)異象。作爲第一個(gè)實證多(duō)因子模型，FF3 能夠解釋的(de)異象注定有限。在諸多(duō)異象之中，最令 FF3 尴尬的(de)當屬 Eugene Fama 自己的(de)學生 Carhart 提出的(de)動量（Carhart 1997）。Fama 對(duì)動量的(de)評價是：The premier anomaly is momentum. 然而，動量僅僅是開始，遠(yuǎn)不是結束。在過去二十多(duō)年中，以 FF3 爲基準，學術界提出了(le)成百上千個(gè)形形色色的(de)異象，構成了(le) zoo of anomalies（也(yě)就是 John Cochrane 口中的(de) zoo of factors）。造成這(zhè)一現象的(de)，主要有兩個(gè)原因。第一個(gè)是 FF3 本身的(de)定價能力有限，但學術界總以異象能夠獲得(de) FF3 無法解釋的(de)超額收益爲提出異象的(de)标準；第二個(gè)原因則是如今已經家喻戶曉的(de) publication bias 導緻的(de) p-hacking（Harvey 2017）[3]。對(duì)于後者，Harvey, Liu and Zhu (2016) 則呼籲研究異象時(shí)考慮多(duō)重假設檢驗問題，并将代表顯著性的(de) t-statistic 的(de)阈值從傳統的(de) 2.0 提升到了(le) 3.0+。

出于上述兩個(gè)原因，大(dà)量所謂的(de)異象僅僅是樣本内虛假的(de)産物(wù)。而學者們以獲得(de)更高(gāo) t-statistic 爲目标進行的(de)各種對(duì)數據的(de)“精細處理(lǐ)”（data snooping）也(yě)加劇了(le)這(zhè)一問題。在一項聽(tīng)上去 mission impossible 的(de)研究中，Hou, Xue and Zhang (2020) 驚人(rén)的(de)複現了(le) 452 個(gè)學術界提出的(de)異象。利用(yòng)他(tā)們的(de)樣本數據，其中 62% 個(gè)異象的(de) t-statistic 不足1.96；如果換成 2.78 的(de)阈值，則有 82% 的(de)異象不再顯著。這(zhè)些實證結果足以說明(míng) p-hacking 問題的(de)嚴重性，同時(shí)也(yě)爲 Harvey, Liu and Zhu (2016) 的(de)觀點提供了(le)依據：Most claimed research findings in financial economics are likely false.

此外，Linnainmaa and Roberts (2018) 花費了(le)很大(dà)的(de)經曆構建了(le)全新的(de)樣本外數據，并通(tōng)過它們檢驗了(le)源于會計數據的(de) 36 個(gè)異象。實證結果表明(míng)，絕大(dà)部分(fēn)異象在樣本外失效，因而它們僅是 data snooping 的(de)産物(wù)。盡管 replication crisis 是學術界目前的(de)共識，但一項來(lái)自 AQR 的(de)最新研究卻提出了(le)不同的(de)看法：Jensen, Kelly and Pedersen (2021) 認爲大(dà)量的(de)異象是可(kě)以被複現的(de)。面對(duì)諸多(duō)異象和(hé)構造異象的(de)變量（firm characteristics），John Cochrane 在 AFA 主席演講中提出了(le)三個(gè)至關重要的(de)問題（Cochrane 2011）：

1. 哪些 characteristics 對(duì)解釋預期收益提供了(le)增量信息？

2. 異象變量是否可(kě)以被用(yòng)來(lái)構造一個(gè)新的(de)因子來(lái)解釋其他(tā)資産？

3. 到底有多(duō)少因子是重要的(de)？

其中第一個(gè)問題是針對(duì)這(zhè)樣一個(gè)現象，即一篇學術論文通(tōng)常隻報告一個(gè)異象。由于諸多(duō) firm characteristics 是相關的(de)，因此哪怕确實存在異象，其中大(dà)部分(fēn)可(kě)能都是相似的(de)，唯有在控制了(le)其它變量之後依然能對(duì)解釋預期收益起作用(yòng)的(de)才是有用(yòng)的(de)。爲此，Green, Hand and Zhang (2017) 使用(yòng) Fama and MacBeth (1973) regression 同時(shí)檢驗了(le) 94 個(gè)異象，發現有用(yòng)的(de)變量少之又少[4]。不管怎樣，上述諸多(duō)實證結果訴說著(zhe)一個(gè)事實，即确實存在 FF3 無法解釋的(de)異象。學術界關于 cross-section 的(de)研究又一次陷入了(le)無序。

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FF3 定價能力有限加之其無法解釋的(de)異象确實存在，學術界又一次站在了(le)研究的(de)十字路口。不過這(zhè)一次的(de)解決辦法遠(yuǎn)不如 CAPM 被提出時(shí)的(de)劃時(shí)代和(hé) FF3 被提出時(shí)的(de)開創性，而是出奇的(de) straightforward —— 提出新的(de)多(duō)因子模型，以能解釋更多(duō)的(de)異象爲目标。自 2010 年之後，學術界先後針對(duì)美(měi)股提出了(le)至少 5 個(gè)主流多(duō)因子模型。再加上 FF3 和(hé) Carhart (1997)，一共有至少 7 個(gè)多(duō)因子模型[5]。

在最近十年的(de)實證研究中，雖然不同的(de)檢驗方法被陸續提出，但評價這(zhè)些多(duō)因子模型的(de)核心依然是看誰能夠解釋更多(duō)的(de)異象，或者誰的(de)因子能構造出夏普率最高(gāo)的(de) tangency portfolio。随著(zhe)因子個(gè)數或者構造因子所使用(yòng)的(de)變量個(gè)數的(de)增多(duō)，新提出的(de)模型通(tōng)常在樣本内能夠解釋更多(duō)的(de)異象。

綜合最近三年的(de)實證結果，某些多(duō)因子模型确實“優于”其他(tā)模型。然而，實證研究中的(de)一些問題卻又給轟轟烈烈的(de)因子模型大(dà)戰按下(xià)了(le)暫停鍵。比如，有些模型能夠解釋其他(tā)異象，卻無法解釋構造自己因子的(de) basis portfolios；有些模型中因子高(gāo)的(de)驚人(rén)的(de)預期收益是以高(gāo)換手率爲代價，對(duì)實際投資用(yòng)處很小[6]；有些模型從行爲金融學出發，天生就無法解釋一些異象……

正當學界還(hái)在討(tǎo)論哪個(gè)模型更好，以期建立新基準時(shí)，Fama and French (2020) 一文則打破了(le)潛在的(de)秩序[7]。上述所有的(de)模型（包括 FF3，FF5）都是靜态模型（static models），即資産對(duì)于因子的(de)暴露是通(tōng)過全樣本内資産收益率對(duì)因子收益率做(zuò)時(shí)序回歸得(de)到的(de)，即每個(gè)股票(piào)對(duì)每個(gè)因子的(de)暴露在全樣本内是不變的(de)。與之對(duì)應的(de)，則是另一個(gè)家喻戶曉的(de)模型，即 Barra 模型。Barra 模型直接使用(yòng) firm characteristics 做(zuò)因子暴露，然後每期通(tōng)過截面回歸計算(suàn)當期因子的(de)收益率。和(hé)靜态模型相比，像 Barra 這(zhè)樣采用(yòng)時(shí)變因子暴露的(de)模型則被稱爲動态模型（dynamic models）。

Fama and French (2020) 通(tōng)過三個(gè)模型，比較了(le)靜态模型和(hé)動态模型的(de)定價誤差。這(zhè)三個(gè)模型包括兩個(gè)靜态模型和(hé)一個(gè)動态模型。第一個(gè)靜态模型就是傳統的(de) FF5 這(zhè)種；第二個(gè)靜态模型是首先使用(yòng)個(gè)股收益率對(duì) firm characteristics 截面回歸取代 portfolio sort 構造 factor mimicking portfolios，然後再通(tōng)過全樣本時(shí)序回歸估計因子暴露；動态模型是直接用(yòng) firm characteristics 做(zuò)因子暴露，截面回歸計算(suàn)因子收益率。

實證結果顯示，以資産定價誤差來(lái)評判，動态模型的(de)效果最好，其次是第二個(gè)靜态模型，最後才是傳統的(de)靜态模型。這(zhè)意味著(zhe)（1）使用(yòng)時(shí)變的(de) firm characteristics 作爲因子暴露比時(shí)序回歸系數更優；（2）截面回歸的(de)因子收益率優于通(tōng)過 portfolio sort 計算(suàn)的(de)因子收益率。毫無疑問，Fama and French (2020) 對(duì)傳統的(de)多(duō)因子模型提出了(le)巨大(dà)的(de)挑戰，而如何得(de)到更好的(de)動态模型就成爲了(le)學術界關于 cross-section 研究在當下(xià)需要解決的(de)難題。

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雖然和(hé)學術界的(de)傳統模型相比，Barra 模型由于考慮了(le)時(shí)變的(de)因子暴露，看上去更先進。但是，有必要說明(míng)的(de)是，Barra 模型的(de)目标是解釋股票(piào)收益率時(shí)序波動，而非股票(piào)預期收益的(de)截面差異；此外，采用(yòng) firm characteristics 直接做(zuò)因子暴露也(yě)是很粗糙的(de)，且模型也(yě)可(kě)能存在遺漏變量/無關變量的(de)問題。另一方面，越來(lái)越多(duō)的(de)研究表明(míng)，firm characteristics 和(hé)股票(piào)收益率之間的(de)關系是非線性的(de)。而直接使用(yòng)單個(gè) firm characteristics 作爲   無法考慮這(zhè)種非線性。令問題更加棘手的(de)是，人(rén)們并不清楚不同的(de) firm characteristics 之間有怎樣的(de)交互作用(yòng) —— 因此通(tōng)過遍曆交叉項來(lái)考慮是不切實際的(de)。好消息是，在挖掘非線性關系方面，機器學習(xí)或大(dà)有可(kě)爲。人(rén)們急需找到機器學習(xí)時(shí)代關于動态模型的(de)研究範式。

在這(zhè)裏，首先介紹一下(xià) Bryan Kelly（Yale 少壯派教授且擔任 AQR 的(de) Head of Machine Learning）對(duì)将機器學習(xí)在實證資産定價方面的(de)應用(yòng)的(de)看法。Kelly 認爲，機器學習(xí)雖然算(suàn)法複雜(zá)，但是能夠很好地應對(duì)過拟合的(de)問題，且樣本外的(de)結果非常穩健，非常适合于實證資産定價。對(duì)于如何應用(yòng)機器學習(xí)研究動态模型，Kelly 給出了(le)一個(gè)研究框架，十分(fēn)精彩：

在這(zhè)個(gè)框架中，因子被視爲 latent factors（即不像傳統模型那樣，事先指定價值、盈利或動量等因子），機器學習(xí)建模的(de)對(duì)象是資産對(duì)因子的(de)暴露  ，而  是 firm characteristics 的(de)線性或非線性函數，函數的(de)具體形式和(hé)參數可(kě)以通(tōng)過機器學習(xí)算(suàn)法，以最小化(huà)資産的(de)定價誤差爲目标函數來(lái)估計。一旦知道了(le)  ，也(yě)就同時(shí)得(de)到了(le)因子收益率：

在這(zhè)個(gè)研究框架下(xià)，Kelly, Pruitt and Su (2019) 和(hé) Gu, Kelly and Xiu (2021) 分(fēn)别提出了(le) IPCA（工具變量 PCA）和(hé) autoencoder 算(suàn)法。前者視  爲 firm characteristics 的(de)線性函數；後者則采用(yòng) autoencoder 神經網絡，将  視作 firm characteristics 的(de)非線性函數。實證結果表明(míng)，利用(yòng)機器學習(xí)算(suàn)法構造的(de)動态模型，不僅條件定價誤差更低，哪怕是非條件定價誤差（即像 Fama and French (2020) 的(de)第二個(gè)靜态模型那樣）也(yě)比傳統靜态模型更小。

近年來(lái)，學術界在利用(yòng)機器學習(xí)進行實證資産定價方面取得(de)了(le)很多(duō)新的(de)進展[8]，無論是研究多(duō)因子模型，還(hái)是研究它的(de)另一面（即 SDF），機器學習(xí)均發揮了(le)巨大(dà)的(de)作用(yòng)。這(zhè)些研究無疑爲 cross-section 打開了(le)全新的(de)大(dà)門。寫到這(zhè)裏且又恰逢五月(yuè)，我想起了(le) RFS 2020 年五月(yuè)的(de)特刊 New methods in the cross-section[9]，它所覆蓋的(de)三大(dà)趨勢也(yě)和(hé)本文的(de)梳理(lǐ)相契合。

回顧過去半個(gè)世紀的(de)相關研究，不禁讓人(rén)感慨，學術研究也(yě)許就是這(zhè)樣，在無序中建立秩序，秩序又被新的(de)問題打破并重新被建立，周而複始。而我們也(yě)在這(zhè)個(gè)循環往複中不斷加深對(duì) cross-section 的(de)理(lǐ)解和(hé)認知。

最後，一圖勝千言。

備注：

[1] 見《CAPM 的(de)一小段曆史》。

[2] 見《尋找 Mean-Variance Frontier》。

[3] 見《在追逐 p-value 的(de)道路上狂奔，卻在科學的(de)道路上漸行漸遠(yuǎn)》。

[4] 見《解釋股票(piào)截面預期收益差異的(de)獨立因子》。

[5] 見《主流多(duō)因子模型巡禮》。

[6] 見《Toward a better factor model》。

[7] 見《A new norm?》。

[8] 見《實證資産定價理(lǐ)論新進展》。

[9] 見《出色不如走運(IV)?》。

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