Anomalies, Factors, and Multi-Factor Models

作者：石川

摘要：本文解釋了(le)異象、因子以及多(duō)因子模型的(de)區(qū)别和(hé)聯系；梳理(lǐ)了(le)從異象到因子再到模型背後的(de)邏輯；介紹了(le)學術界研究多(duō)因子模型的(de)主流統計手段。

1 引言

在 empirical asset pricing 和(hé) factor investing 中，anomalies（異象）、factors（因子）以及 multi-factor models（多(duō)因子模型）是三個(gè)常見的(de)概念。從這(zhè)些概念出發又能很自然的(de)引發出一系列問題：

在過去幾十年裏，海外學術界對(duì)上述問題進行了(le)大(dà)量的(de)探索，留下(xià)了(le)很多(duō)寶貴的(de)實證結果和(hé)分(fēn)析手段。而對(duì)于像你、我一樣進行因子投資的(de)投資者來(lái)說，搞清楚這(zhè)些問題對(duì)于構建系統和(hé)全面的(de)因子投資分(fēn)析體系至關重要。本文試圖回答(dá)上述五個(gè)問題。

2 Anomalies

多(duō)因子模型是 empirical asset pricing 的(de)一種常見方法；其研究的(de)核心問題是找到一組能夠解釋股票(piào)預期收益率截面差異的(de)因子（見《股票(piào)多(duō)因子模型的(de)回歸檢驗》）。假使我們根據基本面特征或量價指标（或 whatever，下(xià)面統稱爲特征）挑選出一攬子股票(piào)并構建多(duō)空投資組合；如果該組合的(de)收益率無法被用(yòng)于 asset pricing 的(de)多(duō)因子模型解釋，則稱該特征爲一個(gè)異象（anomaly）。在數學上，這(zhè)意味著(zhe)該組合有模型無法解釋的(de) α 收益率：以使用(yòng)該特征構建的(de)多(duō)空組合收益率爲被解釋變量放在回歸方程的(de)左側，以多(duō)因子模型中因子收益率爲解釋變量放在回歸方程的(de)右邊，進行時(shí)序回歸，回歸的(de)截距項就是 α 收益率；如果 α 顯著不爲零，則說明(míng)該特征是一個(gè)異象。

舉個(gè)例子。《獲取 α 的(de)新思路：科技關聯度》一文介紹了(le) Lee et al. (2018) 這(zhè)篇文章(zhāng)；使用(yòng)科技關聯度選股的(de)多(duō)空對(duì)沖投資組合獲得(de)了(le)主流多(duō)因子模型無法解釋的(de) α 收益率（下(xià)圖），因此它是一個(gè)異象。

從有效市場(chǎng)假說的(de)觀點出發，市場(chǎng)中不應該存在很多(duō)異象。當然，有效市場(chǎng)假說并不完美(měi)，再加上學術界幾十年來(lái)的(de)“不懈努力”，針對(duì)美(měi)股挖掘出了(le) 400+ 個(gè)異象，這(zhè)些異象在樣本内的(de)統計檢驗中都獲得(de)了(le)很高(gāo)的(de) t-statistics。産生如此多(duō)的(de)異象主要有兩個(gè)原因：

談及對(duì)異象的(de)研究，不能不提的(de)一篇文章(zhāng)是 Hou, Xue and Zhang (2017)。這(zhè)篇長(cháng)達 146 頁的(de)文章(zhāng)驚人(rén)的(de)複現了(le)學術界提出的(de) 447 個(gè)異象，涵蓋動量（57個(gè)）、價值/成長(cháng)（68個(gè)）、投資（38個(gè)）、盈利（79個(gè)）、無形資産（103個(gè)）、以及交易摩擦（102個(gè)）六大(dà)類。下(xià)圖節選了(le)少量動量類異象說明(míng)，感受一下(xià)。

對(duì)于這(zhè) 447 個(gè)異象，當排除了(le)微小市值股票(piào)的(de)影(yǐng)響後，其中 286 個(gè)（64%）不再顯著（在 5% 的(de)顯著性水(shuǐ)平下(xià)，下(xià)同）；如果按照(zhào) Harvey, Liu and Zhu (2016) 的(de)建議(yì)把 t-statistic 阈值提升到 3.0，則其中 380 個(gè)（85%）異象不再顯著；最後，如果使用(yòng) Hou, Xue and Zhang (2015) 提出的(de) 4 因子模型作爲定價模型，那麽其中 436 個(gè)（98%）異象不再顯著，剩餘存活的(de)僅有 11 個(gè)。好一個(gè)數據挖掘！

除此之外，Linnainmaa and Roberts (2018) 花費了(le)很大(dà)的(de)經曆構建了(le)全新的(de)樣本外數據，研究了(le)美(měi)股中源于會計數據的(de) 36 個(gè)異象在樣本内、外的(de)表現的(de)差異。分(fēn)析表明(míng)，絕大(dà)部分(fēn)異象在樣本外明(míng)顯失效，它們的(de)失效說明(míng)這(zhè)些異象并非來(lái)自未知風險以及錯誤定價這(zhè)兩種解釋，而更有可(kě)能僅僅是數據挖掘的(de)産物(wù)。

3 Factors

上一節介紹了(le)異象，本節就來(lái)看看什(shén)麽是因子（factors）。一個(gè)異象是可(kě)能成爲一個(gè)優秀因子的(de)；然而由于異象之間的(de)相關性，并不是所有異象都是因子。一個(gè)因子應該能夠對(duì)解釋資産（可(kě)以是個(gè)股也(yě)可(kě)以是個(gè)股組成的(de)投資組合）預期收益率的(de)截面差異有顯著的(de)增量貢獻。如果異象滿足上述條件，它就可(kě)以被稱之爲一個(gè)因子。在這(zhè)個(gè)定義中，有兩個(gè)關鍵詞值得(de)解讀，它們是“解釋”和(hé)“增量貢獻”：

舉個(gè)例子。我們知道價值因子是一個(gè)靠譜的(de)選股因子。然而，很多(duō)指标 —— 比如 E/P 或 B/P 都可(kě)以用(yòng)來(lái)構建價值因子的(de) High-Minus-Low 組合。如果同時(shí)基于 E/P 和(hé) B/P 構建了(le) HML_EP 和(hé) HML_BP 兩個(gè)因子，它們之間的(de)相關性注定是非常高(gāo)的(de)。一旦選擇了(le)其中之一作爲價值因子，另一個(gè)對(duì)于資産預期收益率截面差異解釋能力的(de)增量貢獻就不再顯著、無法成爲因子。從資産定價的(de)理(lǐ)論角度來(lái)說，多(duō)因子模型中的(de)因子之間應盡可(kě)能獨立；但是從投資實踐來(lái)說，上面例子中的(de) E/P 和(hé) B/P 可(kě)以被同時(shí)使用(yòng)構建一個(gè) HML 價值因子，這(zhè)有助于降低波動且增加因子的(de)魯棒性。

在從一攬子異象中篩選因子時(shí)，常見的(de)做(zuò)法是将它們同時(shí)作爲回歸分(fēn)析中的(de)解釋變量，采用(yòng) Fama-MacBeth Regression（Fama and MacBeth 1973）來(lái)分(fēn)析這(zhè)些異象的(de)收益率是否顯著。在這(zhè)方面，Green, Hand and Zhang (2017) 是一個(gè)很好的(de)例子。Green, Hand and Zhang (2017) 使用(yòng) Fama-MacBeth Regression 同時(shí)檢驗 94 個(gè)異象，并考慮了(le) multiple testing 對(duì) t-statistic 以及 p-value 造成的(de)影(yǐng)響，最終發現僅有 12 個(gè)異象可(kě)能成爲潛在的(de)因子：1. 賬面市值比；2. 現金；3. 分(fēn)析師數量的(de)變化(huà)；4. 盈餘公告宣告收益；5. 一個(gè)月(yuè)的(de)動量；6. 六個(gè)月(yuè)動量的(de)變化(huà)；7. 盈利同比增長(cháng)的(de)季度數量；8. 年度研發支出占市值的(de)比重；9. 收益波動性；10. 股票(piào)換手率；11. 股票(piào)換手率的(de)波動性；12. 零交易的(de)天數。上述結果告訴我們：在修正 multiple testing 的(de)數據挖掘、以及考察了(le)不同異象的(de)相關性之後，真正能夠解釋資産預期收益率截面差異的(de)獨立因子少之又少。

4 Multi-Factor Models

現在我們已經了(le)解了(le)異象，并通(tōng)過回歸分(fēn)析從異象中找出了(le)因子，接下(xià)來(lái)就是挑選因子構建多(duō)因子模型了(le)。在構建多(duō)因子模型時(shí)，兩個(gè)必須要回答(dá)的(de)問題是：（1）選擇多(duō)少個(gè)因子合适？（2）選擇哪些因子更好？學術界對(duì)于第一個(gè)問題的(de)共識爲主流因子模型奠定了(le)基調；而第二個(gè)問題則涉及不同多(duō)因子模型之間的(de)比較。對(duì)于第一個(gè)問題，我們總可(kě)以僅使用(yòng)一個(gè)因子，比如 CAPM 模型僅使用(yòng)了(le)市場(chǎng)因子；又或者我們可(kě)以使用(yòng)許多(duō)因子。一個(gè)極端的(de)情況是把每個(gè)上市公司作爲一個(gè)因子，每個(gè)公司的(de)股票(piào)隻在自己公司的(de)因子上有暴露，在代表其他(tā)公司的(de)因子上零暴露。這(zhè)樣的(de)模型顯然能完美(měi)解釋股票(piào)預期收益率的(de)截面差異，但在現實中沒人(rén)會那麽用(yòng)。以樣本内過拟合爲代價，更多(duō)的(de)因子總能更好的(de)解釋收益率的(de)截面差異。

在學術界，“幾個(gè)因子合适”這(zhè)個(gè)問題所遵循的(de)準則是 The Law of Parsimony（簡約法則），它還(hái)有一個(gè)更爲人(rén)熟知的(de)名字 —— Occam’s razor（奧卡姆剃刀(dāo)）。如果從 ICAPM（Intertemporal CAPM）的(de)角度來(lái)理(lǐ)解多(duō)因子模型，每個(gè)因子代表某種 state variable；而 state variable 是投資者想要對(duì)沖的(de)某種風險。從這(zhè)個(gè)意義上說，因子的(de)個(gè)數應該是有限的(de)。依據簡約法則，學術界主流的(de)多(duō)因子模型包括以下(xià)幾個(gè)（按時(shí)間順序、排名不分(fēn)先後，不完整 list），它們的(de)因子個(gè)數均在 3 到 5 個(gè)之間：

如何比較不同的(de)多(duō)因子模型呢(ne)？學術界主要有以下(xià)三種方法：

GRS tests（Gibbons, Ross and Shanken 1989）檢驗 n 個(gè)資産在給定因子模型下(xià)的(de)定價錯誤（pricing error）—— 即 α —— 是否在統計上聯合爲零（jointly equal to zero）。在比較兩個(gè)多(duō)因子模型時(shí)，使用(yòng)兩個(gè)模型的(de)因子互爲資産和(hé)定價模型進行檢驗。舉個(gè)例子。《中國版的(de) Fama-French 三因子模型，了(le)解一下(xià)？》一文中比較了(le)兩個(gè)不同版本的(de)價值和(hé)市值因子的(de)效果。結果（下(xià)表）顯示，當使用(yòng) SMB 和(hé) VMG 爲因子模型時(shí)，FFSMB 和(hé) FFHML 的(de)定價錯誤可(kě)以認爲是零（p-value = 0.41）；反過來(lái)，當使用(yòng) FFSMB 和(hé) FFHML 爲定價模型時(shí)，SMB 和(hé) VMG 依然存在顯著不爲零的(de)定價錯誤（p-value 是 10 的(de) -13 次方這(zhè)個(gè)量級）。這(zhè)意味著(zhe) SMB 和(hé) VMG 優于 FFSMB 和(hé) FFHML。

Mean-Variance Spanning tests 考察 n 個(gè)已知資産構建的(de) mean-variance 有效前沿能否包含某個(gè)新資産（Huberman and Kandel 1987）。在比較兩個(gè)多(duō)因子模型時(shí)，使用(yòng)每個(gè)模型的(de)因子構建有效前沿，并逐一檢驗其能否包含另一個(gè)模型中的(de)因子。舉個(gè)例子。《美(měi)股上一個(gè)跨越時(shí)間尺度的(de)趨勢因子》介紹了(le)一個(gè)新的(de)趨勢因子。考慮新的(de)趨勢因子和(hé)三個(gè)已有因子（SREV、MOM 以及 LREV）的(de)回歸模型如下(xià)：

該檢驗的(de) null hypothesis 是：

檢驗結果顯著的(de)拒絕原假設，說明(míng)已有三因子無法解釋新的(de)趨勢因子。最後來(lái)看看 Bayesian approach。假設比較兩個(gè)多(duō)因子模型 M_1 和(hé) M_2；相關數據集用(yòng) D 表示。令 prob(M_1) 和(hé) prob(M_2) 爲這(zhè)兩個(gè)模型的(de)先驗概率，且有 prob(M_1) + prob(M_2) = 1（這(zhè)裏假設把多(duō)個(gè)模型兩兩比較）。根據貝葉斯定理(lǐ)有：

其中：

上式中，prob(θ_i) 是模型 i 參數的(de)先驗分(fēn)布，prob(D|θ_i) 是模型 i 的(de)似然函數。上述貝葉斯方法的(de)核心在于确定 prob(θ_i)。根據 Pastor and Stambaugh (2000) 以及 Barillas and Shanken (2018) 的(de)理(lǐ)論，它和(hé)以兩個(gè)模型中的(de)全部因子作爲資産所構成的(de)投資組合的(de)預期最大(dà)夏普率的(de)平方與市場(chǎng)夏普率的(de)比值有關。使用(yòng)貝葉斯方法，Stambaugh and Yuan (2016) 比較了(le)他(tā)們的(de)四因子模型（記爲 M-4）和(hé) Fama-French 五因子模型（記爲 FF-5）以及 Hou-Xue-Zhang 四因子模型（記爲 q-4）。下(xià)圖中，左圖是 M-4 和(hé) FF-5 模型的(de)比較；右圖是 M-4 和(hé) q-4 模型的(de)比較。圖中，橫坐(zuò)标均爲先驗，即兩模型中全部因子能達到的(de)最大(dà)預期夏普率平方和(hé)市場(chǎng)夏普率的(de)比值；縱坐(zuò)标爲不同模型的(de)後驗概率。

結果說明(míng)，當先驗這(zhè)個(gè)比值分(fēn)别大(dà)于 1.05 和(hé) 1.2 的(de)時(shí)候，M-4 因子模型就分(fēn)别強于 FF-5 和(hé) q-4 模型。顯然，使用(yòng)多(duō)個(gè)因子得(de)到的(de)最大(dà)夏普率很容易是市場(chǎng)夏普率的(de) 1.05 或 1.2 倍，意味著(zhe)數據更加傾向于支持 M-4 模型。需要特别強調的(de)是，無論采用(yòng)哪種方法，比較多(duō)因子模型的(de)目的(de)是爲了(le)得(de)到新的(de)啓發，而非一定要排個(gè)一二三四。這(zhè)些因子模型之間孰優孰劣并無定論，它們的(de)提出豐富了(le)我們對(duì)于 empirical asset pricing 的(de)理(lǐ)解并指導著(zhe)因子投資。

5 模型複雜(zá)度討(tǎo)論

在結束本文之前，再來(lái)簡單討(tǎo)論下(xià)構建因子模型時(shí)遵循的(de) The Law of Parsimony。在美(měi)國金融協會 2018 年的(de)年會上，Daniel, Hirshleifer and Sun (2018) 報告了(le)他(tā)們的(de)複合因子模型，并對(duì)模型複雜(zá)度和(hé)模型的(de)解釋效果做(zuò)了(le)探討(tǎo)，頗有新意。具體的(de)，他(tā)們提出了(le)兩個(gè) Parsimony Index，通(tōng)過懲罰因子和(hé)用(yòng)于構建因子的(de)指标個(gè)數來(lái)計算(suàn)模型複雜(zá)度。

按照(zhào)上述定義，本文第四節介紹的(de)主流因子模型的(de)兩個(gè) Parsimony Index 取值分(fēn)别爲：

使用(yòng)上述 7 個(gè)因子模型來(lái)檢驗 34 個(gè)異象，根據 5% 顯著性水(shuǐ)平下(xià)顯著的(de)異象的(de)個(gè)數以及所有異象的(de)平均 α 收益率的(de)絕對(duì)值分(fēn)别作爲模型解釋力度，最後将模型解釋力度和(hé)這(zhè)兩個(gè) Parsimony Index 分(fēn)别做(zuò)回歸以觀察解釋度和(hé)模型複雜(zá)度之間的(de)關系。結果如下(xià)。以 5% 顯著性水(shuǐ)平的(de)異象個(gè)數作爲解釋力度：

以全部異象平均 |α| 爲解釋力度：

随著(zhe)模型複雜(zá)度的(de)提升（表現爲 Parsimony Index 的(de)取值更小），模型的(de)解釋力度上升（體現爲 5% 顯著性下(xià)的(de)異象變少和(hé)異象平均 |α| 降低）。這(zhè)個(gè)結論符合預期，它也(yě)再次強調了(le)不同因子模型之間的(de)好壞并無定論 —— 我們總能通(tōng)過增加模型複雜(zá)度來(lái)提升模型（樣本内）的(de)解釋效果，因此需要在模型複雜(zá)度和(hé)樣本内的(de)解釋力度之間取舍。在 The Law of Parsimony 的(de)指導思想下(xià)，一個(gè)優秀的(de)因子模型通(tōng)常有較少的(de)因子或者基本面或量價特征；而作爲使用(yòng)者，我們應該盡量搞清楚每一個(gè)因子背後代表的(de)風險。

6 結語

這(zhè)篇文章(zhāng)沒有告訴你哪個(gè)異象能賺取 α。這(zhè)篇文章(zhāng)沒有告訴你哪個(gè)因子能賺取高(gāo)性價比的(de) β。這(zhè)篇文章(zhāng)也(yě)沒有告訴你哪家的(de)多(duō)因子模型更勝一籌。

OK, enough for “自我否定”。既然如此，爲什(shén)麽要寫這(zhè)篇文章(zhāng)呢(ne)？如今，學術論文和(hé)賣方報告中開發出新“因子”的(de)速度已遠(yuǎn)超我能理(lǐ)解、消化(huà)的(de)速度。以學術界的(de) 447 個(gè)異象爲例，如果每周寫一篇介紹一個(gè)，要寫 9 年。異象被當作“因子”來(lái)使用(yòng)，但它背後往往沒有合理(lǐ)的(de)金融學解釋（即無法代表合理(lǐ)的(de)系統性風險），或者沒有用(yòng)已有因子對(duì)其分(fēn)析從而評判它對(duì)解釋股票(piào)預期收益率截面差異的(de)增量貢獻，僅僅是數據挖掘的(de)産物(wù)。它們中大(dà)多(duō)數根本不是因子，甚至連異象都談不上。出于這(zhè)個(gè)原因，我希望能介紹一些方法，幫助因子投資的(de)踐行者去僞存真。這(zhè)就是寫作本文的(de)初衷。

這(zhè)篇文章(zhāng)回答(dá)了(le)開篇提出的(de)五個(gè)問題；解釋了(le)異象、因子以及多(duō)因子模型的(de)區(qū)别和(hé)聯系；梳理(lǐ)了(le)從異象到因子再到模型，一步步使用(yòng)多(duō)因子模型背後的(de)邏輯；介紹了(le)學術界在研究多(duō)因子時(shí)使用(yòng)的(de)主流統計手段。希望它能夠作爲一個(gè)完善的(de)工具箱，爲你的(de)多(duō)因子研究和(hé)投資添一分(fēn)助力。

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