小心僞回歸發現的(de)假關系

作者：石川

摘要：回歸分(fēn)析在量化(huà)投資中的(de)應用(yòng)十分(fēn)廣泛。但是金融時(shí)間序列中有很多(duō)不滿足平穩性，我們必須警惕它們造成的(de)僞回歸。

1 生活中随處可(kě)見的(de)僞回歸

回歸分(fēn)析在量化(huà)投資中的(de)應用(yòng)十分(fēn)廣泛。比如在選股或者預測股票(piào)收益率時(shí)，人(rén)們常常使用(yòng)宏觀經濟數據或公司基本面數據等對(duì)收益率回歸，以期找出能夠解釋收益率的(de)自變量（又稱爲因子）。由于金融數據之間的(de)關系大(dà)多(duō)爲線性，因此線性回歸往往就足夠用(yòng)了(le)；而因爲線性回歸又足夠簡單，這(zhè)就使得(de)回歸分(fēn)析更加普及。

回歸分(fēn)析的(de)目的(de)是爲了(le)找到自變量和(hé)因變量之間的(de)相關性。然而，當我們對(duì)時(shí)間序列進行回歸分(fēn)析時(shí)，必須要警惕一類陷阱，它就是僞回歸（spurious regression），它指的(de)是自變量和(hé)因變量之間本來(lái)沒有任何因果關系，但由于某種原因，回歸分(fēn)析卻顯示出它們之間存在統計意義上的(de)相關性，讓人(rén)錯誤地認爲兩者之間有關聯，這(zhè)種相關性稱作僞關系（spurious relationship）。

僞回歸在生活中随處可(kě)見，來(lái)看下(xià)面兩個(gè)例子。

本文就來(lái)介紹僞回歸。了(le)解如何識别它，才能避免在構建量化(huà)模型時(shí)錯誤的(de)使用(yòng)不同數據之間的(de)僞關系。

2 成因和(hé)數學特性

僞回歸的(de)成因一般有兩個(gè)。在上一節的(de)第一個(gè)例子中，僞回歸的(de)成因是存在幹擾因素（confounding factor，或稱潛在變數 lurking variable）。在第二個(gè)例子中，僞回歸的(de)成因是兩個(gè)變量之間的(de)局部随機趨勢（local stochastic trend）。當兩個(gè)變量同時(shí)受第三個(gè)因素影(yǐng)響時(shí)，這(zhè)兩個(gè)變量間可(kě)能存在誤導性的(de)相關性，這(zhè)第三個(gè)因素稱爲幹擾因素。在第一個(gè)例子中，幹擾因素是夏天炎熱(rè)的(de)高(gāo)溫。高(gāo)溫造成了(le)冰淇淋銷量的(de)上升；此外高(gāo)溫也(yě)使得(de)更多(duō)的(de)兒(ér)童去公共泳池從而造成溺水(shuǐ)事故增多(duō)。高(gāo)溫是造成冰淇淋銷量和(hé)溺水(shuǐ)兒(ér)童數上升的(de)共同因素；這(zhè)兩者本身之間并沒有相關性。

在第二個(gè)例子中，僞回歸的(de)成因是随機趨勢。對(duì)于量化(huà)投資中可(kě)能出現的(de)僞回歸，這(zhè)種成因更普遍。從上一節的(de)圖中可(kě)以看到，居民消費和(hé)鸬鹚數量均随時(shí)間呈現上升趨勢。這(zhè)種趨勢的(de)巧合造成了(le)它們之間在統計意義上的(de)僞關系；然而它二者之間并沒有因果關系 —— 我們無法說“由于居民消費的(de)增加導緻了(le)鸬鹚數量的(de)上升”，反之亦然。關于随機趨勢這(zhè)個(gè)成因，來(lái)看另一個(gè)例子。考慮兩個(gè)獨立的(de)布朗運動，它們的(de)時(shí)間序列如下(xià)圖所示（藍線 vs 綠線）。紅色方框畫(huà)出的(de)區(qū)域顯示它們在局部表現出了(le)同樣的(de)上漲或者下(xià)降趨勢。如果我們用(yòng)藍線當自變量來(lái)回歸綠線，得(de)到的(de)回歸系數爲 0.34（p-value 小于 0.001）。這(zhè)顯然是一個(gè)僞關系；這(zhè)兩個(gè)布朗運動相互獨立，它們之間沒有任何關系。

注意了(le)，重要的(de)話(huà)加粗說一遍：

如何避免僞回歸呢(ne)？在上面的(de)例子中，無論是居民消費、鸬鹚個(gè)數還(hái)是随機生成的(de)布朗運動，這(zhè)些時(shí)間序列都是非平穩的(de)（non-stationary）。當我們對(duì)非平穩時(shí)間序列進行回歸分(fēn)析時(shí)，非常容易發現僞回歸（例外是這(zhè)些時(shí)間序列滿足協整關系，下(xià)文會說明(míng)）。當僞回歸出現時(shí)，回歸分(fēn)析得(de)到的(de)殘差序列（residual）不滿足平穩性，我們可(kě)以以此作爲判别僞回歸的(de)依據：如果回歸分(fēn)析的(de)殘差是非平穩的(de)，說明(míng)發生了(le)僞回歸。在上文的(de)例子中，居民消費和(hé)鸬鹚數量回歸結果的(de)殘差序列和(hé)兩個(gè)布朗運動回歸的(de)殘差序列分(fēn)别如下(xià)圖所示。這(zhè)兩個(gè)殘差序列均不滿足平穩性。

僞回歸告訴我們：我們不能僅僅因爲兩個(gè)時(shí)間序列共同運動就說它們之間一定存在相關性。

3 檢驗平穩性

本節就來(lái)介紹如何檢驗時(shí)間序列的(de)平穩性。掌握了(le)這(zhè)個(gè)技術，我們就可(kě)以檢驗一個(gè)回歸分(fēn)析得(de)到的(de)殘差序列是否是平穩的(de)，從而推斷是否發生了(le)僞回歸。

簡單的(de)說，如果一個(gè)時(shí)間序列 {y_t} 在每一時(shí)刻 t 的(de)取值的(de)概率分(fēn)布都一樣、該分(fēn)布與 t 無關，那麽該時(shí)間序列就是平穩的(de)。關于時(shí)間序列平穩性的(de)詳細解釋，請參考《寫給你的(de)金融時(shí)間序列分(fēn)析：基礎篇》中的(de)第四節：時(shí)間序列的(de)平穩性。爲了(le)說明(míng)如何判斷平穩性需要講到以下(xià)三個(gè)概念：unit root（單位根）、order of integration（單整階數）、以及 ADF 檢驗。

3.1 單位根

單位根（unit root）是非平穩時(shí)間序列的(de)特性之一。對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列 {y_t, t = 0, 1, …}，假設它可(kě)以寫成 p 階自回歸函數如下(xià)：

其中 ε_t 是殘差序列；a_1，……，a_p 爲回歸系數。該時(shí)間序列的(de)特征方程（characteristic equation）爲：

如果 m = 1 是該特征方程的(de)一個(gè)解，則稱該時(shí)間序列存在單位根。

3.2 單整階數

單整階數（order of integration）是和(hé)單位根密切相關的(de)一個(gè)概念。在時(shí)間序列特征方程的(de)解中，如果 m = 1 是一個(gè)單重根（即在特征方程的(de)所有解中，m = 1 這(zhè)個(gè)解僅出現一次），那麽該時(shí)間序列是一階單整的(de)（integrated of order one，記爲 I(1)）；如果 m = 1 是一個(gè)多(duō)重根（重數爲 d），則該時(shí)間序列是 d 階單整的(de)（記爲 I(d)）。單整階數在實際中的(de)含義是什(shén)麽呢(ne)？對(duì)于一個(gè)非平穩的(de)時(shí)間序列，我們總可(kě)以捅過差分(fēn)把它變成平穩的(de)；差分(fēn)的(de)次數就是單整階數。如果一個(gè)時(shí)間序列經過一次差分(fēn)就變成平穩的(de)，那麽它就是一階單整的(de)；如果一個(gè)時(shí)間序列需要通(tōng)過 d 次差分(fēn)才能變成平穩的(de)，那麽它就是 d 階單整的(de)。對(duì)于我們熟悉的(de)股票(piào)價格序列，它的(de)一階差分(fēn)爲股票(piào)的(de)收益率；由于收益率滿足平穩性，因此股票(piào)價格序列是一階單整的(de)。

3.3 ADF 檢驗

從上面的(de)介紹可(kě)知，要想判斷一個(gè)時(shí)間序列是否滿足平穩性，核心就是看它有沒有單位根。爲此，可(kě)以采用(yòng) ADF 檢驗（全稱爲 Augmented Dickey-Fuller test）。将 {y_t} 的(de)自回歸函數轉化(huà)爲 y_t 增量 Δy_t 的(de)形式：

在上式中，如果時(shí)間序列 {y_t} 存在單位根，則 λ = 0。ADF 檢驗的(de)原假設是 λ = 0、備擇假設是 λ < 0。

對(duì)于回歸分(fēn)析得(de)到的(de)殘差序列，通(tōng)過 ADF 檢驗考察其是否存在單位根。如果能夠在給定的(de)顯著性水(shuǐ)平下(xià)拒絕原假設，則可(kě)以認爲殘差序列滿足平穩性，從而推斷出回歸分(fēn)析得(de)到的(de)相關性可(kě)信、沒有發生僞回歸。

4 協整 —— 處理(lǐ)非平穩時(shí)間序列的(de)利器

在量化(huà)投資領域，收益率序列滿足平穩性，而價格序列不滿足平穩性。收益率滿足平穩性僅僅說明(míng)價格呈現随機遊走，它對(duì)于構建賺錢的(de)投資策略幾乎沒有什(shén)麽用(yòng)。我們想要的(de)是價格序列呈現出平穩性。不幸的(de)是，現實中投資品價格基本上都呈現（幾何）布朗運動（見《布朗運動、伊藤引理(lǐ)、BS 公式》系列文章(zhāng)）。這(zhè)意味著(zhe)投資品的(de)價格均不滿足平穩性的(de)要求，因此如果我們想用(yòng)其他(tā)數據 —— 比如宏觀經濟數據 —— 來(lái)預測投資品價格（比如上證指數）的(de)走勢就沒什(shén)麽意義，因爲會發生僞回歸。

好消息是，這(zhè)裏有一個(gè)例外：雖然單一投資品的(de)價格不滿足平穩性，但有時(shí)我們可(kě)以把多(duō)個(gè)投資品（通(tōng)常是兩個(gè)）線性組合在一起構成一個(gè)價差序列，而這(zhè)個(gè)價差序列滿足平穩性。在數學上，如果多(duō)個(gè)非平穩的(de)時(shí)間序列通(tōng)過線性組合得(de)到一個(gè)平穩的(de)時(shí)間序列，則把滿足這(zhè)種關系稱爲協整（co-integration）。爲什(shén)麽會發生協整的(de)？考慮兩個(gè)投資品的(de)價格序列爲 {X_1t} 和(hé) {X_2t}，它們的(de)走勢可(kě)以表述爲：

其中 ε_1i 和(hé) ε_2i，i = 1，……，t 爲構成 X_1t 和(hé) X_2t 的(de)随機過程。假設這(zhè)兩個(gè)價格序列的(de)一個(gè)線性組合爲：

如果存在 β 使得(de)這(zhè)兩個(gè)價格序列中的(de)随機過程恰好能夠抵消掉，則價差序列 Z_t 滿足平穩性。在這(zhè)種情況下(xià)，X_1t 和(hé) X_2t 滿足參數爲 β 的(de)協整關系。β 在什(shén)麽情況下(xià)存在呢(ne)？在第二節的(de)例子中，兩個(gè)布朗運動的(de)随機性由不同的(de)随機運動主宰，它們的(de)局部共同運動純屬巧合。而當協整發生時(shí)，這(zhè)兩個(gè)價格序列的(de)随機過程能夠抵消掉的(de)根本原因是它們的(de)随機性來(lái)自同一個(gè)随機過程（共同的(de)因素）。隻有在這(zhè)種情況下(xià)，兩個(gè)價格序列才可(kě)能發生協整，它們的(de)價差序列才能滿足平穩性。

在量化(huà)投資領域，協整的(de)例子雖然不是随處可(kě)見，但也(yě)絕非寥若晨星。在不同交易所交易的(de)追蹤同一投資品（比如标普 500 指數或者比特币）的(de)金融工具，它們的(de)價差就滿足平穩性，因爲它們價格的(de)波動來(lái)自同一投資品。又如股指 ETF 和(hé)成分(fēn)股之間線性組合得(de)到的(de)價差，股指 ETF 的(de)随機性來(lái)自成分(fēn)股的(de)波動。協整的(de)存在使得(de)構建出的(de)價差序列滿足平穩性；更形象的(de)說，價差序列圍繞零呈現均值回歸（也(yě)稱均值回複）的(de)特性。這(zhè)種特性構成了(le)量化(huà)投資領域的(de)一大(dà)類策略 —— 均值回歸策略（見《均值回歸：循規蹈矩，偶發癫狂》）。

EWA 和(hé) EWC 的(de)配對(duì)交易就是一個(gè)經典的(de)例子。他(tā)們分(fēn)别代表澳大(dà)利亞（EWA）和(hé)加拿大(dà)（EWC）股指的(de)兩個(gè)ETFs。由于這(zhè)兩個(gè)國家的(de)經濟都主要依靠商品，因此可(kě)以認爲這(zhè)兩個(gè)股指的(de)波動來(lái)自共同的(de)因子。下(xià)圖爲這(zhè)兩個(gè) ETFs 的(de)價格序列（左圖）和(hé)回歸得(de)到的(de)價差序列（右圖）。

對(duì)價差進行 ADF 檢驗，得(de)到的(de)統計值爲 -4.09（p-value 爲 0.0065），小于顯著性 1% 對(duì)應的(de)阈值 -3.96，這(zhè)說明(míng)我們可(kě)以在 1% 的(de)顯著性水(shuǐ)平下(xià)拒絕原假設。ADF 檢驗說明(míng)該價差序列滿足平穩性，即 EWA 和(hé) EWC 滿足協整關系。

5 結語

對(duì)時(shí)間序列做(zuò)回歸時(shí)，一定要檢驗平穩性。

在量化(huà)投資領域，做(zuò)回歸分(fēn)析時(shí)，收益率和(hé)價格是兩類因變量。對(duì)于收益率，它已經滿足了(le)平穩性，因此我們隻需要保證回歸中的(de)自變量也(yě)滿足平穩性。這(zhè)就是爲什(shén)麽在使用(yòng)宏觀經濟數據預測收益率時(shí)，我們通(tōng)常會使用(yòng)同比或者環比（都是一階差分(fēn)了(le)）作爲自變量，而非經濟數據的(de)累計值。

對(duì)于投資品價格來(lái)說，它自身是一階單整的(de)，不滿足平穩性。在回歸時(shí)，應争取找到和(hé)它協整的(de)另外一個(gè)（或一組）投資品價格，用(yòng)它們的(de)線性組合得(de)到一個(gè)滿足平穩性的(de)價差序列，從而構建均值回歸策略。另外我們見到的(de)做(zuò)法（通(tōng)常很危險）是使用(yòng)宏觀經濟數據直接預測股票(piào)的(de)價格走勢。由于宏觀經濟數據和(hé)股票(piào)價格很難滿足協整關系，因此這(zhè)種回歸得(de)到的(de)往往是僞關系。

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