簡單多(duō)樣化(huà)，資産配置的(de)優秀基準

作者：石川

摘要：簡單多(duō)樣化(huà)是一個(gè)客觀的(de)比較基準；任何複雜(zá)的(de)資産配置方法都需要至少要在統計上顯著戰勝簡單多(duō)樣化(huà)才能被稱之爲有效。

1 引言

資産配置（Asset Allocation） 在量化(huà)投資中無處不在。投資者需要把資金配置在不同的(de)資産中，比如股票(piào)、債券、商品期貨等；多(duō)因子選股策略需要決定使用(yòng)哪些因子以及資金在這(zhè)些因子中的(de)配置比例（每一個(gè)因子就是一個(gè)投資組合）；Fund of Fund（FOF）需要調研大(dà)量的(de)基金從而在相關性低的(de)基金之間進行配置。

科學的(de)資産配置對(duì)于投資的(de)成功至關重要。

然而由于每種資産的(de)收益存在不确定性（風險），且不同資産之間的(de)相關性也(yě)不同，因此在幾十年前人(rén)們并不知道應該怎麽“科學”配置，直到馬科維茨的(de) Modern Portfolio Theory （MPT）橫空出世（Markowitz 1952）。MPT 使用(yòng) mean-variance optimization 确定最佳的(de)配置權重，在數學上十分(fēn)優雅。然而在實戰中，MPT 卻因在樣本外的(de)表現很差而聲名狼藉。這(zhè)是因爲優化(huà)結果對(duì)于輸入異常敏感，而僅使用(yòng)曆史樣本數據進行均值和(hé)協方差進行估計的(de)估計誤差（estimation error）非常大(dà)。如何減少 estimation error 就成了(le)學術界關注的(de)重點。改進僅使用(yòng)樣本曆史數據的(de) mean-variance optimization 的(de)努力主要有以下(xià)幾個(gè)方向：

這(zhè)些對(duì) MPT 的(de)改進方法在學術期刊的(de)論文中至少都獲得(de)了(le)很好的(de)效果，但是它們在實戰中又如何呢(ne)？爲了(le)客觀的(de)評價它們的(de)效果，需要選擇一個(gè)合适的(de)基準。這(zhè)個(gè)基準就是 —— 簡單多(duō)樣化(huà)（naïve diversification）。

簡單多(duō)樣化(huà)又稱爲 1/N 法，即我們把資金平均的(de)分(fēn)配到 N 個(gè)待配置的(de)資産中（配合适當的(de)再平衡）。簡單多(duō)樣化(huà)背後的(de)含義是：不預測不同投資組合或者投資策略未來(lái)表現的(de)相對(duì)強弱，以期實現樣本外最大(dà)的(de)随機性、到達“最大(dà)熵”的(de)狀态，使得(de)配置結果在樣本外的(de)适應性更強。毫無疑問，簡單多(duō)樣化(huà)是一個(gè)客觀的(de)基準。任一個(gè)複雜(zá)的(de)資産配置算(suàn)法如果要宣稱有效，至少都要在樣本外、從統計上顯著的(de)戰勝簡單多(duō)樣化(huà)的(de)配置結果。這(zhè)裏，戰勝意味著(zhe)考慮了(le)更高(gāo)換手率造成的(de)交易成本後仍能夠帶來(lái)更高(gāo)的(de)風險收益比，如夏普率。

長(cháng)期以來(lái)關注公衆号的(de)小夥伴可(kě)能會有印象：我其實非常喜歡簡單多(duō)樣化(huà)。這(zhè)一點在《多(duō)個(gè)因子配置實證》、《你用(yòng)因子、他(tā)也(yě)用(yòng)因子；你沒賺錢、他(tā)卻賺錢了(le)》均有體現。當然，這(zhè)種觀點的(de)主觀情緒太濃厚，咱們還(hái)要用(yòng)數據說話(huà)。在金融領域頂刊 Review of Financial Studies 于 2009 年發表的(de)一篇文章(zhāng)中，DeMiguel et al. (2009) 使用(yòng)了(le) 7 個(gè)股票(piào)數據集（大(dà)部分(fēn)都是來(lái)自美(měi)股）比較了(le)簡單多(duō)樣化(huà)和(hé) 14 種基于 MPT 的(de)資産配置方法。孰優孰劣了(le)？一起來(lái)看看。

2 資産配置方法與數據集

假設 μ 和(hé) Σ 分(fēn)别代表 N 個(gè)資産的(de)收益率均值向量和(hé)協方差矩陣、γ 表示投資者的(de)風險厭惡系數，則 mean-variance optimization 求解如下(xià)最優化(huà)問題得(de)到最優配置 ω：

如果考慮所有資産的(de)權重之和(hé)加起來(lái)等于 1 這(zhè)個(gè)約束條件，則上述問題的(de)最優解爲：

其中 1_N = [1, 1, …, 1]^T。值得(de)一提的(de)是，MPT 是單期資産配置算(suàn)法，它假設投資者僅對(duì)下(xià)一期的(de)最優資産配置感興趣。接下(xià)來(lái)，本文介紹一些有代表性的(de)改進資産配置方法（更多(duō)的(de)可(kě)見 DeMiguel et al. 2009）。對(duì)它們的(de)描述、分(fēn)類以及參考文獻如下(xià)表所示。

模型 0 和(hé)模型 1 無需多(duō)言，對(duì)其他(tā)模型的(de)簡單說明(míng)如下(xià)：

第 7、8、9 種方法分(fēn)别爲第 1、2、4 種方法加上了(le) shortsale 約束，即要求配置權重非負。Jagannathan and Ma (2003) 指出，對(duì) minimum-variance 加上 shortsale 權重相當于收縮協方差矩陣。因此方法 9 也(yě)代表了(le)一大(dà)類收縮協方差矩陣的(de)配置方法，例如 Ledoit and Wolf (2004)。下(xià)面再來(lái)看看用(yòng)到的(de)數據集。在考察的(de) 7 個(gè)股票(piào)數據集中，除了(le)第 3 個(gè)之外均來(lái)自美(měi)股。下(xià)表對(duì)它們進行了(le)總結。

表中唯一可(kě)能造成困惑的(de)地方是，它使用(yòng) x + y 的(de)形式表示了(le)資産個(gè)數 N。例如，第一個(gè)數據集的(de) N = 10 + 1 = 11。這(zhè)麽做(zuò)的(de)原因是 Bayesian Data-and-Model 這(zhè)個(gè)模型需要使用(yòng)給定的(de)因子模型（資産定價模型）作爲先驗。因此上述表達式中加号後面的(de)數字代表了(le)因子的(de)個(gè)數。特别需要說明(míng)的(de)是，這(zhè)些因子投資組合除了(le)在 Bayesian Data-and-Model 模型中計算(suàn)先驗外；在所有實驗中，它們也(yě)都作爲獨立的(de)資産參與配置。舉例來(lái)說，在第一個(gè)數據集中，參與配置的(de)不僅僅是 10 個(gè) S&P 500 sectors 投資組合，而且也(yě)包括了(le) US equity market portfolio 這(zhè)個(gè)作爲因子的(de)組合，因此一共有 11 個(gè)資産參與資産配置。這(zhè) 7 個(gè)數據集中用(yòng)于計算(suàn)先驗的(de)因子分(fēn)别爲：

3 評價指标

除了(le)簡單多(duō)樣化(huà)外，上述所有這(zhè)些配置算(suàn)法（包括 sample-based mv 和(hé)其他(tā) 8 個(gè)改進方法）都需要使用(yòng)曆史數據來(lái)計算(suàn)參數。在實證中，DeMiguel et al. (2009) 采用(yòng)月(yuè)頻(pín)數據并使用(yòng)長(cháng)度爲 120 個(gè)月(yuè)的(de)滾動窗(chuāng)口進行參數估計，按月(yuè)調倉以評價不同配置方法在樣本内的(de)表現。評價指标包括以下(xià)三個(gè)：

下(xià)一節就來(lái)看看實證結果。

4 實證結果

下(xià)表顯示了(le)不同資産配置策略在不同數據集上的(de)夏普率。從第二列開始，每一列代表了(le)一個(gè)數據集（由于數據集 6 和(hé)數據集 5 的(de)效果很接近，因此被省略了(le)）；每一行是一個(gè)策略，由策略名的(de)縮寫表示。其中 mv (in sample) 代表了(le)在整段數據上開天眼計算(suàn)均值和(hé)協方差矩陣後使用(yòng) mean-variance optimization的(de) 表現，因此它是樣本内的(de)表現，相當于所有樣本外表現的(de)上限。其他(tā)所有非括号内的(de)數字都是不同策略的(de)樣本外夏普率。括号中的(de)數字表示樣本外，給定策略和(hé)簡單多(duō)樣化(huà)策略夏普率差值的(de) p-value。

以第一個(gè)數據集 S&P sectors 爲例，簡單多(duō)樣化(huà)即 1/N 策略的(de)樣本外夏普率是 0.1876，而 mv 樣本内的(de)夏普率高(gāo)達 0.3848，其樣本外的(de)夏普率僅有 0.0794。0.0794 下(xià)方括号内的(de)數字表示 mv 和(hé) 1/N 這(zhè)兩個(gè)策略樣本外夏普率差值的(de) p-value —— 0.12。觀察表中數據不難發現如下(xià)結論：

下(xià)表是以 CEQ 爲評價指标的(de)結果。它傳遞出的(de)信息和(hé)夏普率一緻，且結果更加偏向于簡單多(duō)樣化(huà)策略 —— 如果考慮 CEQ 的(de)話(huà)，這(zhè)些策略更難以戰勝簡單多(duō)樣化(huà)。

最後是換手率。下(xià)表中，1/N 那一行的(de)結果是絕對(duì)的(de)換手率，其他(tā)策略的(de)結果是相對(duì)于 1/N 策略的(de)相對(duì)換手率。首先，我們被僅僅基于樣本數據的(de) mv 策略的(de)相對(duì)換手率震驚了(le)。由于 mean-variance optimization 對(duì)輸入數據異常敏感，它經常求解出令人(rén)難以理(lǐ)解的(de)“最優權重”。由于馬科維茨的(de)資産配置是單期配置，因此不同期之間的(de)最優權重可(kě)能完全不同，這(zhè)導緻了(le)非常不切實際的(de)巨大(dà)的(de)換手率。

其他(tā)幾種方法有效的(de)降低了(le)換手率，特别是最後三種加上做(zuò)空限制的(de)方法。它們直接把優化(huà)問題變成約束優化(huà)，從根兒(ér)上限制了(le)求解空間，使得(de)最優權重更加合理(lǐ)、不同期之間的(de)最優權重相對(duì)連續，有效的(de)降低了(le)換手率。即便如此，除了(le) vm 這(zhè)種方法是 buy-and-hold 因此換手率爲零外，其他(tā)配置策略的(de)換手率均高(gāo)于簡單多(duō)樣化(huà)。從夏普率以及 CEQ 的(de)分(fēn)析可(kě)知，複雜(zá)配置策略并不能持續的(de)戰勝簡單多(duō)樣化(huà)；考慮到由此造成的(de)潛在更高(gāo)的(de)交易成本，它們和(hé)簡單多(duō)樣化(huà)比起來(lái)就更難言有優勢了(le)。

實證結果有些令人(rén)失望，因爲這(zhè)些複雜(zá)配置方法都不能顯著戰勝簡單多(duō)樣化(huà)。爲了(le)研究資産個(gè)數 N、參數估計窗(chuāng)口長(cháng)度 M 對(duì) mean-variance 和(hé) 1/N 方法的(de)影(yǐng)響，DeMiguel et al. (2009) 根據 Kan and Zhou (2007) 的(de)思路進行了(le)理(lǐ)論分(fēn)析。爲此，他(tā)們定義了(le) expected loss 函數：

其中 S^2(x*) 是未知最優權重 x* 實現的(de)最優夏普率的(de)平方（也(yě)是未知的(de)），而 S^2(\hat x) 是在給定權重下(xià)夏普率的(de)平方。最優夏普率平方和(hé)實現的(de)夏普率平方的(de)期望之間差别就是 expected loss。DeMiguel et al. (2009) 指出 mean-variance 要想戰勝簡單多(duō)樣化(huà)的(de)前提條件是 M 足夠大(dà)，以及 N 足夠小。這(zhè)意味著(zhe)，當參數估計的(de)窗(chuāng)口很大(dà)（從 DeMiguel et al. 2009 的(de)結果來(lái)看，M 非常大(dà)，長(cháng)過很多(duō)實際中資産的(de)曆史數據）以及待配置的(de)資産數量較少時(shí)，基于 mean-variance 的(de)配置方法才有希望戰勝簡單多(duō)樣化(huà)。DeMiguel et al. (2009) 通(tōng)過蒙特卡洛仿真模拟收益率數據驗證了(le)上述觀點（下(xià)表）。

5 結語

又到了(le)總結的(de)時(shí)間了(le)。有必要強調的(de)是，本文和(hé) DeMiguel et al. (2009) 都沒有主張一定要用(yòng)簡單多(duō)樣化(huà)進行資産配置。如果對(duì)未來(lái)的(de)判斷很準确，那麽以此爲先驗是可(kě)以戰勝簡單多(duō)樣化(huà)的(de)，比如大(dà)名鼎鼎的(de) Black-Litterman 方法。另外，風險平價也(yě)是一種資産配置方法，它也(yě)是以準确的(de)主觀判斷爲前提的(de)（因爲需要構建夏普率相當、且相關性很低的(de)不同大(dà)類資産，見《你真的(de)搞懂(dǒng)了(le)風險平價嗎？》）。但是，對(duì)未來(lái)準确判斷談何容易？大(dà)部分(fēn)投資者擅長(cháng)的(de)僅僅是使用(yòng)曆史數據外推而已。

DeMiguel et al. (2009) 傳遞出來(lái)的(de)兩個(gè)清晰的(de)觀點是：

在投資中，資産配置是最核心的(de)問題（沒有之一，相信很多(duō)人(rén)會認同）。這(zhè)個(gè)問題值得(de)我們持續的(de)探索。

參考文獻

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