帶你正确理(lǐ)解 Hurst 指數和(hé)分(fēn)數布朗運動

作者：石川

摘要：赫斯特（Hurst）指數和(hé)分(fēn)數布朗運動大(dà)概是在國内量化(huà)投資界最被錯誤解讀的(de)技術。本文揭示它們的(de)真谛。

1 引言

赫斯特指數和(hé)分(fēn)數布朗運動大(dà)概是在國内量化(huà)投資界被使用(yòng)（和(hé)被濫用(yòng)）的(de)最廣泛的(de)分(fēn)析手段。它們被提出的(de)曆史進程如下(xià)。

1951 年，英國水(shuǐ)文學家赫斯特（Harold Edwin Hurst）在研究尼羅河(hé)水(shuǐ)位變化(huà)時(shí)發現了(le)時(shí)間序列中存在的(de)長(cháng)記憶性（long-term memory, Hurst 1951），即時(shí)間序列當前（或過去）的(de)取值以遠(yuǎn)超随機擾動所能達到的(de)程度影(yǐng)響該時(shí)間序列在未來(lái)的(de)取值。進一步的(de)，他(tā)發現該長(cháng)記憶性存在于更廣泛的(de)自然現象中，比如降雨(yǔ)量、樹的(de)年輪，太陽耀斑等。爲了(le)紀念他(tā)的(de)發現，後人(rén)使用(yòng)赫斯特指數（Hurst exponent，記爲 H）來(lái)刻畫(huà)一個(gè)時(shí)間序列的(de)長(cháng)記憶性。

1968 年，Mandelbrot and Van Ness (1968) 提出分(fēn)數布朗運動（Fractional Brownian Motions，FBM）。對(duì)于呈現出長(cháng)記憶性的(de)時(shí)間序列，該數學模型結合 Hurst 指數形成了(le)一個(gè)完善且自洽的(de)研究體系，使人(rén)們可(kě)以研究長(cháng)記憶性如何影(yǐng)響時(shí)間序列的(de)變化(huà)。後續的(de)研究表明(míng)，FBM 完美(měi)的(de)适用(yòng)于自然科學、工程、以及統計學中的(de)許多(duō)問題。FBM 的(de)核心性質是該過程在任意時(shí)間窗(chuāng)口内增量的(de)穩定性、自相似性和(hé)自相關性。

1994 年，Peters 将 Hurst 指數和(hé)分(fēn)數布朗運動應用(yòng)于資本市場(chǎng)（Peters 1994），指出股票(piào)的(de)（對(duì)數）價格序列服從分(fēn)數布朗運動，并提出了(le)著名的(de)分(fēn)形市場(chǎng)假說（Fractal Market Hypothesis）。這(zhè)無疑是即有效市場(chǎng)假說之後，人(rén)們對(duì)資本市場(chǎng)價格變化(huà)的(de)一種全新認知。

毫無疑問，Hurst 指數和(hé) FBM 對(duì)于人(rén)們今天研究股票(piào)的(de)價格和(hé)收益率至關重要。然而，FBM 被提出的(de)根本目的(de)是科學家在尋找一個(gè)更适當的(de)模型來(lái)描述自然界中一些時(shí)間序列的(de)變化(huà)。Hurst、Mandelbrot 以及 Van Ness 大(dà)概不會想到在 FBM 被提出半個(gè)世紀後，遙遠(yuǎn)的(de)東方有一群人(rén)在沒有真正理(lǐ)解 FBM 和(hé) Hurst 指數本質的(de)前提下(xià)，過度解讀、使用(yòng) FBM 增量的(de)自相關性來(lái)構建量化(huà)投資策略。在這(zhè)方面，不嚴謹邏輯推演如下(xià)：

FBM 描述投資品價格（更嚴謹的(de)，描述對(duì)數價格），因此它的(de)增量就是對(duì)數收益率。如果 Hurst 指數 > 0.5，說明(míng)前後收益率之間有正相關，因此之前漲了(le)之後還(hái)會漲，之前跌了(le)之後還(hái)會跌，而這(zhè)就是趨勢。

這(zhè)個(gè)推演不嚴謹（甚至是錯誤）是因爲：

顯然，前兩點原因是最重要的(de)，我們在本文第五節談到 Hurst 指數和(hé) FBM 對(duì)投資實踐的(de)意義時(shí)會著(zhe)重論述。

本文的(de)目的(de)就是撥開雲霧、去僞存真，爲讀者揭示 Hurst 指數和(hé) FBM 的(de)真正内涵。相信看完本文，你會理(lǐ)解長(cháng)記憶性到底意味著(zhe)什(shén)麽，以及 FBM 增量間的(de)相關性對(duì)于構建投資策略到底有多(duō)大(dà)用(yòng)處。我們也(yě)會明(míng)白爲什(shén)麽投資品的(de)收益率會呈現出波動率聚類以及尖峰肥尾的(de)分(fēn)布。本文假設讀者已經熟悉标準布朗運動的(de)概念和(hé)基本性質。需要回顧一下(xià)的(de)小夥伴可(kě)以參考我們之前的(de)文章(zhāng)《布朗運動、伊藤引理(lǐ)、BS 公式（前篇）》。

2 長(cháng)記憶性和(hé) Hurst 指數

對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列，它在一段時(shí)間内的(de)變化(huà)範圍（或波動）如何随時(shí)間跨度大(dà)小而變化(huà)往往可(kě)以揭示該時(shí)間序列的(de)特性。

讓我們從最簡單的(de)講起。假設我們有一組相互獨立，均值爲 0 方差爲 1 的(de)随機變量按時(shí)間依次出現。它們夠了(le)一個(gè)時(shí)間序列。這(zhè)個(gè)時(shí)間序列在某段時(shí)間跨度 T 内的(de)變化(huà)範圍和(hé) T 的(de) 1/2 次方呈線性關系。我們熟悉的(de)标準布朗運動的(de)增量就滿足這(zhè)個(gè)性質（增量之間是相互獨立的(de)）。

然而 Hurst 發現，對(duì)于自然界中的(de)很多(duō)時(shí)間序列，它們在時(shí)間跨度 T 内的(de)變化(huà)範圍并不是和(hé) T 的(de) 1/2 次方成正比，而是和(hé)比 1/2 更高(gāo)的(de)次方成正比，這(zhè)表明(míng)時(shí)間序列的(de)取值之間不是獨立的(de)，而是相互影(yǐng)響，即時(shí)間序列的(de)自相關系數不爲 0。我們說這(zhè)樣的(de)時(shí)間序列是有長(cháng)記憶的(de)。根據 Beran (1994)，一個(gè)具有長(cháng)記憶性的(de)平穩時(shí)間序列（比如河(hé)流水(shuǐ)位的(de)變化(huà)或者投資品收益率）定義如下(xià)：

長(cháng)記憶性是和(hé)短期相關性（short-term dependency）相對(duì)應的(de)。一個(gè)具有短期相關性的(de)時(shí)間序列它的(de)自相關系數随著(zhe)間隔（lag）的(de)增大(dà)很快(kuài)衰減爲 0 或者按指數衰減；而對(duì)于具有長(cháng)記憶性的(de)時(shí)間序列，它的(de)自相關系數衰減的(de)更慢(màn)。這(zhè)個(gè)定義說明(míng)，如果一個(gè)平穩時(shí)間序列的(de)自相關函數 ρ(k) 的(de)衰減速度服從幂律衰減（即比指數衰減慢(màn)），那麽這(zhè)個(gè)時(shí)間序列就具備長(cháng)記憶性。記憶性體現在自相關函數的(de)非獨立性上，而“長(cháng)”體現在衰減的(de)慢(màn)。

Hurst 指數 H 就用(yòng)來(lái)刻畫(huà)這(zhè)種長(cháng)記憶性；它被用(yòng)來(lái)測量一個(gè)時(shí)間序列的(de)波動範圍如何随時(shí)間跨度變化(huà)，即：

其中，n 是時(shí)間序列觀測點的(de)個(gè)數，代表時(shí)間跨度大(dà)小；R(n) 是這(zhè) n 個(gè)觀測點的(de)變化(huà)範圍；S(n) 是這(zhè)些點的(de)标準差。使用(yòng) S(n) 對(duì) R(n) 進行标準化(huà)，得(de)到 R(n)/S(n)，它是以标準差重新标度過的(de)範圍，稱爲重标極差（rescaled range）；A 是常數；H 就是Hurst 指數。H 的(de)取值範圍在 0 和(hé) 1 之間（不包括 0 和(hé) 1）。當 H = 1/2 時(shí)，該時(shí)間序列沒有相關性。當 H > 1/2 時(shí)，該時(shí)間序列有長(cháng)記憶性；當 H < 1/2 時(shí)，該時(shí)間序列表現出反持續性，因此它表現出比純随機更強的(de)波動。

雖然有了(le) Hurst 指數，但我們仍然沒有分(fēn)析這(zhè)類時(shí)間序列的(de)模型。分(fēn)數布朗運動應運而生。

3 分(fēn)數布朗運動

分(fēn)數布朗運動 FBM（又稱爲分(fēn)形布朗運動）脫胎于标準布朗運動。FBM 是一個(gè)定義在時(shí)域上的(de)連續随機過程 B_H(t)，它滿足：

其中 H 就是描述這(zhè)個(gè) FBM 增量間關系的(de) Hurst 指數。FBM 的(de)核心性質是其增量的(de)平穩性、自相似性和(hé)自相關性（H = 0.5 除外；當 H = 0.5 時(shí)，FBM 變化(huà)爲标準布朗運動）。首先來(lái)看自相似性（self-affinity property）。它指的(de)是對(duì)于兩個(gè)成比例的(de)時(shí)間跨度，記爲 τ 和(hé) kτ（k 是比例縮放系數），FBM 在這(zhè)兩段時(shí)間跨度上的(de)增量依照(zhào) k^H 的(de)縮放比例滿足統計上的(de)同分(fēn)布，即：

如果我們使用(yòng) FBM 來(lái)描述投資品（對(duì)數）價格，則這(zhè)個(gè)性質說明(míng)不論我們看 5 分(fēn)鐘(zhōng)線、30 分(fēn)鐘(zhōng)線、日線、或者周線，投資品價格在不同時(shí)間尺度上的(de)變化(huà)（即不同頻(pín)率上的(de)收益率）按照(zhào) Hurst 指數刻畫(huà)的(de)縮放比例 k^H 呈現出統計上的(de)同分(fēn)布。即如果我們把投資品價格的(de) 5 分(fēn)鐘(zhōng)收益率按照(zhào) 6^H 比例放大(dà)後和(hé) 30 分(fēn)鐘(zhōng)收益率比較，我們是無法區(qū)分(fēn)它們的(de)，因爲他(tā)們在統計上滿足相同的(de)分(fēn)布。

再來(lái)看增量的(de)自相關性（這(zhè)是被國内量化(huà)投資界過度錯誤使用(yòng)的(de)性質）具有如下(xià)性質：

Mandelbrot and Van Ness (1968) 對(duì)增量之間的(de)相關性進行了(le)定量的(de)計算(suàn)。令 [-t/2 – t2, -t/2] 和(hé) [t/2, t/2 + t1] 代表兩個(gè)不重合的(de)時(shí)間跨度（因此這(zhè)兩個(gè)跨度的(de)長(cháng)度分(fēn)别爲 t1 和(hé) t2），則 FBM 在這(zhè)兩個(gè)跨度上的(de)增量之間的(de)相關系數爲（記爲 C(t,t1,t2)）：

可(kě)以證明(míng)，無論 t，t1 以及 t2 的(de)取值，當 H > 0.5 時(shí)，該相關系數都大(dà)于 0；當 H < 0.5 時(shí)，該相關系數都小于 0。

我們在上式的(de)基礎上做(zuò)一些有用(yòng)的(de)推導。令 t1 = t2，即我們考慮 FBM 在兩個(gè)相同跨度上增量的(de)自相關性。另外，令 t = s × t1，s = 0，1，2，…，即這(zhè)兩段增量之間的(de)間隔是它們跨度的(de) s 倍。如此處理(lǐ)後再計算(suàn)這(zhè)兩段增量的(de)相關性，實際上是在計算(suàn)原始 FBM 按照(zhào) 1/t1 頻(pín)率進行一階差分(fēn)後的(de)序列的(de)自相關性，其間隔就是 s。經過簡單的(de)代數運算(suàn)很容易得(de)到：

可(kě)見，這(zhè)個(gè) FBM 一階差分(fēn)序列的(de)自相關性僅和(hé)間隔 s（以及 Hurst 指數 H）有關，而與計算(suàn)自相關性的(de)時(shí)間點無關。這(zhè)就證明(míng)了(le) FBM 增量的(de)平穩性。特别的(de)，如果我們取 s = 0，則我們關注的(de)是兩個(gè)相鄰的(de) t1 長(cháng)度内 FBM 增量的(de)自相關性，它等于：

無論 s 是否爲 0，以上兩式均與時(shí)間跨度的(de)取值無關。這(zhè)是非常重要的(de)一個(gè)性質，說明(míng) FBM 增量的(de)自相關性和(hé)求解增量的(de)時(shí)間跨度 t1（或差分(fēn) FBM 的(de)頻(pín)率）無關，僅由 s 和(hé) H 刻畫(huà)。因此 Hurst 指數描述的(de)是 FBM 增量的(de)自相關性在不同頻(pín)率上的(de)共性。在下(xià)一節介紹重标極差法計算(suàn) Hurst 指數時(shí)，我們會進一步解釋這(zhè)一點。

4 重标極差法

Hurst 指數刻畫(huà)的(de)是不同頻(pín)率下(xià) FBM 增量的(de)波動和(hé)頻(pín)率的(de)關系。波動的(de)含義是 FBM 在不同頻(pín)率下(xià)的(de)增量的(de)分(fēn)布寬度。刻畫(huà)這(zhè)個(gè)寬度可(kě)以使用(yòng)重标極差或者别的(de)指标，比如标準差。這(zhè)就構成了(le)計算(suàn) Hurst 指數的(de)不同方法。當使用(yòng)重标極差來(lái)描述波動的(de)分(fēn)布寬度時(shí)，該方法便稱爲重标極差分(fēn)析（rescaled range analysis，記爲 R/S 分(fēn)析），這(zhè)是由 Hurst 發明(míng)（Hurst 1951），也(yě)是業界最普遍的(de)一種方法。在國内很多(duō)投資研究報告中計算(suàn) Hurst 指數時(shí)，采用(yòng)的(de)正是這(zhè)種方法。

理(lǐ)解這(zhè)個(gè)方法對(duì)完全搞懂(dǒng) Hurst 指數和(hé) FBM 至關重要。比如，FBM 研究的(de)是投資品價格序列，但是爲什(shén)麽我們卻說收益率的(de) Hurst 指數，而不說價格序列的(de) Hurst 指數？又比如，我們可(kě)以使用(yòng)日收益率計算(suàn) Hurst 指數，也(yě)可(kě)以使用(yòng)周收益率計算(suàn) Hurst 指數，它們之間到底有什(shén)麽區(qū)别和(hé)聯系？以回答(dá)這(zhè)些問題爲目标，本節參考 Peters (1994) 的(de)步驟介紹如何使用(yòng)重标極差法計算(suàn) Hurst 指數。

首先必須明(míng)确的(de)是，在金融市場(chǎng)投資領域，FBM 是用(yòng)來(lái)對(duì)投資品的(de)對(duì)數價格建模的(de)，因此 FBM 的(de)增量就是投資品的(de)對(duì)數收益率。使用(yòng)對(duì)數價格的(de)目的(de)是将價格标準化(huà)，使時(shí)間序列在不同絕對(duì)價格下(xià)的(de)波動具有可(kě)比性。舉個(gè)例子，如果不進行标準化(huà)，那麽顯然 100 點的(de)波動對(duì)于 3000 點和(hé) 6000 點的(de)上證指數是不一樣的(de)，是不可(kě)比的(de)。根據 FBM 的(de)性質，其增量滿足平穩性。因此，投資品的(de)對(duì)數收益率滿足平穩性。而長(cháng)記憶性，即 Hurst 指數，是刻畫(huà)平穩時(shí)間序列自相關性的(de)一個(gè)指标（Beran 1994）。因此 Hurst 指數刻畫(huà)的(de)就是對(duì)數收益率的(de)自相關性。這(zhè)就是爲什(shén)麽當我們說 Hurst 指數時(shí)，它的(de)對(duì)象是收益率序列而非價格序列。

R/S 分(fēn)析的(de)步驟如下(xià)。

這(zhè)裏的(de)關鍵點是累積離差是相對(duì)于該子集均值而言的(de)，即這(zhè)裏有個(gè)去均值的(de)過程，因此下(xià)一步計算(suàn)出的(de)波動範圍（range）也(yě)是去均值化(huà)後的(de)。在 Hurst 的(de)研究中，他(tā)使用(yòng)的(de)正是去均值化(huà)後的(de)離差和(hé)波動範圍，這(zhè)可(kě)以消除序列長(cháng)期趨勢對(duì)增量之間相關性的(de)影(yǐng)響（Hurst 1951，Feller 1951）。由于對(duì)數收益率序列的(de)累加構成對(duì)數價格，而對(duì)數價格由 FBM 描述，因此去均值也(yě)保證了(le)收益率序列滿足 B_H(t) 在任意長(cháng)度區(qū)間内增量的(de)期望爲 0。如果沒有進行去均值處理(lǐ)，則對(duì)數收益率序列可(kě)能存在非零的(de)漂移率（drift rate）常數項，這(zhè)會造成 FBM 不滿足增量零均值性質。

考慮下(xià)面的(de)例子。假設對(duì)數收益率序列爲：2%，-1%，2%，-1%，2%，-1%，2%，-1%。它們的(de)均值爲 0.5%，因此去均值化(huà)後的(de)序列爲：1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%。顯然，這(zhè)兩個(gè)序列的(de)累積離差序列完全不同（因此在下(xià)一步中計算(suàn)出的(de)波動範圍也(yě)不同）。

Log((R/S)_n) 和(hé) log(n) 之間的(de)線性關系（斜率）就是 Hurst 指數 H。我們來(lái)看看這(zhè)條跨越不同 log(n)——對(duì)應的(de)是計算(suàn)收益率的(de)不同頻(pín)率——的(de)直線到底意味著(zhe)什(shén)麽。在求解 Hurst 指數 H 的(de)過程中，随著(zhe)時(shí)間跨度 n 的(de)增加，我們逐步考察更低頻(pín)率的(de)對(duì)數收益率的(de)累積變化(huà)。原始價格數據的(de)粒度決定了(le)我們在分(fēn)析中涉及的(de)最高(gāo)頻(pín)率（因爲 n 的(de)取值最小爲 1），而 Hurst 指數描述的(de)是以這(zhè)個(gè)最高(gāo)頻(pín)率爲上界的(de)全頻(pín)率*範圍内的(de)收益率序列的(de)相關性。

* 說全頻(pín)率不太确切。大(dà)量國内外實證指出，當時(shí)間跨度 logn 太大(dà)之後，Hurst 指數 H 刻畫(huà)的(de)記憶性開始失效，即如果我們把 log((R/S)_n) 和(hé) logn 畫(huà)出散點圖，那麽當 logn 大(dà)于某個(gè)值，即頻(pín)率小于某個(gè)值的(de)時(shí)候，log((R/S)_n) 和(hé) logn 的(de)線性關系開始失效（比如下(xià)圖來(lái)自使用(yòng) R/S 法分(fēn)析上證指數從 2005 年起日收益率的(de) Hurst 指數，log((R/S)_n) 和(hé) logn 的(de)線性關系當 n 大(dà)于 244 個(gè)交易日——約 1 年——後失效）。因此，Hurst 指數刻畫(huà)的(de)是從分(fēn)析的(de)最高(gāo)頻(pín)率到線性關系失效對(duì)應的(de)最低頻(pín)率之間所有頻(pín)率的(de)相關性。在這(zhè)段頻(pín)率區(qū)間内，無論我們看哪個(gè)頻(pín)率的(de)收益率，其自相關性都由一個(gè)共同的(de) H 刻畫(huà)。

來(lái)看幾個(gè)例子。假設我們輸入的(de)數據爲 5 日收益率（即采樣頻(pín)率是 5 個(gè)交易日），而 log(R/S) 和(hé) logn 的(de)散點圖說明(míng)當 n = 250 個(gè)交易日線性關系時(shí)失效（相當于 1 年），這(zhè)意味著(zhe)我們考慮的(de)頻(pín)率範圍是從 5 日收益率一直到 1 年的(de)收益率。假設 H = 0.6，這(zhè)意味著(zhe)在這(zhè)個(gè)頻(pín)率範圍内，無論我們考察 5 日收益率的(de)自相關性，還(hái)是月(yuè)收益率的(de)自相關性，亦或是年收益率的(de)自相關性，它們都由 H = 0.6 來(lái)刻畫(huà)。

而當我們将輸入數據的(de)頻(pín)率提高(gāo)到 1 日收益率數據會怎麽樣呢(ne)？我們的(de)分(fēn)析範圍由之前的(de) 5 日到 1 年擴大(dà)到 1 日到 1 年。因此，在這(zhè)種情況下(xià)計算(suàn)出來(lái)的(de) H 數值則刻畫(huà)這(zhè)個(gè)更大(dà)頻(pín)率範圍内收益率的(de)自相似性。顯然，它涵蓋了(le)之前的(de) 5 日到 1 年這(zhè)個(gè)頻(pín)率區(qū)間。那是否意味著(zhe)這(zhè)個(gè)新的(de) H 數值等于之前的(de) 0.6 呢(ne)？答(dá)案是否定的(de)。由于新的(de)分(fēn)析中用(yòng)到了(le)更高(gāo)頻(pín)的(de)數據（1 個(gè)交易日），而更高(gāo)的(de)頻(pín)率伴随著(zhe)更多(duō)的(de)随機擾動（所以高(gāo)頻(pín)收益率之間的(de)相關性更低），因此這(zhè)個(gè)描繪從 1 日到 1 年頻(pín)域的(de)新的(de) H 會比之前那個(gè)描繪從 5 日到 1 年頻(pín)域的(de) H 的(de)取值低一些。Peters (1994) 在美(měi)股上的(de)大(dà)量實證完美(měi)的(de)證實了(le)這(zhè)一點。

5 Hurst 指數和(hé) FBM 對(duì)投資實踐的(de)意義

通(tōng)過前面的(de)介紹，我們已經知道：

在文章(zhāng)的(de)開篇，我提出國内量化(huà)投資界過度誇大(dà)了(le)這(zhè)種自相關性在構建可(kě)盈利的(de)投資策略時(shí)的(de)作用(yòng)。這(zhè)主要體現在以下(xià)兩個(gè)方面：

1. 它從本質上錯誤的(de)定義了(le)“趨勢”；

2. 它過分(fēn)誇大(dà)了(le) FBM 增量之間的(de)正相關性在構建投資策略時(shí)的(de)作用(yòng)。

下(xià)面我就來(lái)分(fēn)别闡述這(zhè)兩點。首先來(lái)看“錯誤的(de)定義了(le)趨勢”這(zhè)點。在衆多(duō)的(de)描述股價的(de)随機過程變種中，标準布朗運動和(hé)分(fēn)數布朗運動都是假設該随機過程是沒有長(cháng)期漂移率項的(de)，即投資品價格經過任意時(shí)間跨度 T 的(de)變化(huà)之後，其期望價格仍然等于它的(de)初始價格。這(zhè)顯然和(hé)現實不符。因此，更适合描述股價的(de)布朗或分(fēn)數布朗運動一定是含有代表長(cháng)期趨勢的(de)漂移率項的(de)。

美(měi)股的(de)标普 500 指數或者道瓊斯工業指數在百年曆程中呈現穩健上行的(de)慢(màn)牛行情（除幾次嚴重股災外），是因爲它們的(de)收益率有一個(gè)正的(de)（雖然很小）的(de)漂移率；我國 A 股在 2007 年和(hé) 2015 年的(de)兩波牛市盛宴中之所以能一路上行，是因爲收益率有正的(de)且相對(duì)于波動率來(lái)說很大(dà)的(de)漂移率。收益率中的(de)正漂移率才是趨勢，才是能夠被策略利用(yòng)來(lái)賺錢的(de)。

下(xià)圖是利用(yòng)時(shí)間序列中刻畫(huà)短期自相關性的(de) ARMA 模型（來(lái)自《寫給你的(de)金融時(shí)間序列：應用(yòng)篇》）分(fēn)析上證指數收益率時(shí)，得(de)到的(de)漂移率随時(shí)間的(de)變化(huà)。可(kě)見在 2015 年上半年大(dà)牛市的(de)時(shí)候漂移率顯著大(dà)于 0；在 2015 年下(xià)半年大(dà)熊市的(de)時(shí)候，漂移率顯著小于 0。在這(zhè)個(gè)顯著的(de)漂移率面前，刻畫(huà)自相關性的(de) ARMA 系數對(duì)收益率的(de)影(yǐng)響微乎其微。雖然這(zhè)是一個(gè)從短期自相關性角度考察的(de)例子，但它的(de)結論對(duì)于 Hurst 指數這(zhè)種全頻(pín)率的(de)長(cháng)期自相關性同樣适用(yòng)：在真正代表趨勢的(de)漂移率面前，無論短期還(hái)是長(cháng)期的(de)自相關性對(duì)于收益率的(de)影(yǐng)響微乎其微。

再來(lái)看一個(gè)假想的(de)例子。假設我們有一組對(duì)數收益率序列 {3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2% …}。從賺錢的(de)角度來(lái)說，這(zhè)個(gè)序列有明(míng)顯的(de)趨勢（漂移率等于 2.5%），因此應該一直持有該投資品。但如果我們對(duì)該收益率序列去掉長(cháng)期均值并計算(suàn)其 Hurst 指數，得(de)到的(de) Hurst 指數沒有任何意義（因爲這(zhè)個(gè)例子中收益率序列呈周期性變化(huà)，因此 Hurst 指數覆蓋的(de)頻(pín)域也(yě)是有周期性的(de)，考慮不同頻(pín)率，Hurst 指數時(shí)正時(shí)負）。如果我們不考慮漂移率，那麽我們會根據 Hurst 指數認爲當收益率序列在特定的(de)頻(pín)率下(xià)有負相關，從而放棄收益率爲 2% 的(de)那些時(shí)間段，這(zhè)顯然是錯誤的(de)。

所以，真正能賺錢的(de)行情是收益率序列中有正的(de)漂移率項。而這(zhè)壓根就不是 Hurst 指數刻畫(huà)的(de)對(duì)象（它研究的(de)是去漂移率項之後，收益率序列的(de)自相關性）。券商報告中使用(yòng) Hurst 指數擇時(shí)出 A 股的(de)牛熊市（漂移率爲正和(hé)漂移率爲負的(de)周期），實在是贻笑(xiào)大(dà)方。

再來(lái)看看第二點，即“誇大(dà)了(le)（去漂移率後）收益率之間正相關性的(de)作用(yòng)”。FBM 的(de)增量之間有相關性，那麽當使用(yòng) FBM 描述股票(piào)對(duì)數價格的(de)時(shí)候，這(zhè)裏隐含的(de)意思就是如果股票(piào)價格在前期漲了(le)且 Hurst 指數大(dà)于 0.5，則股票(piào)價格在後期也(yě)會漲。這(zhè)個(gè)通(tōng)俗的(de)理(lǐ)解雖然和(hé) FBM 的(de)性質不矛盾，但是細想起來(lái)，直接使用(yòng)它構建策略就有問題了(le)。

假設收益率沒有漂移率，讓我們就考慮它的(de)自相關性。那麽我們關心的(de)是 FBM 過程的(de)增量在已知過去曆史的(de)條件下(xià)的(de)條件期望。如果條件期望爲正，那麽可(kě)以說收益率的(de)期望爲正（當然，對(duì)于實際的(de)收益率取值，還(hái)受到随機擾動的(de)影(yǐng)響）。但是，由于 Hurst 指數描繪的(de)是全頻(pín)率上的(de)相似性，FBM 增量的(de)條件期望在數學上極其複雜(zá)（Fink et.al. 2013）。這(zhè)在投資中的(de)體現是，一個(gè)投資品在上一個(gè)交易日的(de)收益率可(kě)能是正的(de)，而它在前一周的(de)收益率卻是負的(de)。Hurst 指數說明(míng)不同頻(pín)率的(de)收益率在統計上滿足同分(fēn)布，且有相同的(de)相關性。那麽這(zhè)一正一負的(de)不同頻(pín)率的(de)收益率的(de)實際取值對(duì)未來(lái)收益率的(de)影(yǐng)響到底是多(duō)少呢(ne)？顯然，我們不能看了(le)日收益率爲正就說下(xià)一個(gè)交易日的(de)收益率爲正；而看了(le)周收益率爲負就說下(xià)一周的(de)收益率爲負。這(zhè)就是 Hurst 指數作爲全頻(pín)率上的(de)性質在對(duì)未來(lái)進行推測時(shí)帶來(lái)的(de)複雜(zá)之處。所以，如果我們僅以 Hurst 指數大(dà)于 0.5 就說“之前漲了(le)，之後還(hái)會漲”，這(zhè)無疑錯誤解讀了(le) Hurst 指數的(de)本意。

以上就是對(duì)上面兩個(gè)問題的(de)論證。

那麽，Hurst 指數刻畫(huà)的(de)長(cháng)記憶性在投資中到底意味著(zhe)什(shén)麽呢(ne)？我認爲它可(kě)以從三方面解讀：

1. 波動率聚類

Mandelbrot (1963) 在研究投資品價格時(shí)觀測到波動率聚類。它的(de)意思是價格的(de)大(dà)幅變化(huà)往往伴随著(zhe)大(dà)幅變化(huà)（變化(huà)的(de)符号都有可(kě)能），而價格的(de)小幅變化(huà)往往伴随著(zhe)小幅變化(huà)。從數學上刻畫(huà)就意味著(zhe)收益率的(de)絕對(duì)值有很強的(de)長(cháng)記憶性，它的(de)自相關性衰減的(de)很慢(màn)。Taqqu (1975) 的(de)研究也(yě)證明(míng)了(le) FBM 的(de)增量（收益率）的(de)絕對(duì)值的(de) Hurst 指數大(dà)于 0.5，即有長(cháng)記憶性。Oh et. al. (2008) 研究了(le)美(měi)國、德國、英國等八國主要股指收益率的(de)絕對(duì)值并證實，這(zhè)些時(shí)間序列的(de) Hurst 指數顯著高(gāo)于 0.5。下(xià)圖爲 2001 年到 2017 年上證指數日收益率的(de)标準差，從中可(kě)以清晰的(de)看到波動率聚類。

2. 收益率的(de)尖峰肥尾分(fēn)布

投資品收益率并不滿足正态分(fēn)布，而是呈現出尖峰肥尾的(de)特征。這(zhè)是市場(chǎng)上的(de)共識。在數學上，這(zhè)種分(fēn)布可(kě)以使用(yòng) Levy 分(fēn)布描述，而描述該分(fēn)部時(shí)用(yòng)到兩個(gè)重要的(de)參數 α（描述尖峰肥尾性）和(hé) β（描述偏度）。（注：這(zhè)裏雖然用(yòng)到了(le)符号 α 和(hé) β，但它們和(hé)我們常說的(de) α 和(hé) β 收益率無關。）

當一個(gè)随機變量的(de)尾部分(fēn)布滿足幂律衰減時(shí)，即 prob(X>x) ~ O(x^-α) 且 α < 2，該随機變量的(de)分(fēn)布體現出肥尾。可(kě)以證明(míng)，α 和(hé) Hurst 指數 H 有如下(xià)關系：α = 1/H。對(duì)于有長(cháng)記憶性的(de)收益率，因爲其 H > 0.5，所以 α = 1/H < 2，因此我們在收益率分(fēn)布上觀測到尖峰肥尾特性。

3. 對(duì)投資者心理(lǐ)的(de)影(yǐng)響

投資品價格的(de)走勢都是被無數投資者交易出來(lái)的(de)。從一定程度上說，長(cháng)記憶性是投資者行爲在投資品收益率上刻下(xià)的(de)烙印。俗話(huà)說“一朝被蛇咬十年怕井繩”，那麽一次大(dà)的(de)股災顯然很容易讓投資者變成驚弓之鳥，對(duì)大(dà)跌的(de)恐懼和(hé)風險厭惡顯然不是一朝一夕可(kě)以忘掉的(de)。這(zhè)種影(yǐng)響将會是深遠(yuǎn)的(de)，體現在啊投資者的(de)行爲上，便造就了(le)收益率上的(de)長(cháng)記憶性。

以上便是 Hurst 指數和(hé) FBM 對(duì)于投資實踐的(de)意義。

6 結語

在研究量化(huà)投資之初，我從國内的(de)研究報告中接觸到了(le) Hurst 指數（可(kě)見它的(de)流行度）。自己嘗試後發現效果并不好（尤其樣本外）。那時(shí)我就在想是自己沒用(yòng)對(duì)，還(hái)是經過這(zhè)些研究報告“加工過”的(de)二手資料對(duì) Hurst 指數的(de)理(lǐ)解有誤。于是追蹤溯源我認真學習(xí)了(le)Hurst 指數和(hé) FBM 的(de)原始資料，得(de)出的(de)結論是二手資料對(duì) Hurst 指數的(de)理(lǐ)解有誤。終于，今天有機會把我自己對(duì) Hurst 指數和(hé) FBM 的(de)理(lǐ)解寫下(xià)來(lái)，是爲了(le)對(duì)自己之前學習(xí)的(de)總結；是爲了(le)讓希望真正理(lǐ)解它們的(de)人(rén)少走些彎路；是爲了(le)抨擊那種張嘴就來(lái)說“Hurst 指數＞0.5 就有趨勢能賺錢”的(de)不負責任的(de)态度。

Hurst 指數的(de)使用(yòng)和(hé)錯用(yòng)關鍵在于對(duì)能賺錢的(de)“趨勢”的(de)正确理(lǐ)解。對(duì)于什(shén)麽是“趨勢”，很多(duō)種方法都能自圓其說，并無所謂誰對(duì)誰錯。如果我們想利用(yòng)“趨勢”賺錢，那麽能賺到錢的(de)定義趨勢的(de)方法就是好方法；如果我們是想通(tōng)過嚴謹的(de)理(lǐ)論來(lái)研究收益率的(de)相關性，那麽一個(gè)符合收益率特性的(de)數學模型就是好方法。Hurst 指數和(hé) FBM 的(de)提出顯然是爲了(le)後者。Hurst 指數刻畫(huà)的(de)是去掉漂移率之後，收益率在頻(pín)域的(de)自相關性，因此以它來(lái)判斷市場(chǎng)的(de)價格趨勢（收益率中的(de)漂移率項）是不合适的(de)。這(zhè)相當于我們用(yòng)目标 a 的(de)模型去搞目标 b，這(zhè)是行不通(tōng)的(de)。

影(yǐng)響投資品價格的(de)因素衆多(duō)。站在研究的(de)角度，我們僅能做(zuò)合理(lǐ)的(de)簡化(huà)，并選出一些特征。當我們明(míng)确研究的(de)目标後，便可(kě)以對(duì)這(zhè)些特征數學建模以便更好的(de)理(lǐ)解。但是，無論怎麽建模，描述的(de)都僅僅是很小的(de)一部分(fēn)特征，是我們研究中針對(duì)的(de)那一部分(fēn)的(de)簡單抽象。如果認爲這(zhè)就是市場(chǎng)真理(lǐ)（并錯誤的(de)解讀它），無異于刻舟求劍。

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