Black-Litterman 模型 —— 貝葉斯框架下(xià)的(de)資産配置利器

作者：石川

摘要：Black-Litterman 模型克服了(le) MPT 中投資品收益率難以預測以及配置結果對(duì)輸入高(gāo)度敏感的(de)缺點，被投資界廣泛接受。

1 引言

毫無疑問，馬科維茨（Harry Markowitz）的(de)現代投資組合理(lǐ)論（Modern Portfolio Theory）對(duì)于量化(huà)投資有著(zhe)開天辟地的(de)作用(yòng)。它通(tōng)過“均值 — 方差”最優化(huà)來(lái)确定最佳資産配置組合，同時(shí)考慮收益的(de)最大(dà)化(huà)和(hé)風險的(de)最小化(huà)（Markowitz 1952）。馬科維茨也(yě)因此獲得(de) 1990 年諾貝爾經濟學獎。

然而，令人(rén)倍感意外的(de)是，“均值 — 方差”法雖然在數學上十分(fēn)優雅，但它在投資實務中的(de)影(yǐng)響卻遠(yuǎn)不及它在理(lǐ)論上的(de)名聲卓著。究其原因，是因爲它給出的(de)最佳投資組合對(duì)該模型的(de)核心輸入之一即投資品的(de)期望收益率非常敏感；而且期望收益率很難準确預測。

爲解決這(zhè)個(gè)問題，兩位量化(huà)投資界的(de)先驅 —— 高(gāo)盛的(de) Fischer Black 和(hé) Robert Litterman 發明(míng)了(le)大(dà)名鼎鼎的(de) Black-Litterman 資産配置模型（Black and Litterman 1992）。該模型以市場(chǎng)均衡假設推出的(de)資産收益率爲出發點，結合投資者對(duì)不同投資品收益率的(de)主動判斷，最終确定投資品的(de)收益率和(hé)最佳的(de)投資組合配置。

本文就來(lái)介紹 Black-Litterman 模型，它的(de)核心是對(duì)收益率進行貝葉斯收縮。首先讓我們來(lái)看看馬科維茨的(de)“均值 — 方差”模型爲什(shén)麽在實際中不好用(yòng)。

2 均值—方差模型：冰冷(lěng)的(de)現實

假設我們要在 N 個(gè)投資品之間進行資産配置。馬科維茨的(de)現代資産配置理(lǐ)論以這(zhè)些投資品的(de)期望收益率和(hé)協方差矩陣作爲輸入，通(tōng)過最優化(huà)下(xià)列目标函數求出最佳的(de)投資組合：

其中 μ 表示投資品的(de)期望收益率向量，Σ 表示投資品的(de)協方差矩陣，δ 表示投資者的(de)風險厭惡系數，w 則是投資品在投資組合中的(de)配置權重。在不考慮任何約束的(de)情況下(xià)，該問題的(de)最優解，即最佳資産配置爲：

該模型之所以在實際中被專業投資機構诟病有兩個(gè)原因。第一是因爲它的(de)輸入非常嚴苛：投資者必須提供待配置投資品的(de)期望收益率和(hé)協方差。一旦預測的(de)數值非常離譜，那麽資産配置效用(yòng)的(de)最大(dà)化(huà)就變成誤差的(de)最大(dà)化(huà)。對(duì)于協方差，通(tōng)過曆史數據計算(suàn)尚且能用(yòng)，但是對(duì)于未來(lái)的(de)期望收益率的(de)準确預測卻難上加難。二者相較，期望的(de)預測比協方差的(de)預測更加重要。Chopra and Ziemba (1993) 指出，收益率期望的(de)誤差對(duì)資産配置的(de)影(yǐng)響比協方差的(de)影(yǐng)響高(gāo)一個(gè)數量級。第二個(gè)原因是，它求出的(de)最佳資産配置權重對(duì)期望收益率非常敏感。當期望收益率有哪怕僅僅一點變化(huà)時(shí)，它給出的(de)最佳配置較之前的(de)配置可(kě)能發生很大(dà)的(de)改變，這(zhè)樣的(de)結果很難被投資者所接受。

來(lái)看一個(gè)例子。假設我們的(de)投資品來(lái)自下(xià)列七個(gè)國家的(de)股市：澳大(dà)利亞、加拿大(dà)、法國、德國、日本、英國和(hé)美(měi)國。通(tōng)過曆史數據得(de)到這(zhè)些投資品收益率的(de)協方差矩陣如下(xià)（注：本文中的(de)所有數據都是假想的(de)，僅做(zuò)示意之用(yòng)）：

對(duì)于收益率，由于不好預測，我們假設這(zhè)七個(gè)國家的(de)期望收益率都是 5%，并假設風險厭惡系數爲 2.5。根據“均值 — 方差”最優化(huà)，得(de)到的(de)最優資産配置權重如下(xià)圖中的(de)藍色柱狀圖所示。按照(zhào)該配置，我們大(dà)幅做(zuò)空德國，微微做(zuò)空法國，并做(zuò)多(duō)其他(tā)國家。現在，假設我們得(de)到了(le)最新靠譜的(de)研報分(fēn)析，表明(míng)德國的(de)期望收益率将會達到 6%，而法國和(hé)英國則僅有 4%，其他(tā)國家不變。帶著(zhe)新的(de)輸入，重新使用(yòng)“均值 — 方差”最優化(huà)，新的(de)結果如下(xià)圖中綠色的(de)柱狀圖所示。

比較藍色和(hé)綠色的(de)柱狀圖可(kě)見，随著(zhe)我們對(duì)德國、法國以及英國預期收益率的(de)調整，最佳的(de)權重也(yě)發生了(le)變化(huà)。然而，權重的(de)變化(huà)發生的(de)非常劇烈（對(duì)收益率敏感），我們對(duì)這(zhè)些變化(huà)感到非常費解：

這(zhè)個(gè)例子強調了(le)“均值 — 方差”模型的(de)兩個(gè)問題：（1）人(rén)們很難有效的(de)預測期望收益率；（2）最優資産組合配置對(duì)輸入非常敏感，結果往往難以被人(rén)理(lǐ)解。爲了(le)解決這(zhè)兩個(gè)問題，Black 和(hé) Litterman 于 1992 年提出了(le) Black-Litterman 模型。

3 收益率的(de)貝葉斯收縮

與“均值 — 方差”模型相比，Black-Litterman 模型最大(dà)的(de)區(qū)别在于對(duì)收益率的(de)預測。在收益率預測方面，Black-Litterman 最本質的(de)核心是它在貝葉斯框架下(xià)使用(yòng)先驗收益率以及新息得(de)到後驗收益率，它是一種對(duì)收益率的(de)貝葉斯收縮（Bayes shrinkage）。得(de)到收益率後，Black-Litterman 模型同樣通(tōng)過求解第二節中的(de)最優化(huà)問題确定最優的(de)資産配置權重。

收益率的(de)貝葉斯收縮是《貝葉斯統計》的(de)一個(gè)經典應用(yòng)。我們在《收益率預測的(de)貝葉斯收縮》中介紹過這(zhè)個(gè)技術。經典的(de)貝葉斯收縮定義如下(xià)：

在數學上，上述方法的(de)表達式如下(xià)：

其中 μ_0，μ_p 及 \bar r 分(fēn)别表示先驗、後驗、新息期望收益率向量；Ξ 是先驗期望收益率的(de)協方差矩陣，Σ/T 爲新息期望收益率的(de)協方差矩陣（Σ 爲收益率的(de)樣本協方差矩陣、T 爲樣本數即期數）；-1 次方表示對(duì)矩陣求逆。不難看出，後驗期望收益率 μ_p 就是 先驗 μ_0 和(hé)新息 \bar r 的(de)加權平均，而這(zhè)兩者的(de)權重與它們各自的(de)精度（由協方差矩陣的(de)逆衡量）有關，這(zhè)就是貝葉斯收縮的(de)核心。在現實中使用(yòng)上述方法時(shí)，對(duì)于期望收益率的(de)先驗，可(kě)以采用(yòng)因子法或者經驗法估計，不同的(de)方法各有千秋。了(le)解了(le)貝葉斯收縮之後，我們馬上來(lái)看解釋 Black-Litterman 模型。

4 貝葉斯框架下(xià)的(de) Black-Litterman 模型

Black-Litterman 模型的(de)本質就是一種收益率的(de)貝葉斯收縮，隻不過無論是期望收益率的(de)先驗還(hái)是新息，都是從投資的(de)實務出發的(de)（畢竟提出這(zhè)個(gè)的(de)人(rén)來(lái)自高(gāo)盛，出發點是爲了(le)解決實際資産配置中遇到的(de)問題）。

先來(lái)看看先驗期望收益率。Black-Litterman 模型從市場(chǎng)的(de)供需出發，認爲投資品在整個(gè)市場(chǎng)中按其市值的(de)占比體現了(le)當前市場(chǎng)供需關系的(de)均衡狀态（equilibrium）。投資品市值與市場(chǎng)總市值的(de)比值就是該投資品在這(zhè)個(gè)市場(chǎng)均衡組合中的(de)權重，記爲 w_eq。在這(zhè)個(gè)基礎上，模型進一步假設各投資品的(de)在市場(chǎng)組合中的(de)配置比例 w_eq 是由投資者追求效用(yòng)的(de)最大(dà)化(huà)（即第二節中的(de)最優化(huà)問題）所緻，并由 w_eq 反推出市場(chǎng)均衡狀态下(xià)各投資品的(de)收益率，把它作爲先驗：

對(duì)于先驗期望收益率的(de)協方差矩陣，模型假設它和(hé)收益率的(de)協方差矩陣 Σ 有著(zhe)同樣的(de)結構，但是數量級要小很多(duō)。它用(yòng)一個(gè)很小的(de)标量 τ 作爲縮放尺度，得(de)到先驗期望收益率的(de)協方差矩陣 τΣ。再來(lái)看看新息期望收益率。Black-Litterman 模型将新息定義爲投資者對(duì)于投資品收益率相對(duì)強弱的(de)主動判斷（稱爲 views，即觀點）。舉個(gè)例子，有兩個(gè)投資品 A 和(hé) B，我們通(tōng)過分(fēn)析認爲 A 比 B 的(de)期望收益率要高(gāo) 2%，這(zhè)意味著(zhe)做(zuò)多(duō) A 并同時(shí)做(zuò)空 B 的(de)投資組合可(kě)以獲得(de) 2% 的(de)收益。在數學上，假設 E[A] 和(hé) E[B] 表示 A 和(hé) B 的(de)新息期望收益率，則上述觀點可(kě)以表述爲：

其中 P 是 K × N 矩陣（K 表示 views 的(de)個(gè)數；N 表示投資品的(de)個(gè)數；本例中 P = [1, -1]）；μ 表示新息期望收益率向量（本例中是 [E[A], E[B]]’）；Q 是 K 階向量（本例中 Q = [0.02]），表示每個(gè) view 中投資品收益率相對(duì)強弱的(de)大(dà)小。這(zhè)個(gè)方法的(de)好處是，它事實上根本無需投資者來(lái)猜 μ（在稍後的(de)推導中可(kě)以看到，μ 不出現在貝葉斯收縮的(de)表達式中），而隻需要投資者提供矩陣 P 和(hé)向量 Q 來(lái)表達自己的(de)觀點。

現實中，投資者往往對(duì)自己的(de) views 并不是 100% 确定。這(zhè)時(shí)，我們可(kě)以把收益率相對(duì)強弱的(de)取值理(lǐ)解爲來(lái)自一個(gè)正态分(fēn)布，并通(tōng)過該分(fēn)布的(de)标準差來(lái)描述主動判斷的(de)不确定性。例如在上面的(de)例子中，我們可(kě)以說 A 比 B 的(de)期望收益率要高(gāo) 2%，而标準差爲 3%。在數學上，該模型使用(yòng) K × K 的(de)矩陣 Ω 記錄 views 的(de)不确定性。模型假設 views 之間相互獨立，因此 Ω 是一個(gè)對(duì)角陣，對(duì)角線上的(de)元素表示對(duì)這(zhè) K 個(gè) views 的(de)方差。最後，通(tōng)過 P 将 Ω 的(de)逆矩陣轉化(huà)爲 P’(Ω^-1)P（N × N 矩陣）作爲新息期望收益率的(de)精度。

把先驗和(hé)新息期望收益率套到貝葉斯收縮的(de)框架中就得(de)到 Black-Litterman 模型下(xià)的(de)後驗期望收益率：

上面的(de)推導中用(yòng)到了(le) Pμ = Q，從而巧妙的(de)将 μ 從貝葉斯收縮的(de)表達式中消除了(le)。求出後驗期望收益率 μ_p 之後，帶入第二節的(de)最優化(huà)問題中，便可(kě)以求出 Black-Litterman 模型下(xià)的(de)最優投資組合權重：

下(xià)面就來(lái)幾個(gè) Black-Litterman 模型應用(yòng)的(de)例子。

5 應用(yòng)舉例

我們仍然假設市場(chǎng)中包括本文第二節提到的(de)七個(gè)國家的(de)股市。它們的(de)協方差矩陣已在第二節給出。假設它們在市場(chǎng)均衡狀态下(xià)的(de)權重 w_eq 如下(xià)表所示。進一步的(de)，另标量 τ = 0.1 且風險厭惡系數 δ = 2.5。根據 δ、w_eq 以及協方差矩陣 Σ 可(kě)以求出先驗期望收益率 μ_0：

首先假設我們隻有一個(gè) view：預期德國的(de)期望收益率較英國和(hé)法國期望收益率的(de)等權重之和(hé)高(gāo) 5%，我們對(duì)這(zhè)個(gè)判斷的(de)标準差爲 20%。上述 view 轉換成 Black-Litterman 模型的(de)參數有：

應用(yòng) Black-Litterman 模型得(de)到的(de)後驗期望收益率（綠色）與作爲先驗的(de)市場(chǎng)均衡狀态期望收益率（藍色）比較如下(xià)。乍一看去，這(zhè)個(gè)結果似乎令人(rén)意外，因爲我們的(de)新息是德國會比英國和(hé)法國更好，但是在後驗收益率中，法國和(hé)英國的(de)收益率不降反升。這(zhè)是因爲新息僅僅說明(míng)英法兩國會比德國差，它并不意味著(zhe)英、法兩國收益率的(de)絕對(duì)取值較先驗會減小。由于英法兩國的(de)收益率和(hé)整個(gè)市場(chǎng)組合的(de)收益率正相關，且這(zhè)個(gè)新息提高(gāo)了(le)市場(chǎng)組合的(de)預期，因此英法兩國的(de)後驗收益率也(yě)提高(gāo)了(le)。上述論述對(duì)其他(tā)國家的(de)後驗收益率同樣成立。

再來(lái)看看 Black-Litterman 模型下(xià)的(de)最優投資組合配置：

上圖中，左圖比較了(le)最優配置 w* 和(hé)市場(chǎng)均衡配置 w_eq；右圖顯示了(le)這(zhè)二者的(de)差别。這(zhè)個(gè)結果清晰的(de)說明(míng)，我們關于德國、英國、法國收益率的(de)判斷僅僅影(yǐng)響了(le)它們三個(gè)國家在最優投資組合中的(de)權重。由于我們更看好德國，因此它的(de)權重更高(gāo)，而英法兩國的(de)權重相應相抵。其他(tā)國家的(de)權重等于市場(chǎng)均衡狀态的(de)權重，不受我們的(de)主觀判斷的(de)影(yǐng)響。這(zhè)樣的(de)配置結果非常符合投資者的(de)預期，較馬科維茨的(de)“均值 — 方差”法，Black-Litterman 模型的(de)最優配置顯然更容易被投資者接受。

投資者的(de)主動判斷通(tōng)過 Q（描述相對(duì)強弱的(de)幅度）和(hé) Ω（描述投資者對(duì) views 的(de)自信程度）兩個(gè)參數影(yǐng)響著(zhe)最優的(de)資産配置。爲了(le)說明(míng)這(zhè)一點，假設在上面的(de)例子中，首先把 Q 從 0.05 提高(gāo)到 0.08，即我們判斷德國較英法兩國的(de)超額收益更多(duō)。在最優的(de)資産配置中，我們更加超配德國，低配法國和(hé)英國：

再來(lái)，我們保持 Q = [0.05]，但是将 Ω 從 0.04 減小到 0.01，即我們對(duì)自己的(de)判斷更加有信心。同樣，在最優的(de)資産配置中，我們更加超配德國，低配法國和(hé)英國（我們甚至做(zuò)空了(le)法國）：

最後，來(lái)看看有多(duō)個(gè) views 的(de)情況。假設除了(le)上述德國、法國、英國的(de) view，我們有另外一個(gè) view：加拿大(dà)相對(duì)于美(měi)國可(kě)以獲得(de) 3% 的(de)超額收益，判斷的(de)标準差爲 20%。同時(shí)考慮這(zhè)兩個(gè) views，有：

由 Black-Litterman 模型得(de)到的(de)最優配置如下(xià)圖所示。由于加入了(le)新的(de)關于加拿大(dà)和(hé)美(měi)國的(de) view，我們超配了(le)加拿大(dà)而低配了(le)美(měi)國。由于上述兩個(gè) views 均不涉及澳大(dà)利亞和(hé)日本，它們在投資組合中的(de)權重不受影(yǐng)響。

6 結語

Black-Litterman 資産配置模型解決了(le)馬科維茨模型在應用(yòng)中的(de)兩個(gè)痛點：（1）投資品的(de)期望收益率很難預測；（2）模型對(duì)輸入參數太敏感，導緻投資者無法理(lǐ)解模型給出的(de)最佳投資組合中投資品的(de)配置權重。Black-Litterman 模型從市場(chǎng)均衡配置出發，有效的(de)結合了(le)投資者對(duì)投資品的(de)主動判斷，求出的(de)配置結果符合投資者的(de)預期。在華爾街(jiē)，Black-Litterman 模型在高(gāo)盛以及其他(tā)金融機構都有著(zhe)廣泛的(de)應用(yòng)。

But, and this is a BIG but，該模型在投資實務中能夠帶來(lái)超額收益的(de)前提是投資者提供的(de) views 比較準确。這(zhè)顯然是以深入了(le)解各投資品背後的(de)邏輯以及大(dà)量細緻的(de)數據分(fēn)析爲前提的(de)。如果 views 很離譜，那麽即便是 Black-Litterman 模型給出的(de)最佳配置權重也(yě)無能爲力。我們有理(lǐ)由相信，擁有衆多(duō)專業人(rén)士的(de)大(dà)型金融機構在提供主動 views 方面有著(zhe)獨到的(de)見解。但預測未來(lái)有時(shí)又談何容易？至少在預測黃(huáng)金這(zhè)件事兒(ér)上，高(gāo)盛就常常南(nán)轅北(běi)轍。

本文簡要介紹了(le) Black-Litterman 模型，并通(tōng)過一系列例子說明(míng)如何使用(yòng)它。在這(zhè)些例子中，我們均考慮的(de)是無約束優化(huà)。在實際中進行資産配置時(shí)，投資者往往需要考慮來(lái)自風險、波動率、預算(suàn)等方面的(de)限制。在這(zhè)種情況下(xià)，根據後驗收益率求解最優化(huà)資産配置時(shí)需要考慮上述限制。感興趣的(de)讀者可(kě)以進一步閱讀 He and Litterman (1999)。

參考文獻

Black, F. and R. Litterman (1992). Global portfolio optimization. Financial Analysts Journal 48(5), 28 – 43.

Chopra, V. K. and W. T. Ziemba (1993). The effort of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice. Journal of Portfolio Management 19(2), 6 – 11.

He, G. and R. Litterman (1999). The intuition behind Black-Litterman model portfolios. Technical note, Goldman Sachs Quantitative Resources Group.

Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. Journal of Finance 7(1), 77 – 91.

免責聲明(míng)：入市有風險，投資需謹慎。在任何情況下(xià)，本文的(de)内容、信息及數據或所表述的(de)意見并不構成對(duì)任何人(rén)的(de)投資建議(yì)。在任何情況下(xià)，本文作者及所屬機構不對(duì)任何人(rén)因使用(yòng)本文的(de)任何内容所引緻的(de)任何損失負任何責任。除特别說明(míng)外，文中圖表均直接或間接來(lái)自于相應論文，僅爲介紹之用(yòng)，版權歸原作者和(hé)期刊所有。