False In-Sample Predictability ?

發布時(shí)間：2021-06-22 | 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作者：石川

摘要：Martin and Nagel (2019) 指出投資者 high-dimensional learning 有可(kě)能造成樣本内虛假的(de)可(kě)預測性。

讓我們從兩組實證結果說起。下(xià)圖是 Fama and French (2015) 五因子（除了(le) SMB）和(hé) Carhart (1997) 動量因子在 1963 到 2008 年之間的(de)表現，無一例外的(de)，它們都獲得(de)了(le)顯著的(de)超額收益。由于時(shí)間跨度和(hé)相關論文所涉及的(de)實證區(qū)間接近，我們可(kě)以把它們視作樣本内的(de)表現。

再來(lái)看看樣本外……

怎麽說呢(ne)？“此時(shí)無聲勝有聲”。看完了(le)美(měi)股，再來(lái)看看 A 股上中國版四因子的(de)表現。下(xià)圖統計了(le)市場(chǎng)、SMB、VMG（基于 Earnings-to-Price ratio 構造的(de)價值因子）以及 PMO 四因子在樣本内、外以及全樣本的(de)表現（樣本的(de)劃分(fēn)是根據該模型的(de)論文）。

Again，“此時(shí)無聲勝有聲”。此處無意進一步探討(tǎo)因子的(de)表現，隻是想通(tōng)過這(zhè)兩個(gè)例子引出本文要探討(tǎo)的(de)内容。在過去的(de) 30 年，學術界提出了(le)大(dà)量樣本内顯著的(de)因子和(hé)異象（zoo of factors），然而絕大(dà)多(duō)數在樣本外都無法持續。至于這(zhè)背後的(de)原因，目前有兩種主流看法。一種是由于多(duō)重假設檢驗，大(dà)多(duō)數因子都是 p-hacking 的(de)結果（Harvey, Liu, and Zhu (2016)）；另一種則是因子在樣本外之所以變差是因爲套利者把它們交易了(le)（McLean and Pontiff (2016)）。

而今天要解讀的(de) Martin and Nagel (2019) 則給出了(le)第三種可(kě)能。該文題目是 Market Efficiency in the Age of Big Data，作者是 Ian Martin 和(hé) Stefan Nagel。看過上期推文的(de)小夥伴會知道這(zhè)就是我說的(de) Stefan Nagel 的(de)背靠背的(de)第二篇。針對(duì)大(dà)量樣本内顯著樣本外消失的(de)可(kě)預測性，該文提出了(le)一個(gè)新穎的(de)視角 —— high-dimensional investor learning。正如下(xià)圖所描繪的(de)，在大(dà)數據時(shí)代，人(rén)們面對(duì)著(zhe)指數級增長(cháng)的(de)數據量，而能夠影(yǐng)響公司未來(lái)基本面的(de)變量也(yě)在無限擴張（例如會計報表數據，公司财報中的(de)措辭，分(fēn)析師一緻預期，量價數據，公司所處行業的(de)景氣度，以及各種宏觀經濟變量和(hé)其他(tā)另類數據）。在這(zhè)個(gè)背景下(xià)，傳統的(de)實證資産定價檢驗受到了(le)巨大(dà)的(de)挑戰。

傳統實證資産定價假設理(lǐ)性預期（rational expectation），即假設投資者知道哪些變量影(yǐng)響公司基本面以及它們和(hé)基本面的(de)關系，即基本面 = f(預測變量) 對(duì)投資者是已知的(de)，并在這(zhè)個(gè)前提下(xià)通(tōng)過曆史數據（在樣本内）檢驗市場(chǎng)有效性。一旦原假設被拒絕便認爲變量獲得(de)的(de)超額收益代表著(zhe)風險補償或定價錯誤。然而，Martin and Nagel (2019) 指出，在大(dà)數據時(shí)代，投資者根本無法知道到底哪些變量能夠影(yǐng)響公司基本面，以及變量和(hé)基本面之間的(de)關系 $f()$ 到底是什(shén)麽樣。取而代之的(de)是在高(gāo)維參數空間的(de)學習(xí)問題，即估計 $f()$ 到底長(cháng)什(shén)麽樣、參數是多(duō)少。在理(lǐ)性預期範式下(xià)，不存在投資者對(duì) $f()$ 的(de)學習(xí)問題，因此樣本内檢驗發現的(de)可(kě)預測性可(kě)以直接推廣到樣本外。然而，一旦投資者需要估計 $f()$ 且估計存在誤差時(shí)，通(tōng)過樣本内檢驗發現的(de)可(kě)預測性則無法再保證樣本外的(de)可(kě)預測性。

從直觀上來(lái)理(lǐ)解，這(zhè)是因爲投資者高(gāo)維學習(xí)問題會導緻均衡狀态下(xià)資産的(de)價格和(hé)理(lǐ)性預期情況下(xià)相比出現偏差；該偏差的(de)存在将造成事後（ex post）從計量經濟學家的(de)視角來(lái)看，已實現收益率不再随機，而是包含了(le)一部分(fēn)可(kě)預測的(de)成分(fēn)；因此當人(rén)們事後用(yòng)統計檢驗分(fēn)析變量和(hé)收益率的(de)關系時(shí)，會誤以爲某些變量對(duì)收益率有預測性（且在高(gāo)維問題下(xià)，即變量越來(lái)越多(duō)時(shí)，這(zhè)個(gè)偏差造成的(de)影(yǐng)響愈加明(míng)顯）。

但實際的(de)情況是，對(duì)投資者來(lái)說，這(zhè)種可(kě)預測性在事前（ex ante）是感知不到的(de)；對(duì)進行事後檢驗的(de)計量經濟學家來(lái)說，樣本内的(de)可(kě)預測性僅僅是源自由投資者學習(xí) $f()$ 而導緻的(de)資産定價的(de)偏差，因而是虛假的(de)，這(zhè)些變量在樣本外并不能預測收益率。因此，該文主張 high-dimensional investor learning 是諸多(duō)樣本内 false discoveries 的(de)另一個(gè)潛在原因，而唯有樣本外的(de)可(kě)預測性才真正代表風險補償或錯誤定價。下(xià)圖高(gāo)度總結了(le)該文。

下(xià)面就來(lái)深度解讀這(zhè)篇文章(zhāng)。

2 Model

本節介紹 Martin and Nagel (2019) 使用(yòng)的(de)模型。令 $N$ 代表資産數， $J$ 代表投資者用(yòng)來(lái)預測資産未來(lái)現金流的(de)變量（firm characteristics）的(de)個(gè)數，令 $X$ （ $N\times J$ 階矩陣）表示 $N$ 個(gè)公司的(de) $J$ 個(gè)變量。不失一般性且爲了(le)簡化(huà)推導，假設 $J<N$ 。進一步假設 $y_t$ 代表資産的(de)分(fēn)紅，而分(fēn)紅高(gāo)低是投資者對(duì)資産估值的(de)依據。模型假設 dividend growth 和(hé) $X$ 滿足如下(xià)線性模型：

$\Delta y_t=Xg+e_t,~~~e_t\sim\mathcal{N}(0,I_N)$

由上式可(kě)知，模型中假設 $X$ 不随時(shí)間變化(huà)。在現實世界中，firm characteristics 當然會随時(shí)間發生變化(huà)，且 dividend growth 也(yě)完全有可(kě)能是 $X$ 的(de)非線性函數，但是允許 $X$ 時(shí)變或考慮非線性将會使得(de)研究 learning 問題的(de)難度陡然增加（就現在這(zhè)個(gè)簡單的(de)設定而言，問題本身已經十分(fēn)複雜(zá)）。由于 Martin and Nagel (2019) 是第一篇通(tōng)過建模研究 investor learning 對(duì) asset pricing 和(hé) return predictability 影(yǐng)響的(de)文章(zhāng)，因此他(tā)們決定盡量簡化(huà)模型[1]。在模型中，參數向量 $g$ 決定了(le)變量如何影(yǐng)響資産未來(lái) dividend growth 的(de)變化(huà)，而它也(yě)正是投資者在高(gāo)維變量空間中需要估計的(de)（learning）。模型假設 $g$ 滿足多(duō)元正态分(fēn)布：

$\displaystyle g\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\theta}{J}I_J\right)$

其中 $\theta$ 是一個(gè)常數， $I_J$ 是 $J$ 階單位矩陣。這(zhè)個(gè)假設的(de)核心是 $g$ 的(de)方差和(hé) $J$ （變量的(de)個(gè)數）成反比。它對(duì)模型盡可(kě)能貼合現實世界至關重要。這(zhè)是因爲上述假設保證了(le)無論 $J$ 怎麽變，模型中的(de)信噪比都是不變的(de)。如果沒有這(zhè)個(gè)約束，則随著(zhe)使用(yòng)的(de)變量越來(lái)越多(duō)， $\Delta y_t$ 中可(kě)解釋的(de)部分(fēn)将會越來(lái)越大(dà)，遠(yuǎn)超過噪音(yīn) $e_t$ ，這(zhè)顯然是不切實際的(de)。以上就是關于資産基本面的(de)建模。

接下(xià)來(lái)是關于投資者的(de)設定。該文假設投資者是風險中性（risk-neutral）以及同質的(de)（homogeneous）。此外，他(tā)們還(hái)假設無風險收益率爲 0。在風險中性 + 無風險收益率爲 0 下(xià)，資産的(de) risk premium 爲零，因此稍後對(duì)模型求解時(shí)發現的(de)任何 in-sample return predictability 都不應歸結爲 risk premium（因爲 risk premium 已經在模型中被排除了(le)）。同質性則意味著(zhe)所有投資者對(duì)于 $g$ 的(de)估計是一樣的(de)，不會因人(rén)而異，且投資者之間不會相互學習(xí)。

有了(le)資産和(hé)投資者，接下(xià)來(lái)就要開始研究投資者如何對(duì)資産估值、确定其均衡狀态下(xià)的(de)價格，以及在這(zhè)個(gè)過程中造成的(de)資産收益率的(de)可(kě)預測性。爲了(le)簡化(huà)，Martin and Nagel (2019) 使用(yòng)了(le)單期估值模型。由于投資者是風險中性且利率爲零，因此 $t$ 期資産的(de)價格等于 $t+1$ 期分(fēn)紅在 $t$ 時(shí)刻的(de)期望：

$\begin{array}{rll} p_t&=&\displaystyle\mbox{E}_ty_{t+1}\\ &=&y_t+\mbox{E}_t\Delta y_t\\ &=&y_t+\mbox{E}_t(Xg+e_{t+1}) \end{array}$

由上式可(kě)知，均衡狀态下(xià)資産的(de)價格 $p_t$ 取決于投資者如何形成 $y_{t+1}$ 的(de)預期，即由投資者如何形成關于 $\Delta y_t$ 的(de)預期決定。而由于 $\Delta y_t=Xg+e_t$ ，因此 $p_t$ 最終和(hé)投資者如何在高(gāo)維變量空間估計 $g$ 密切相關。從計量經濟學家事後檢驗的(de)角度出發，投資者在高(gāo)維空間下(xià)對(duì) $g$ 的(de)（不準确）估計如何影(yǐng)響資産的(de)價格，以及這(zhè)種影(yǐng)響是否能夠造成任何樣本内（虛假的(de)）可(kě)預測性呢(ne)？這(zhè)就是 Martin and Nagel (2019) 想要回答(dá)的(de)問題。

3 Rational Expectation

在探討(tǎo) investor learning 之前，我們先來(lái)看基準，即理(lǐ)性預期的(de)情況。理(lǐ)性預期下(xià)假設投資者知道真實的(de) $g$ （即無需估計），因此有 $\mbox{E}_t(Xg+e_{t+1})=Xg$ ，以及 $p_t=y_t+Xg$ 。利用(yòng)下(xià)期 $y_{t+1}$ 和(hé)理(lǐ)性預期下(xià)的(de)資産價格 $p_t$ ，就可(kě)以計算(suàn)出 realized price change，即收益率（Martin and Nagel (2019) 将 realized price change 稱作“收益率”，本文遵循這(zhè)一術語使用(yòng)）：

$r_{t+1}=y_{t+1}-p_t=\Delta y_{t+1}-Xg=e_{t+1}$

在理(lǐ)性預期下(xià)，由于投資者無需估計 $g$ ，因而有 $r_{t+1}=e_{t+1}$ 。這(zhè)意味著(zhe)哪怕是事後檢驗來(lái)看，樣本内也(yě)沒有任何可(kě)預測性。爲說明(míng)這(zhè)一點，假設事後使用(yòng) $r_{t+1}$ 對(duì) $X$ 進行截面回歸，得(de)到回歸系數向量：

$h_{t+1}=(X'X)^{-1}X'r_{t+1}$

由于 $r_{t+1}=e_{t+1}$ ，将其代入有：

$h_{t+1}=(X'X)^{-1}X'e_{t+1}$

從實證資産定價檢驗的(de)角度來(lái)說，我們關注的(de)是事後聯合檢驗 $h_{t+1}$ 是否顯著偏離零 —— 顯著偏離零意味著(zhe)有（樣本内）的(de)可(kě)預測性。利用(yòng)統計檢驗， $h_{t+1}’X’Xh_{t+1}$ 滿足 $\chi_J^2$ 分(fēn)布，因此隻要利用(yòng)實際的(de)樣本數據就可(kě)以對(duì)其檢驗。由 $h_{t+1}$ 的(de)定義可(kě)知，在理(lǐ)性預期下(xià)，任何偏離零都是由于噪音(yīn) $e_{t+1}$ 造成的(de)。除了(le)直接聯合檢驗 $h_{t+1}$ ，我們也(yě)可(kě)以從另一個(gè)角度理(lǐ)解。令 $w_t=(1/N)Xh_{t+1}$ ，并考慮以 $w_t$ 爲權重構造的(de)投資組合（這(zhè)對(duì)應了(le)常用(yòng)的(de)樣本内構造投資組合并檢驗其收益率）。該投資組合的(de)收益率爲：

$\displaystyle r_{IS,t+1}=w_t'r_{t+1}=\frac{1}{N}h'_{t+1}X'Xh_{t+1}$

由 $h_{t+1}’X’Xh_{t+1}$ 滿足 $\chi_J^2$ 分(fēn)布可(kě)知，該投資組合的(de)預期收益爲：

$\mbox{E}r_{IS,t+1}=J/N$
在沒有任何可(kě)預測性的(de)原假設下(xià)，該投資組合在樣本内的(de)預期收益爲 $J/N$ ，它之所以大(dà)于零僅是因爲對(duì)樣本内噪音(yīn)的(de)過拟合。在事後檢驗中，常規操作就是考察該投資組合的(de)收益率是否顯著的(de)偏離 $J/N$ 。如果發現顯著的(de)偏離，人(rén)們會認爲 $X$ 可(kě)以預測 $r_{t+1}$ ，并把可(kě)預測性歸結于風險補償或投資者的(de)系統性偏誤。然而，若投資者不知道真實的(de) $g$ ，而是需要對(duì)它估計（learning）時(shí)又會怎樣呢(ne)？估計的(de)不準确是否會造成上述原假設被錯誤地拒絕呢(ne)（即樣本内虛假的(de)可(kě)預測性）？

4 OLS Learning

首先來(lái)看最簡單（但稍微不太滿足實際）的(de)情況 —— 投資者直接使用(yòng) OLS 來(lái)估計 $g$ ，即 OLS learning。至于爲什(shén)麽說它稍微不滿足現實，我們放到第 5 節介紹 Bayesian Learning 時(shí)討(tǎo)論。爲估計 $g$ ，假設投資者首先計算(suàn)全部 $t$ 期 dividend growths 的(de)均值：

$\displaystyle \overline{\Delta y_t}=\frac{1}{t}\sum_{s=1}^t\Delta y_s$
然後用(yòng) $\overline{\Delta y_t}$ 對(duì) $X$ 回歸有：

$\displaystyle \tilde g_{OLS,t}=(X'X)^{-1}X'\overline{\Delta y_t}$

和(hé)理(lǐ)性預期（上一節）不同，由于投資者不知道真實的(de) $g$ ，而是通(tōng)過 OLS 估計，因此這(zhè)将影(yǐng)響他(tā)們對(duì)資産未來(lái) dividend growth 的(de)估計 $\mbox{E}\Delta y_{t+1}=X\tilde g_{OLS,t}$ 。在這(zhè)個(gè)情況下(xià)，均衡狀态下(xià)資産的(de)價格爲：

$\displaystyle p_t=y_t+X\tilde g_{OLS,t}$

而 realized return 爲：

$\begin{array}{rll} r_{t+1}&=&\displaystyle y_{t+1}-p_t\\ &=&\displaystyle y_t+Xg+e_{t+1}-y_t-X\tilde g_{OLS,t}\\ &=&\displaystyle X(g-\tilde g_{OLS,t})+e_{t+1} \end{array}$

站在投資者在 $t$ 時(shí)刻的(de)視角，他(tā)們是無法察覺對(duì) $g$ 的(de)估計有偏誤的(de)，因此對(duì)于投資者來(lái)說， $r_{t+1}$ 依然是不可(kě)預測的(de)，正如理(lǐ)性預期一樣。然而，對(duì)于事後進行統計檢驗來(lái)說，上述通(tōng)過 OLS 估計的(de) $\tilde g_{OLS,t}$ 是否影(yǐng)響檢驗結果呢(ne)？定義 $\bar{e}_t=\frac{1}{t}\sum_{s=1}^t e_s$ ，因而有 $\overline{\Delta y_t}=Xg+\bar{e}_t$ 。将該式代入 $\tilde g_{OLS,t}$ 的(de)表達式并進行簡單代數運算(suàn)有：

$\begin{array}{rll} \tilde g_{OLS,t}&=&(X'X)^{-1}X'(Xg+\bar{e}_t)\\ &=&(X'X)^{-1}X'Xg+(X'X)^{-1}X'\bar{e}_t\\ &=&g+(X'X)^{-1}X'\bar{e}_t \end{array}$

将其代入 $r_{t+1}$ 的(de)表達式可(kě)得(de)：

$\begin{array}{rll} r_{t+1}&=&\displaystyle X(g-\tilde g_{OLS,t})+e_{t+1}\\ &=&\displaystyle X(g-g-(X'X)^{-1}X'\bar{e}_t)+e_{t+1}\\ &=&\displaystyle -X(X'X)^{-1}X'\bar{e}_t+e_{t+1}\\ \end{array}$

怎麽樣，在 OLS learning 下(xià)， $r_{t+1}$ 看著(zhe)和(hé)理(lǐ)性預期下(xià)不一樣了(le)。下(xià)表對(duì)它們進行了(le)對(duì)比。

和(hé)理(lǐ)性預期相比，投資者對(duì) $g$ 的(de) OLS 估計造成 realized return 中多(duō)出了(le)一項，即 $-X(X’X)^{-1}X\bar{e}_t$ 。因此，當我們如常進行事後統計檢驗時(shí)，收益率對(duì) $X$ 的(de)回歸系數 $h_{t+1}$ 就變成了(le)：

$\begin{array}{rll} h_{t+1}&=&(X'X)^{-1}X'r_{t+1}\\ &=&(X'X)^{-1}X'(-X(X'X)^{-1}X'\bar{e}_t+e_{t+1})\\ &=&-(X'X)^{-1}X'\bar{e}_t+(X'X)^{-1}X'e_{t+1} \end{array}$

與理(lǐ)性預期相比，OLS learning 造成事後檢驗的(de)回歸系數 $h_{t+1}$ 中也(yě)多(duō)了(le)一項（上式中第一項）。觀察該項，從直覺上可(kě)知，如果 $X$ 中的(de)某些 firm characteristics 和(hé)誤差 $\bar{e}_t$ 正相關或者負相關時(shí)，就很有可(kě)能造成 $h_{t+1}$ 聯合起來(lái)顯著偏離零且原假設被（錯誤地）拒絕。如果我們仍然從投資組合收益率的(de)視角來(lái)解讀，那麽在 OLS learning 下(xià)，可(kě)以推導出該投資組合的(de)預期收益中同樣包含兩項，較理(lǐ)性預期的(de)情況下(xià)多(duō)了(le)一項：

$\mbox{E}r_{IS,t+1}=\frac{J}{tN}+\frac{J}{N}$

沒有可(kě)預測性的(de)原假設下(xià)， $\mbox{E}r_{IS,t+1}$ 的(de)預期是 $J/N$ （理(lǐ)性預期的(de)情況）。然而，由于 OLS learning 造成了(le)額外的(de)一項 $J/tN$ 。當 $t$ 很小，或者 $J$ （用(yòng)來(lái)預測 dividend growth 的(de)變量的(de)個(gè)數）非常大(dà)的(de)時(shí)候（即 high-dimensional learning 問題）， $J/tN$ 這(zhè)一項将會造成 $\mbox{E}r_{IS,t+1}$ 相對(duì) $J/N$ 的(de)顯著偏離，使得(de)事後統計檢驗拒絕原假設，認爲 $X$ 中有某些變量能夠預測 $r_{t+1}$ [2]。

讓我們串一下(xià)上面“可(kě)預測性”産生的(de)邏輯。該邏輯是因爲投資者不知道 $g$ ，而是通(tōng)過 OLS 來(lái)估計 $g$ ，并根據 $\tilde g_{OLS,t}$ 對(duì)資産估值，産生均衡狀态下(xià)資産的(de)價格。它進而造成了(le)和(hé)理(lǐ)性預期相比，已實現收益率中出現額外一項，而這(zhè)個(gè)額外項繼而造成了(le)回歸系數 $h_{t+1}$ 顯著地聯合偏離零或投資組合預期收益顯著的(de)偏離 $J/N$ ，讓人(rén)們（錯誤地）拒絕原假設。由于在模型中已經排除了(le) risk premium，因此該樣本内的(de)可(kě)預測性僅僅是 investor learning 造成的(de)。

5 Bayesian Learning

通(tōng)過上一節的(de)介紹，希望各位小夥伴搞清楚 Martin and Nagel (2019) 想要幹什(shén)麽了(le)。但是我負責的(de)說，OLS learning 因爲有些問題，并不是他(tā)們關注的(de)重點。下(xià)面就來(lái)上點“硬貨”—— Bayesian learning。好消息是，有了(le) OLS learning 做(zuò)鋪墊，本節的(de)内容會容易理(lǐ)解地多(duō)（我寫起來(lái)也(yě)容易的(de)多(duō)）。

爲了(le)簡化(huà)模型，Martin and Nagel (2019) 假設投資者的(de)先驗是 $g$ 的(de)真實分(fēn)布，即 $g\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\theta}{J}I_J\right)$ 。經過推導，可(kě)以得(de)到投資者對(duì) $g$ 的(de)後驗估計：

$\displaystyle\tilde g_t=\left(X'X+\frac{J}{\theta t}I_J\right)^{-1}X'\overline{\Delta y_t}$

和(hé) OLS learning 相比，Bayesian learning 下(xià)的(de) $\tilde g_t$ 是先驗和(hé) OLS 估計之間的(de)貝葉斯收縮。爲了(le)更直觀的(de)理(lǐ)解往先驗的(de)收縮，上述 $\tilde g_t$ 又可(kě)以寫作：

$\displaystyle\tilde g_t=\Gamma_t(X'X)^{-1}X'\overline{\Delta y_t}$
其中 $\Gamma_t$ 是收縮系數，而往先驗收縮的(de)程度滿足如下(xià)性質（都非常複合直覺）：

1. $t$ 越小，越往先驗收縮（樣本點的(de)時(shí)間跨度越短，誤差越大(dà)）；

2. $\theta$ 越小，越往先驗收縮（ $\theta$ 決定了(le)先驗中 $g$ 相對(duì)零的(de)偏離程度）；

3. $J/N$ 越大(dà)，越往先驗收縮（變量個(gè)數越多(duō)，越有可(kě)能對(duì)著(zhe)樣本内過拟合，因此更需要收縮）。

比較 Bayesian learning 和(hé) OLS learning 可(kě)知二者的(de)差異就體現在 $\Gamma_t$ 上。數學運算(suàn)可(kě)知，當先驗是擴散的(de)時(shí)候（ $\theta\rightarrow\infty$ ）， $\Gamma_t$ 收斂到單位矩陣。因此，OLS learning 是 Bayesian learning 的(de)一個(gè)特例。現在我們就可(kě)以回答(dá)前面遺留的(de)問題：爲什(shén)麽 OLS learning 不太合理(lǐ)。由 $g$ 的(de)定義可(kě)知，變量偏離零的(de)程度由 $\theta$ 确定。如果 $\theta$ 非常大(dà)，則意味著(zhe) dividend growth 的(de)信噪比非常高(gāo)（有很大(dà)一部分(fēn)可(kě)以通(tōng)過 $X$ 來(lái)預測），這(zhè)顯然與真實世界不符。由于在真實世界中投資者通(tōng)常不會認爲 dividend growth 中有很大(dà)一部分(fēn)能夠被預測，因此 Bayesian learning 比 OLS learning 更符合實際。

在 Bayesian learning 下(xià)，投資者通(tōng)過 $\tilde g_t$ 來(lái)判斷 dividend growth 并對(duì)資産估值。在均衡狀态下(xià)，收益率滿足：

$r_{t+1}=X(I_J-\Gamma_t)g-X\Gamma_t(X'X)^{-1}X'\bar{e}_t+e_{t+1}$

毫無疑問，和(hé)理(lǐ)性預期以及 OLS learning 相比，這(zhè)個(gè) $r_{t+1}$ 看著(zhe)更複雜(zá)了(le)。不用(yòng)慌，我們再放在一起對(duì)比一下(xià)。

上表中，我特地使用(yòng)了(le)相同的(de)顔色圈出了(le)相似的(de)項。和(hé) OLS learning 相比，Bayesian learning 中又多(duō)了(le)額外的(de)一項（第一項），而它的(de)第二項則對(duì)應 OLS learning 的(de)第一項，其中的(de)差異是，Bayesian Learning 的(de)第二項中多(duō)了(le)收縮系數 $\Gamma_t$ 。Bayesian learning 下(xià) $r_{t+1}$ 中的(de)三項可(kě)以解讀爲：

1. 第一項是因爲往先驗收縮，因此投資者對(duì)基本面信息 $X$ 的(de)“反應不足”（如果不收縮，即 $\Gamma_t=I$ ，這(zhè)一項就會消失）。

2. 第二項和(hé) OLS learning 類似，是噪聲對(duì)投資者估計的(de)影(yǐng)響。不過 $\Gamma_t$ 的(de)存在意味著(zhe)先驗使得(de)投資者對(duì)噪音(yīn)的(de)反應沒那麽強烈，因此從一定程度上降低了(le)這(zhè)部分(fēn)對(duì)估計的(de)影(yǐng)響；在 Bayesian learning 下(xià)， $\Gamma_t$ 在前兩項誤差之間實現了(le)最優的(de)權衡。

3. 最後一項和(hé)理(lǐ)性預期一樣，爲 $e_{t+1}$ 。

接下(xià)來(lái)如法炮制，利用(yòng)上述 $r_{t+1}$ 來(lái)估計并檢驗 $h_{t+1}$ ，以及檢驗利用(yòng)它構造的(de)投資組合的(de)預期收益。和(hé) $r_{t+1}$ 一樣，由于 Bayesian learning， $h_{t+1}$ 也(yě)有三項，分(fēn)别對(duì)應 $r_{t+1}$ 的(de)三項（不再贅述）。而該投資組合的(de)預期收益爲：

$\displaystyle\mbox{E}r_{IS,t+1}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^J\left(\frac{\lambda_j}{t\lambda_j+\frac{J}{N\theta}}+1\right)$

當 $\theta\rightarrow\infty$ 時(shí)，上式收斂到 OLS learning 的(de)情況，即 $\mbox{E}r_{IS,t+1}=\frac{J}{tN}+\frac{J}{N}$ 。下(xià)圖給出了(le) OLS learning 和(hé) Bayesian learning（informative prior）兩種情況下(xià)，該投資組合預期收益如何随 $J$ 的(de)增加而變化(huà)。當沒有先驗時(shí)，OLS learning 更容易過拟合，因此其預期收益随 $J$ 升高(gāo)的(de)更快(kuài)。使用(yòng)貝葉斯收縮之後，會從一定程度上減弱這(zhè)個(gè)情況，但卻無法從根本上消除樣本内的(de)可(kě)預測性。

最後，我們再來(lái)回顧下(xià)“可(kě)預測性”産生的(de)原因。投資者通(tōng)過 Bayesian learning 估計 $g$ 并根據 $\tilde g_t$ 對(duì)資産估值，産生均衡狀态下(xià)資産的(de)價格。這(zhè)造成了(le)和(hé)理(lǐ)性預期相比，已實現收益率中的(de)額外的(de)兩項，而這(zhè)兩項進而造成利用(yòng) $h_{t+1}$ 構造的(de)投資組合的(de)預期收益顯著的(de)偏離 $J/N$ ，讓人(rén)們（錯誤地）拒絕原假設。因此，該樣本内的(de)可(kě)預測性僅僅是 investor learning 造成的(de)。哪怕是采用(yòng)了(le)更加接近現實的(de) Bayesian learning，投資者的(de) high-dimensional learning 依然會産生樣本内虛假的(de)可(kě)預測性。

6 Out-of-Sample

以上就是關于投資者的(de) high-dimensional learning 如何影(yǐng)響事後樣本内統計檢驗的(de)研究。在該文的(de)後半部分(fēn)，Martin and Nagel (2019) 也(yě)詳細討(tǎo)論了(le)樣本外的(de)可(kě)預測性。結論就是，investor learning 不會産生樣本外的(de)可(kě)預測性，這(zhè)顯然非常符合邏輯。按照(zhào)投資組合的(de)視角，它可(kě)以表述爲：

假設有兩個(gè)互不重疊的(de)時(shí)間窗(chuāng)口。如果我們使用(yòng)窗(chuāng)口 1 來(lái)檢驗 $X$ 并發現了(le)一些虛假的(de)可(kě)預測性，則使用(yòng)它們作爲系數的(de)投資組合在窗(chuāng)口 2 内的(de)預期收益爲零；唯有當窗(chuāng)口 1 内發現的(de)可(kě)預測性是真實的(de)（即不是由 investor learning 造成的(de)虛假的(de)可(kě)預測性），通(tōng)過它們才能在窗(chuāng)口 2 内（樣本外）獲得(de)顯著大(dà)于零的(de)超額收益。

就我個(gè)人(rén)的(de)看法，Martin and Nagel (2019) 的(de)發現對(duì)學術界的(de)意義重大(dà)。在實證資産定價研究中，學術界通(tōng)常假設理(lǐ)性預期（即投資者不存在學習(xí)問題），因而無一例外都是事後通(tōng)過樣本内的(de)數據來(lái)檢驗某個(gè)異象或者因子的(de)超額收益是否顯著大(dà)于零。這(zhè)一慣例在過去 30 年内産生了(le)大(dà)量樣本内顯著的(de)異象，但是其中的(de)絕大(dà)多(duō)數在樣本外壓根不好使或者無法被複現（Hou, Xue, and Zhang (2020)）。而究其原因，除了(le) p-hacking 以及被套利走之外，Martin and Nagel (2019) 給出了(le)另一個(gè)解釋。

在大(dà)數據時(shí)代，我們有了(le)過去無可(kě)比拟的(de)數據量。然而，投資者面臨更加複雜(zá)的(de)高(gāo)維預測和(hé)估計問題。大(dà)數據如何影(yǐng)響投資者的(de)估計，如何影(yǐng)響均衡狀态下(xià)資産的(de)價格，如何影(yǐng)響市場(chǎng)的(de)有效性？這(zhè)些都是等待回答(dá)的(de)問題。毫無疑問，Martin and Nagel (2019) 是一個(gè)有益和(hé)大(dà)膽的(de)嘗試，而它提出的(de) investor learning 問題也(yě)足以引起人(rén)們的(de)重視。

所有曆史數據都是樣本内[3]。

備注：

[1] 但這(zhè)絲毫不影(yǐng)響這(zhè)是一個(gè)很好的(de)開端，我們也(yě)有理(lǐ)由期待今後拓展的(de)模型會有更深入的(de)發現。

[2] 如果 $J$ 很小，則 $J/tN$ 即使造成了(le)偏離也(yě)并不大(dà)，因此這(zhè)一項在 high-dimensional learning 中才格外重要。

[3] 見《所有曆史數據都是樣本内》。

參考文獻

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Harvey, C. R., Y. Liu, and H. Zhu (2016). … and the cross-section of expected returns. Review of Financial Studies 29(1), 5 – 68.

Hou, K., C. Xue, and L. Zhang (2020). Replicating anomalies. Review of Financial Studies 33(5), 2019 – 2133.

McLean, R. D. and J. Pontiff (2016). Does academic research destroy stock return predictability? Journal of Finance 71(1), 5 – 32.

Martin, I. and S. Nagel (2019). Market efficiency in the age of big data. Working paper, available at: https://ssrn.com/abstract=3511296.

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合格投資者聲明(míng)

False In-Sample Predictability ?