殘差動量 —— 有理(lǐ)有據還(hái)是數據挖掘？

作者：BetaPlus 小組（石川，劉洋溢，刀(dāo)疤連）

摘要：與傳統動量不同，殘差動量在 A 股效果顯著。但這(zhè)背後是有理(lǐ)有據還(hái)是數據挖掘？

1 引言

動量，更确切地說是 Jegadeesh and Titman (1993) 提出的(de)截面相對(duì)強弱，一直以來(lái)是美(měi)股生命力最旺盛的(de)異象之一。無論是 Fama and French (1993) 三因子模型還(hái)是 Fama and French (2015) 五因子模型均無法解釋動量策略（Blitz et al. 2018），因此 Eugene Fama 也(yě)不得(de)不承認它是最顯著的(de)異象。

在美(měi)股上，動量策略雖然長(cháng)期來(lái)看很不錯，但這(zhè)種做(zuò)多(duō)前期 Winner 做(zuò)空前期 Loser 的(de)對(duì)沖組合卻時(shí)不時(shí)會來(lái)個(gè) crash，俗稱動量崩潰（momentum crash），即動量策略會遭遇不多(duō)但持續時(shí)間長(cháng)、幅度大(dà)的(de)下(xià)跌。學術界的(de)研究認爲這(zhè)和(hé)該組合的(de)動态風險敞口有關。Geczy and Samonov (2013) 基于超長(cháng)的(de)美(měi)國股市數據指出，動量效應對(duì)于市場(chǎng)組合有著(zhe)動态的(de)暴露，具體敞口則取決于市場(chǎng)狀态。當市場(chǎng)從一種狀态轉換到另一種狀态的(de)初期，動量組合對(duì)于最新市場(chǎng)狀态有著(zhe)負的(de)暴露，從而導緻市場(chǎng)轉換期的(de)大(dà)幅損失。Daniel and Moskowitz (2016) 發現動量崩潰與該策略的(de)尾部風險有關。崩潰往往發生在市場(chǎng)恐慌時(shí)，此時(shí)資産價格大(dà)跌而波動率大(dà)幅上升，這(zhè)與 Geczy and Samonov (2013) 的(de)發現一緻。

爲了(le)改善動量策略的(de)極端表現，2011 年來(lái)自 Robeco 的(de) David Blitz 領銜發表了(le) Blitz, Huij, and Martens (2011) 一文，提出了(le)殘差動量（residual momentum）策略。該策略使用(yòng)股票(piào)相對(duì)于 Fama and French (1993) 三因子模型的(de)殘差收益率，經殘差波動率調整後計算(suàn)了(le)殘差動量（因此也(yě)被稱爲異質動量，idiosyncratic momentum）。Blitz, Huij, and Martens (2011) 的(de)實證結果顯示，該策略比傳統動量策略能夠獲得(de)更高(gāo)的(de)風險收益比。除此之外，Hanauer and Windmueller (2019) 指出殘差動量在傳動動量 crash 的(de)時(shí)期表現更好，能夠極大(dà)降低虧損。

盡管動量策略在美(měi)股呼風喚雨(yǔ)，但是它到了(le) A 股中似乎畫(huà)風一變、難有作爲。那麽，殘差動量又如何呢(ne)？Lin (2019) 一文使用(yòng) Blitz, Huij, and Martens (2011) 的(de)思路在 A 股上實證了(le)殘差動量策略，得(de)出了(le)驚人(rén)的(de)效果（下(xià)圖）。

怎麽樣？多(duō)、空對(duì)沖得(de)到的(de)殘差動量（紅線）累積收益率穩健上行（Panel A），滾動三年窗(chuāng)口的(de)夏普率（Panel B）在整個(gè)實證窗(chuāng)口内均爲正，且在很高(gāo)的(de)比例下(xià)在 1.0 以上，這(zhè)種表現讓多(duō)少風格因子汗顔？

坦白說，我們第一眼看到這(zhè)個(gè)結果是不信的(de)。再加上 Finance Research Letters 這(zhè)個(gè)期刊的(de)口碑也(yě)不是太過硬，更令人(rén)增加了(le)幾分(fēn)懷疑。殘差動量的(de)計算(suàn)方法是否合理(lǐ)，即其背後到底代表了(le)什(shén)麽原因？A 股市場(chǎng)上的(de)殘差動量是否真的(de)有如此驚人(rén)的(de)表現？帶著(zhe)這(zhè)些問題，本期 BetaPlus 小組就來(lái)對(duì)殘差動量進行深度實證。

先來(lái)看看 Blitz, Huij, and Martens (2011) 提出的(de)殘差動量計算(suàn)方法。

2 有理(lǐ)有據？

Blitz, Huij, and Martens (2011) 使用(yòng) Fama and French (1993) 三因子模型爲基準，使用(yòng)股票(piào)月(yuè)頻(pín)超額收益和(hé)三因子月(yuè)頻(pín)收益率數據構建時(shí)序回歸模型：

上式中，r_{i, t} 爲股票(piào) i 在第 t 月(yuè)相對(duì)無風險利率的(de)超額收益，α_i 表示三因子模型無法解釋的(de) abnormal return，ε_{i, t} 表示殘差。在每個(gè) T 月(yuè)初，Blitz, Huij, and Martens (2011) 構建殘差動量的(de)方法包括以下(xià)幾步：

有意思的(de)是，Blitz, Huij, and Martens (2011) 一文僅是使用(yòng)文字描述了(le)殘差動量的(de)計算(suàn)方法，但并沒有給出任何一目了(le)然的(de)公式。不過最近的(de) Blitz, Hanauer, and Vidojevic (2018) 一文給出了(le)明(míng)确的(de)公式：

值得(de)一提的(de)是，該公式的(de)分(fēn)母中，根号内的(de)部分(fēn)較常見的(de)方差公式差 1/11 這(zhè)個(gè)系數。但由于它不改變殘差動量排名的(de)單調性，因此上式等價于殘差總收益被殘差波動率進行标準化(huà)。BetaPlus 小組就計算(suàn)殘差動量的(de)三個(gè)步驟有以下(xià)四點疑問。

首先，在時(shí)序回歸時(shí)，Blitz, Huij, and Martens (2011) 考慮了(le)截距項 α_i，但是并沒有把它作爲異質動量的(de)一部分(fēn)。如果僅從“殘差”動量這(zhè)個(gè)名字來(lái)看，似乎使用(yòng)回歸方程的(de)殘差計算(suàn)無可(kě)厚非；但如果抛開新的(de)動量因子叫什(shén)麽，α_i 毫無疑問屬于收益率中無法被三因子模型解釋的(de)部分(fēn)。Blitz, Huij, and Martens (2011) 給出的(de)理(lǐ)由是，α_i 的(de)作用(yòng)是控制模型設定偏誤，這(zhè)個(gè)解釋似乎是合理(lǐ)的(de)。

其次，在 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的(de)方法中，用(yòng)來(lái)計算(suàn)每個(gè) T 時(shí)刻殘差動量的(de)殘差來(lái)自同一個(gè)時(shí)序回歸：使用(yòng) 36 期月(yuè)頻(pín)收益率回歸，但隻選擇了(le) T – 12 到 T – 2 這(zhè) 11 個(gè)點計算(suàn)非标準化(huà)之前的(de)殘差動量。從 OLS 回歸隐含的(de)假設來(lái)說，殘差時(shí)間序列應該滿足平穩性，且由于回歸中考慮了(le)截距項，因此這(zhè) 36 個(gè)殘差項的(de)均值嚴格等于零。因此，從數學上說這(zhè) 36 個(gè)殘差項是一個(gè)均值爲零的(de)平穩序列，而 T – 12 到 T – 2 中間的(de) 11 個(gè)點僅僅是這(zhè)個(gè)平穩序列中的(de)一部分(fēn)。無論這(zhè)部分(fēn)的(de)均值是否大(dà)于零，它的(de)大(dà)小爲什(shén)麽會和(hé)該股票(piào)未來(lái)收益率正相關，而非僅僅是個(gè)随機擾動呢(ne)（它們僅是一個(gè)均值爲零的(de)平穩序列中的(de)一部分(fēn)）？此外，爲什(shén)麽不同股票(piào)中，不同平穩殘差序列在同一段時(shí)期的(de)殘差和(hé)大(dà)小能夠預示它們未來(lái)預期收益率的(de)差異呢(ne)？Blitz, Huij, and Martens (2011) 一文對(duì)這(zhè)些問題并未給出太多(duō)的(de)討(tǎo)論。

從上面的(de)說明(míng)中可(kě)以引出第三點疑問。如前所述，Blitz, Huij, and Martens (2011) 在每個(gè)月(yuè)初 T 使用(yòng)最近 36 個(gè)月(yuè)進行一次回歸得(de)到 36 個(gè)殘差，并使用(yòng)其中的(de) 11 個(gè)計算(suàn)殘差動量，因此這(zhè) 11 個(gè)殘差來(lái)自同一個(gè)回歸（如下(xià)圖）。

與上述方法相對(duì)應的(de)，可(kě)以考慮計算(suàn)殘差動量的(de)殘差來(lái)自 11 個(gè)不同的(de)回歸。比如，對(duì)于 T 期，使用(yòng) T – 37 到 T – 2 這(zhè) 36 個(gè)月(yuè)的(de)數據回歸，并僅記錄 T – 2 的(de)殘差，記爲 ε_{i, T-2}^(1)，上标 (1) 代表第 1 次回歸；然後使用(yòng) T – 38 到 T – 3 這(zhè) 36 個(gè)月(yuè)的(de)數據回歸，并僅記錄 T – 3 的(de)殘差 ε_{i, T-3}^(2)；以此類推，最終使用(yòng) T – 47 到 T – 12 這(zhè) 36 個(gè)月(yuè)的(de)數據回歸，并僅記錄 T – 12 的(de)殘差 ε_{i, T-12}^(11)。使用(yòng)上述來(lái)自 11 個(gè)回歸的(de)殘差計算(suàn)殘差收益率。

雖然第二種方法聽(tīng)上去有些怪怪的(de)，也(yě)不如 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的(de)方法易于理(lǐ)解，但學術界對(duì)它也(yě)有一定的(de)研究。比如 Gutierrez and Prinsky (2007) 就使用(yòng)這(zhè)種方法研究了(le)異質動量。因此，單一回歸和(hé)多(duō)個(gè)回歸計算(suàn)殘差動量有什(shén)麽區(qū)别就是我們的(de)第三個(gè)疑問。本文的(de)實證中将會考慮這(zhè)兩種方法。

最後一點疑問是在計算(suàn)殘差動量時(shí)，是否有必要使用(yòng)殘差标準差作爲分(fēn)母，對(duì)殘差動量進行标準化(huà)。對(duì)于這(zhè)個(gè)操作，Blitz, Huij, and Martens (2011) 引用(yòng) Gutierrez and Prinsky (2007) 的(de)研究指出上述标準化(huà)可(kě)以降低殘差的(de)噪聲，得(de)到更加純淨的(de)異質動量，提高(gāo)殘差動量的(de)效果。Blitz, Hanauer, and Vidojevic (2018) 的(de)後續研究強調說無論是否标準化(huà)，殘差動量本身都可(kě)以獲得(de)顯著的(de)超額收益率。

關于這(zhè)一點，BetaPlus 小組關注的(de)重點是這(zhè)波操作在 A 股上是否會“誇大(dà)”殘差動量的(de)效果。上述标準化(huà)将殘差标準差作爲分(fēn)母，這(zhè)意味著(zhe)當分(fēn)子上的(de)殘差動量相同的(de)情況下(xià)，标準化(huà)可(kě)以起到高(gāo)配低異質波動、低配高(gāo)異質波動的(de)情況。BetaPlus 小組之前的(de)研究《異質波動率之謎》指出，低異質波動率現象确實存在于 A 股市場(chǎng)，說明(míng)如此标準化(huà)肯定有助于加強殘差動量。因此，如果按照(zhào) Blitz, Huij, and Martens (2011) 的(de)方法計算(suàn)的(de)殘差動量在 A 股上有效，那麽它到底因爲分(fēn)子的(de)部分(fēn)、分(fēn)母的(de)部分(fēn)、還(hái)是兩部分(fēn)均有貢獻？這(zhè)就成爲必須回答(dá)的(de)問題。在接下(xià)來(lái)的(de)實證中也(yě)将會把這(zhè)兩部分(fēn)拆開來(lái)看。

3 實證

本節和(hé)下(xià)一節針對(duì) A 股進行實證分(fēn)析。本節的(de)重點是比較單一回歸（Blitz, Huij, and Martens 2011 的(de)方法）和(hé)多(duō)次回歸計算(suàn)殘差動量這(zhè)兩種方法。下(xià)一節将會把殘差波動率的(de)影(yǐng)響剝離開分(fēn)析。在以下(xià)的(de)分(fēn)析中，實證期爲 1999 年 1 月(yuè) 1 日至 2019 年 9 月(yuè) 30 日；在每月(yuè)末構建投資組合的(de)時(shí)候剔除掉次新股、停牌股、風險警示股、一字漲跌停股；同時(shí)考慮等權和(hé)市值加權兩種情況。在計算(suàn)殘差收益率時(shí)，采用(yòng) BetaPlus 小組維護的(de)以月(yuè)頻(pín)進行再平衡靈活版 Fama and French (1993) 三因子模型。首先來(lái)看按照(zhào) Blitz, Huij, and Martens (2011) 的(de)方法計算(suàn)殘差動量的(de)結果；結果以 portfolio test result 的(de)方式呈現。下(xià)圖 1 — 3 顯示了(le)這(zhè) 10 組（第 0 組爲殘差動量最低；第 9 組爲殘差動量最高(gāo)組）以及殘差動量因子（即第 9 組減去第 0 組）的(de)累積收益率和(hé)風險收益特征，其中 Panel A 爲等權、Panel B 爲市值加權。

上述結果顯示，無論是等權還(hái)是市值加權，在 A 股上均可(kě)以觀察到顯著的(de)殘差動量效應（雖然本文的(de)實證結果并沒有 Lin 2019 中的(de)驚豔，該文僅考慮了(le)等權的(de)情況）。在等權下(xià)，殘差動量因子的(de)夏普率高(gāo)達 0.78，其最大(dà)回撤爲 -25.35%，有效抵禦了(le) momentum crash 風險。當采用(yòng)市值加權時(shí)，殘差動量效果有所減弱，但依然顯著。這(zhè)樣的(de)結果和(hé)傳統截面動量因子在 A 股上的(de)效果截然不同。當然，面對(duì)這(zhè)樣的(de)結果，我們仍然不知道到底是作爲分(fēn)母的(de)殘差波動率貢獻了(le)多(duō)少，該問題将在第四節研究。下(xià)面再來(lái)看看第二種方法，即采用(yòng) 11 個(gè)回歸計算(suàn)殘差收益率、再計算(suàn)殘差動量的(de)結果。下(xià)圖 4 — 6 顯示了(le)相應的(de) portfolio sort test 結果。

當采用(yòng) 11 個(gè)不同的(de)回歸時(shí)，殘差動量的(de)效果較前一種方法變差。無論是等權還(hái)是市值加權，殘差動量因子在 2007 到 2009 年間都經曆了(le)長(cháng)時(shí)間且大(dà)幅度的(de)回撤。除此之外，這(zhè)十個(gè) portfolios 的(de)單調性也(yě)變差。我們對(duì)此的(de)猜想是，使用(yòng) 11 個(gè)不同的(de)回歸計算(suàn)殘差收益率這(zhè)種方法額外引入了(le)不必要的(de)不對(duì)稱性，即不同時(shí)期的(de)殘差來(lái)自不同的(de)分(fēn)布。由于殘差動量的(de)計算(suàn)高(gāo)度依賴參數估計的(de)準确性，長(cháng)期來(lái)看這(zhè)種方法的(de)不穩定性更高(gāo)。

需要強調的(de)是，雖然第二種方法不如 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的(de)方法，但這(zhè)種結果上的(de)差異仍然沒有回答(dá)上一節關于殘差動量計算(suàn)方法的(de)兩個(gè)問題：（1）爲什(shén)麽均值爲零的(de)平穩序列中的(de)一部分(fēn)和(hé)未來(lái)收益率正相關；（2）爲什(shén)麽這(zhè)部分(fēn)殘差能夠解釋預期收益率的(de)截面差異。

4 進一步實證

第三節的(de)實證結果顯示經标準化(huà)後的(de)殘差動量在 A 股是有效的(de)。本小節的(de)實證就來(lái)回答(dá)第二個(gè)問題：殘差波動率在這(zhè)方面是否起到了(le)顯著的(de)作用(yòng)？爲了(le)控制殘差波動率（即作爲分(fēn)母的(de)殘差标準差）的(de)影(yǐng)響，本文采用(yòng) double dependent sort 進行分(fēn)析。首先按照(zhào)殘差波動率（記爲 ivol）從低到高(gāo)把所有股票(piào)分(fēn)成五組，然後再把每組内的(de)股票(piào)按照(zhào)原始殘差動量（記爲 imom）高(gāo)低分(fēn)成五組。這(zhè)樣一共得(de)到 25 個(gè)投資組合，以考察每個(gè) ivol 組内原始殘差動量是否能夠解釋股票(piào)的(de)預期收益率差異。圖 7、8 分(fēn)别顯示了(le)等權和(hé)市值加權下(xià)，這(zhè) 25 個(gè)投資組合的(de)年化(huà)收益率。

從圖 7、8 的(de)結果中可(kě)以觀察到以下(xià)幾點：

經過以上的(de)分(fēn)析，我們可(kě)以說基于 Blitz, Huij, and Martens (2011) 定義的(de)殘差動量在 A 股有效，并非依靠了(le)低異質波動率的(de)原因，作爲分(fēn)子的(de)原始殘差動量在沒有被标準化(huà)的(de)情況下(xià)依然能獲得(de)顯著的(de)超額收益。事實上，作爲 robustness check，我們也(yě)僅使用(yòng)原始殘差動量（即未經殘差波動率标準化(huà)）構建了(le)殘差動量因子，實證結果顯示它在 A 股上的(de)效果甚至超過了(le)經标準化(huà)的(de)版本（等權時(shí)，未經标準化(huà)的(de)殘差動量因子夏普率爲 .82，高(gāo)于經标準化(huà)後的(de) .78；市值加權時(shí)，前者的(de)夏普率爲 .59，高(gāo)于後者的(de) .58）。這(zhè)樣的(de)結果似乎足以令人(rén)興奮了(le)。但是，我們還(hái)想抛出一個(gè)問号，并以此總結全文。

5 結語：問題比發現更多(duō)

毫無疑問，殘差動量 —— 無論其背後的(de)“故事”是什(shén)麽 —— 其有效的(de)必要條件是有一個(gè)靠譜的(de)定價模型。雖然美(měi)股上已經有很多(duō)主流的(de)多(duō)因子模型，但是針對(duì) A 股卻并沒有廣泛被認可(kě)的(de)定價模型。這(zhè)讓任何研究殘差收益率的(de)實證結果都面臨挑戰。在計算(suàn)殘差動量的(de)時(shí)候，Blitz, Huij, and Martens (2011) 以控制模型設定偏誤爲由舍去了(le)回歸中的(de) α_i。面對(duì)這(zhè)種處理(lǐ)，我們仍然很好奇，如果帶上 α_i 又會怎樣？從 A 股上的(de)實證結果來(lái)看，帶上 α_i 之後，殘差動量翻車了(le)……仍然以 Blitz, Huij, and Martens (2011) 的(de)方法獲得(de)殘差收益率，在計算(suàn)殘差動量時(shí)，使用(yòng) T – 12 到 T – 2 期之間的(de) α_i 和(hé)殘差總收益之和(hé)作爲分(fēn)子：

以等權爲例，在上述定義下(xià)，殘差動量變成了(le)殘差反轉（圖 9）。除此之外，我們也(yě)嘗試了(le)在時(shí)序回歸計算(suàn)殘差收益率時(shí)不加入截距項，也(yě)得(de)到了(le)殘差反轉的(de)結果。

作爲開放性的(de)問題，本文并不試圖對(duì)上述看起來(lái)十分(fēn)矛盾的(de)結果進行更深入的(de)討(tǎo)論。隻是希望通(tōng)過它們說明(míng)，在使用(yòng)殘差收益率構建因子的(de)時(shí)候，模型怎麽設定、參數如何估計都會直接影(yǐng)響因子的(de)計算(suàn)，且有時(shí)甚至産生完全相反的(de)效果，因此必須要搞清楚每一步的(de)原因是什(shén)麽，以免陷入數據挖掘。

前文《給你的(de)動量策略加點“料”》曾指出，傳統動量策略之所以有效和(hé)人(rén)們的(de)有限注意力（limited attention）有關，并以此作爲一個(gè)維度改進了(le)傳統動量。由于大(dà)腦(nǎo)中的(de)資源有限，一系列頻(pín)繁但微小的(de)變化(huà)對(duì)于人(rén)的(de)吸引力遠(yuǎn)不如少數卻顯著的(de)變化(huà)；因此投資者對(duì)于連續信息造成的(de)股價變化(huà)反應不足。随著(zhe)時(shí)間的(de)推移，這(zhè)些信息緩慢(màn)的(de)被吸收并反映到價格中，從而導緻了(le)動量。而對(duì)于殘差動量，Blitz, Huij, and Martens (2011) 認爲也(yě)可(kě)以從 gradual-information-diffusion 假說解釋：信息在投資者之間的(de)擴散是緩慢(màn)的(de)，而且相比于影(yǐng)響所有公司的(de)公共事件，投資者對(duì)于那些針對(duì)公司的(de)特定事件的(de)反應則更加遲緩，這(zhè)就形成了(le)殘差動量。

從投資者的(de)反應不足來(lái)解釋動量和(hé)殘差動量似乎是站的(de)住腳的(de)。而對(duì)于美(měi)股市場(chǎng)，動量和(hé)殘差動量雙雙有效，且殘差動量的(de)效果優于傳統動量這(zhè)個(gè)結果也(yě)是可(kě)以支持上述假說的(de)。但是 A 股……在動量如此不好使的(de)前提下(xià)，僅僅使用(yòng)了(le)一個(gè)同樣對(duì)于 A 股也(yě)不那麽完美(měi)的(de)定價模型計算(suàn)出殘差，就得(de)到了(le)如此好使的(de)殘差動量。這(zhè)背後的(de)原因恐怕比殘差動量這(zhè)個(gè)簡單的(de)公式要複雜(zá)得(de)多(duō)。

參考文獻

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