淺析資産配置的(de)幾種方法

作者：石川

摘要：使用(yòng)任何一個(gè)資産配置模型，絕不是簡單的(de)把不能猜的(de)參數忽略掉、把能猜的(de)參數扔進去，而是要明(míng)白它到底配了(le)什(shén)麽。

1 引言

The most important key to successful investing can be summed up in just two words —— asset allocation.

不誇張的(de)說，資産配置是投資中最關鍵的(de)一環。無論我們有多(duō)少個(gè)收益源、多(duō)少因子，最終都要力争在最小化(huà)投資組合風險的(de)前提下(xià)實現更高(gāo)的(de)收益。這(zhè)正是資産配置（asset allocation）。談到資産配置，最著名的(de)要數 Mean-Variance Optimization（MVO）模型，它的(de)數學表達式如下(xià)：

其中 ω 是資産權重向量、μ 和(hé) Ω 分(fēn)别爲預期收益率向量以及協方差矩陣、δ 是風險厭惡系數。當不考慮任何約束是，上述 MVO 問題的(de)最優解是：

如果考慮所有資産權重加起來(lái)占資金量 100%，即 Σω = 1，則可(kě)以将上述最優解中的(de)等号換成“正比于”符号，它和(hé)最終的(de)權重隻差一個(gè) scaling factor 而已：

對(duì)于權重爲 ω 的(de)投資組合，其夏普率爲：

數學推導可(kě)以證明(míng)，最大(dà)化(huà)投資組合夏普率的(de) ω 也(yě)正比于 Ω^{-1}μ，因此 MVO 的(de)最優解 ω_{mvo} 可(kě)以最大(dà)化(huà)投資組合的(de)夏普率。這(zhè)就是它吸引人(rén)的(de)原因。當然，由于對(duì)輸入（μ 和(hé) Ω）非常敏感，且事前預測未來(lái)的(de) μ 和(hé) Ω 異常困難（Ω 中包括資産自己的(de)波動率 σ_i 以及資産間的(de)相關系數 ρ_ij），MVO 在投資實務中也(yě)沒少被人(rén)诟病。爲了(le)避免猜 μ 和(hé) Ω 的(de)問題，人(rén)們又相繼提出了(le)很多(duō)其他(tā)的(de)資産配置方法，諸如：equal weight、minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity（又稱 equal risk contribution）。

在實際資産配置中，由于 μ_i、σ_i、ρ_ij 中的(de)一個(gè)或多(duō)個(gè)難以預測，我們舍棄 MVO 并退而求其次選擇上述這(zhè)些方法之一。無論采取哪種方法，我們都希望最大(dà)化(huà)投資組合的(de)夏普率。事實上，當 μ_i、σ_i、ρ_ij 這(zhè)些參數滿足特定條件時(shí)，所有上述方法均可(kě)以等價于 MVO。在資産配置時(shí)，我們可(kě)以對(duì)資産參數 μ_i、σ_i、ρ_ij 所滿足的(de)條件做(zuò)适當的(de)假設，從而選擇最合适的(de)配置方法。本文的(de)目的(de)就是梳理(lǐ)上述幾種資産配置方法背後的(de)數學模型，從而搞清楚它們分(fēn)别在何種參數條件下(xià)等價于 MVO，并以此指導我們在投資實務中正确選擇它們。最後想要說明(míng)的(de)是，由于篇幅和(hé)我的(de)知識有限，本文無法覆蓋所有主流的(de)資産配置模型。但是本文的(de)思路可(kě)以用(yòng)來(lái)分(fēn)析其他(tā)方法。

2 數學描述

本文考慮的(de)資産配置方法包括：Minimum Variance、Maximum Diversification、Risk Parity / Equal Risk Contribution 和(hé) Equal Weight。以下(xià)逐一說明(míng)。Minimum Variance 方法的(de)數學表達式爲：

可(kě)以證明(míng)，它的(de)最優解滿足如下(xià)關系（Clarke, de Silva, and Thorley 2013）：

将其和(hé) ω_{mvo} 比較不難發現，當所有資産的(de)收益率 μ 相等時(shí)，minimum variance 方法等價于 MVO。接下(xià)來(lái)是 Maximum Diversification。它的(de)數學表達式爲：

其中 σ = [σ_1, σ_2, …, σ_N]' 表示 N 個(gè)資産标準差（波動率）的(de)向量。該方法最大(dà)化(huà)資産線性加權波動率與投資組合波動率的(de)比值，故稱爲最大(dà)分(fēn)散化(huà)資産配置組合。它的(de)最優解滿足如下(xià)關系（Clarke, de Silva, and Thorley 2013）：

同樣的(de)，将其和(hé) ω_{mvo} 比較發現，當所有資産的(de)收益率 μ_i 和(hé)它們對(duì)應的(de)波動率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j）時(shí)，maximum diversification 方法等價于 MVO。再來(lái)看看 Risk Parity / Equal Risk Contribution。它要求每個(gè)資産對(duì)投資組合的(de)風險等貢獻，即：

其中 σ_p 代表投資組合的(de)波動率。該條件可(kě)以轉化(huà)爲如下(xià)數學優化(huà)問題：

其中 (Ωω)_i 表示向量 Ωω 的(de)第 i 行，即一個(gè)标量。Maillard, Roncalli, and Teïletche (2010) 一文對(duì) Equal Risk Contribution（ERC）配置方法進行了(le)非常詳盡的(de)數學論述，得(de)出了(le)很多(duō)有益的(de)結論。其中，最重要的(de)是，當所有 N 個(gè)資産兩兩相關系數相等（即所有 ρ_ij 都等于某常數 ρ）時(shí)，ERC 的(de)最優解爲：

除了(le) ERC 之外，另一個(gè)與其十分(fēn)接近的(de)配置方法是 equal risk budget（ERB）。根據定義，ERB 的(de)最優解滿足 ω_i = σ_i^{-1}/(Σ_jσ_j^{-1})。換句話(huà)說，當所有資産兩兩相關系數均相等時(shí)，ERC 和(hé) ERB 一樣。Carvalho, Lu, and Moulin (2012) 指出，當資産夏普率相同，且相關系數均相同時(shí)，ERB 等價于 MVO。由此可(kě)以推斷出 ERC 等價于 MVO 的(de)條件：所有資産的(de)收益率 μ_i 和(hé)它們對(duì)應的(de)波動率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j，意味著(zhe)夏普率相同）、且所有資産兩兩相關系數相同。

最後來(lái)看看 Equal Weight。這(zhè)種等權方法沒什(shén)麽可(kě)優化(huà)的(de)，其權重爲：ω_{ew} = [1/N, …, 1/N]'，即每個(gè)資産占 1/N 的(de)比例。當所有資産的(de)波動率相同時(shí)，ω_{ew} 可(kě)以看成 ERB 的(de)一種簡單形式。由此可(kě)以推導出，equal weight 如果想等價于 MVO 則要求資産的(de) μ_i、σ_i、ρ_ij 滿足以下(xià)三方面非常苛刻的(de)條件：

下(xià)圖對(duì)上述配置方法進行了(le)總結。

下(xià)一節進行一些簡單實驗說明(míng)當參數滿足不同條件時(shí)，這(zhè)些方法的(de)差異。

3 實證研究

從上節末的(de)表格中不難看出，除了(le) minimum variance 之外，其他(tā)三種方法對(duì)參數的(de)要求依次增強。因此，我們可(kě)以構建一系列實驗，從最苛刻的(de)條件開始，并逐一放松約束，以此觀察這(zhè)三種方法的(de)配置結果和(hé) MVO 配置結果的(de)差異。（稍後會單獨比較 minimum variance 和(hé) MVO。）由于 equal weight 配置方法需要三個(gè)條件才等價于 MVO，因此下(xià)面一共考慮四個(gè)實驗：

在這(zhè)四個(gè)實驗中比較 equal weight、equal risk contribution、maximum diversification 以及 MVO 四種方法。每個(gè)實驗中假設有三個(gè)資産，作爲實驗輸入給定它們的(de) μ_i、σ_i 以及 ρ_ij，并考察不同資産配置方法得(de)到的(de)最優配置權重（所有方法均需要滿足約束 Σω = 1）以及夏普率。實驗結果如下(xià)表所示。

随著(zhe)參數滿足的(de)條件逐漸去除，equal weight、equal risk contribution 以及 maximum diversification 依次在與 MVO 的(de)比較下(xià)敗下(xià)陣來(lái)。上述結果說明(míng)，對(duì)參數（無論是 μ、σ 還(hái)是 ρ）的(de)準确估計對(duì)資産配置結果是至關重要的(de)；等權（或簡單多(duō)樣化(huà)）隻是一種無法（準确）估計參數時(shí)的(de)無奈之舉。一旦有了(le)任何關于 μ、σ、ρ 的(de)（靠譜）信息都應該充分(fēn)利用(yòng)，并合理(lǐ)對(duì)未知參數可(kě)能滿足的(de)條件進行假設，從而選擇最合适的(de)資産配置方法。

最後下(xià)圖展示了(le) minimum variance 和(hé) MVO 的(de)比較。由于兩組實驗中，隻改變了(le) μ 的(de)取值而協方差矩陣不變，因此 minimum variance 配置給出了(le)相同的(de)結果；但是僅當所有資産 μ 相同時(shí)，minimum variance 才等價于 MVO。

4 結語

寫今天這(zhè)篇文章(zhāng)源于我最近看了(le) Bender, Blackburn, and Sun (2019)。該文比較了(le)不同的(de)配置方法在構建因子投資組合時(shí)的(de)效果（包括一些本文沒有涉及的(de)方法，見下(xià)表）。

對(duì)于 MVO，Bender, Blackburn, and Sun (2019) 的(de)态度是，雖然輸入的(de)準确性至關重要，但我們也(yě)沒有必要急于否定最優化(huà)在資産（因子）配置中的(de)作用(yòng)，因爲其他(tā)方法都是在某種假設下(xià)對(duì) MVO 的(de)近似。資産配置有很多(duō)不同的(de)方法。本文希望傳達的(de)态度是：無論選擇哪種方法，都應該搞清楚其數學模型背後的(de)對(duì)參數的(de)假設是什(shén)麽。搞清楚每個(gè)模型在什(shén)麽情況下(xià)等價于 MVO 至關重要。使用(yòng)一個(gè)模型，絕不是簡單的(de)把不能猜的(de)參數忽略掉、把能猜的(de)參數扔進去，而是要明(míng)白它到底配了(le)什(shén)麽。

參考文獻

Bender, J., T. Blackburn, and X. Sun (2019). Clash of the titans: factor portfolios versus alternative weighting schemes. The Journal of Portfolio Management 45(3), 38 – 49.

Carvalho, R. L., X. Lu, and P. Moulin (2012). Demystifying equity risk-based strategies: a simple alpha plus beta description. The Journal of Portfolio Management 37(3), 56 – 70.

Clarke, R., H. de Silva, and S. Thorley (2013). Risk parity, maximum diversification, and minimum variance: an analytic perspective. The Journal of Portfolio Management 39(3), 39 – 53.

Maillard, S., T. Roncalli, and J. Teïletche (2010). The properties of equally weighted risk contribution portfolios. The Journal of Portfolio Management 36(4), 60 – 70.

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