在什(shén)麽情況下(xià)，因子 Span SDF (I)

發布時(shí)間：2023-05-12 | 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作者：石川

摘要：由于個(gè)股協方差矩陣很難求逆，因此使用(yòng)因子是必然的(de)選擇。然而，在什(shén)麽情況下(xià)，因子能 span SDF，從而不會損失投資機會？

令 $N$ 代表股票(piào)數量， $J$ 代表公司特征（firm characteristics）數量，令 $N\times J$ 維矩陣 $\pmb{X}_t$ 表示 $t$ 時(shí)刻的(de)所有股票(piào)的(de)全部特征（其中第一列是 a vector of ones）。此外，令 $\pmb{z}_{t+1}$ 代表 $N$ 個(gè)股票(piào) $t+1$ 時(shí)刻的(de)超額收益率向量。定義如下(xià)條件預期收益率和(hé)條件協方差矩陣：

$\pmb{\mu}_t=\mathbb{E}[\pmb{z}_{t+1}|\pmb{X}_t]$

$\pmb{\Sigma}_t=\mbox{var}(\pmb{z}_{t+1}|\pmb{X}_t)$

如果已知 $\pmb{\mu}_t$ 和(hé) $\pmb{\Sigma}_t$ ，則由這(zhè) $N$ 個(gè)資産構造的(de) mean-variance efficient portfolio 的(de)權重爲 $\pmb{w}_t=\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t$ 。根據資産定價理(lǐ)論，該投資組合與 SDF 以及 factor model 等價，即該投資組合作爲因子可(kě)以給所有股票(piào)定價。

To see why：

由權重和(hé)個(gè)股收益率可(kě)知，該組合的(de)超額收益率爲 $z_{t+1}^{mv}=\pmb{w}_t^ \prime\pmb{z}_{t+1}$ 。令 $\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]和\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})$ 表示該投資組合的(de)條件預期收益率和(hé)方差。根據定義并帶入 $\pmb{w}_t$ 可(kě)得(de)：

$\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]=\pmb{w}_t^\prime\pmb{\mu}_t=\pmb{\mu}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t$

$\begin{array}{rll} \mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})&=&\displaystyle\pmb{w}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t\pmb{w}_t\\ &=&\displaystyle\pmb{\mu}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\Sigma}_t\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t\\ &=&\displaystyle\pmb{\mu}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t \end{array}$

從上述推導可(kě)知，對(duì) mean-variance efficient portfolio 來(lái)說， $\mathbb{E}_t[\pmb{z}_{t+1}^{mv}]$ 和(hé) $\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})$ 的(de)取值是一樣的(de)。接下(xià)來(lái)，由 $\pmb{w}_t=\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t$ 可(kě)知 $\pmb{\mu}_t=\pmb{\Sigma}_t \pmb{w}_t$ 。從這(zhè)個(gè)關系出發做(zuò)如下(xià)推導：

$\begin{array}{rll} \pmb{\mu}_t&=&\displaystyle\pmb{\Sigma}_t\pmb{w}_t\\ &=&\displaystyle\pmb{\Sigma}_t\pmb{w}_t\frac{\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]}{\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})}\\\\ &=&\displaystyle\left[ \begin{array}{c} \mbox{cov}_t(z_{t+1}^1, z_{t+1}^{mv})\\ \vdots\\ \mbox{cov}_t(z_{t+1}^N, z_{t+1}^{mv}) \end{array} \right] \frac{\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]}{\text{var}_t(z_{t+1}^{mv})}\\\\ &=&\displaystyle\left[ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{\mbox{cov}_t(z_{t+1}^1, z_{t+1}^{mv})}{\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})}\\ \vdots\\ \displaystyle\frac{\mbox{cov}_t(z_{t+1}^N, z_{t+1}^{mv})}{\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})} \end{array} \right]\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]\\\\ &=&\displaystyle\left[ \begin{array}{c} \beta_t^1\\ \vdots\\ \beta_t^N \end{array} \right]\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}] \end{array}$

即 $\pmb{\mu}_t=\pmb{\beta}_t\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]$ 。不幸的(de)是，我們很難根據個(gè)股的(de)收益率計算(suàn)出想要的(de)權重 $\pmb{w}_t=\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t$ 。先不說事前估計問題，即便是對(duì)協方差矩陣 $\pmb{\Sigma}_t$ 求逆就讓我們望而卻步。所以，使用(yòng)個(gè)股來(lái)構造 mean-variance efficient portfolio 或者 SDF 是不現實的(de)。因此，人(rén)們轉而使用(yòng)多(duō)因子模型。

一個(gè)因子可(kě)以看做(zuò) $N$ 個(gè)資産的(de)線性組合。假設共有 $J$ 個(gè)因子，它們的(de)投資組合權重由 $N\times J$ 維權重矩陣 $\pmb{W}_t$ 表示，即因子收益率滿足 $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$ 。因子的(de)條件預期收益率和(hé)協方差矩陣則爲 $\pmb{\mu}_{f,t}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{\mu}_t$ 和(hé) $\pmb{\Sigma}_{f,t}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t\pmb{W}_t$ 。

當使用(yòng)因子取代個(gè)股進行投資時(shí)，人(rén)們關心的(de)是所構造的(de)所有因子能否捕捉和(hé)使用(yòng)個(gè)股一樣的(de)投資機會。換句話(huà)說，即這(zhè) $J$ 個(gè)因子能否 span SDF，又或者，通(tōng)過這(zhè)些因子實現的(de)最大(dà)夏普比率平方和(hé)通(tōng)過個(gè)股實現的(de)最大(dà)夏普比率平方是否相等？在實證研究和(hé)投資實踐中，因子投資組合權重 $\pmb{W}_t$ 的(de)确定方式千差萬别 —— 比如 Fama and French (1993) 使用(yòng)根據公司特征進行 portfolio sort（并一舉成爲研究範式），又比如 Fama and French (2020) 轉而使用(yòng) OLS（和(hé) Barra 類似），再比如最近幾年一些結合機器學習(xí)算(suàn)法的(de)最新文章(zhāng)直接使用(yòng)經标準化(huà)後的(de)公司特征本身作爲權重 —— 因此，回答(dá)上述問題就顯得(de)至關重要。

從本文第一節的(de)論述可(kě)知，最大(dà)夏普比率平方（或 SDF）和(hé)個(gè)股的(de)協方差矩陣密切相關（這(zhè)是因個(gè)股的(de)協方差矩陣是計算(suàn) $\pmb{w}_t$ 的(de)輸入之一）。然而，無論是 portfolio sort、OLS 還(hái)是直接使用(yòng) $\pmb{X}_t$ ，這(zhè)些構造因子的(de)方法均未直接考慮個(gè)股的(de)協方差矩陣。因此，我們有足夠的(de)理(lǐ)由懷疑，雖然使用(yòng)因子繞過了(le)對(duì) $\pmb{\Sigma}_t$ 求逆這(zhè)個(gè)mission impossible，但是代價也(yě)許是喪失和(hé)很多(duō)投資機會（最大(dà)夏普比率平方）。那麽，是否在一定的(de)條件下(xià)，這(zhè)種損失是有限的(de)甚至是忽略不計的(de)呢(ne)？即構造的(de)因子能夠捕捉和(hé)使用(yòng)個(gè)股一樣的(de)投資機會。

Kozak and Nagel (2022) 就這(zhè)個(gè)問題從三方面展開了(le)精彩的(de)論述：

1. 在什(shén)麽情況下(xià)，不同權重方法構造的(de)因子能夠 span SDF；

2. 如果 1 中的(de)條件無法滿足，則應該如何解決；

3. 如何進一步降維（即最近幾年很火的(de) PCA、IPCA、PPCA 方法有效的(de)先決條件）。

由于該文的(de)内容非常豐富，因此我打算(suàn)将其拆成多(duō)個(gè)部分(fēn)。本文是系列第一篇，主要關注第一個(gè)問題。

任何討(tǎo)論都是從假設開始。Kozak and Nagel (2022) 最基本的(de)假設是個(gè)股條件預期收益率 $\pmb{\mu}_t$ 是公司特征 $\pmb{X}_t$ 的(de)線性函數，即 $\pmb{\mu}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Phi}$ ，其中 $\pmb{\Phi}$ 是 $J$ 維向量。在這(zhè)個(gè)假設下(xià)，對(duì)于任意給定的(de) $J$ 維可(kě)逆矩陣 $\pmb{S}_t$ ，以權重 $\pmb{W}_t=\pmb{S}_t^\prime \pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ 構造的(de)因子，即 $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{S}_t^\prime \pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{z}_{t+1}$ 能夠不損失投資機會（即 span SDF）。這(zhè)個(gè)結論是 Kozak and Nagel (2022) 的(de) Proposition 1。

舉個(gè)例子，取 $\pmb{S}_t=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}$ 。将其代入因子收益率表達式可(kě)知 $\pmb{f}_{t+1}=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{z}_{t+1}$ 。不難看出，該因子收益率實際就是用(yòng)個(gè)股收益率對(duì)公司特征做(zuò) GLS 回歸得(de)到的(de)回歸系數。因此，上述 $\pmb{S}_t$ 下(xià)，我們得(de)到了(le) GLS 因子，使用(yòng)它們代替個(gè)股投資可(kě)以得(de)到相同的(de)最大(dà)夏普比率平方。此外，在該構造方法下(xià)，因子的(de)預期收益率 $\pmb{\mu}_{f,t}=\pmb{\Phi}$ ，而個(gè)股對(duì)因子的(de) $\pmb{\beta}_t$ 恰好就是公司特征 $\pmb{X}_t$ 。

這(zhè)是因爲，在該 $\pmb{S}_t$ 下(xià)， $\pmb{W}_t^\prime=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ 。因此（注意由模型假設有 $\pmb{\mu}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Phi}）$ ，

$\begin{array}{rll} \pmb{\mu}_{f,t}&=&\pmb{W}_t^\prime\pmb{\mu}_t\\ &=&(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t\pmb{\Phi}\\ &=&(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)\pmb{\Phi}\\ &=&\pmb{\Phi} \end{array}$

将 $\pmb{\mu}_{f,t}=\pmb{\Phi}$ 代入 $\pmb{\mu}_{t}=\pmb{\beta}_t\pmb{\mu}_{f,t}$ 有 $\pmb{\mu}_{t}=\pmb{\beta}_t\pmb{\Phi}$ ，再聯立 $\pmb{\mu}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Phi}$ ，有 $\pmb{\beta}_t=\pmb{X}_t$ 。這(zhè)個(gè)關系的(de)大(dà)白話(huà)意思是，無論你使用(yòng)公司特征當做(zuò) $\beta$ ，還(hái)是先用(yòng)公司特征（通(tōng)過 GLS）構造因子再通(tōng)過個(gè)股和(hé)因子協方差計算(suàn) $\beta$ ，二者是完全等價的(de)。所以，在這(zhè)個(gè)特殊的(de) case 下(xià)，which beta 之争根本就不存在。再舉個(gè)更簡單的(de)例子，令 $\pmb{S}_t$ 爲 $J$ 維單位矩陣 $\pmb{I}_J$ 。在這(zhè)種情況下(xià)，因子收益率爲 $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{z}_{t+1}$ ，且可(kě)以推導出個(gè)股和(hé)因子收益率的(de)協方差 $\pmb{\Sigma}_{zf,t}=\pmb{X}_t$ 。上述兩個(gè)例子雖然給出了(le)不損失投資機會的(de)因子構造方式，但是細心地小夥伴一定注意到了(le)，在構造因子時(shí)依然用(yòng)到了(le)個(gè)股協方差矩陣的(de)逆矩陣 $\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ ，所以我們并沒有繞過這(zhè)個(gè)問題。因此，前面說的(de)這(zhè)些僅是熱(rè)身。下(xià)面就來(lái)看看不使用(yòng) $\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ 的(de)情況。

在實際中，我們通(tōng)過公司特征 $\pmb{X}_t$ 構造因子時(shí)，往往采用(yòng)

$\pmb{W}_t=\pmb{X}_t\pmb{S}_t$

$\pmb{f}_{t+1}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$

例如，當 $\pmb{S}_t=\pmb{I}_J$ 時(shí)，相當于用(yòng)（經過标準化(huà)之後的(de)）公司特征直接作爲權重（見 Kozak, Nagel, and Santosh 2020）；又或者當 $\pmb{S}_t=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}$ 時(shí)，相當于使用(yòng) OLS 求解個(gè)股收益率對(duì)公司特征回歸（見 Fama and French 2020）。由于在這(zhè)些選擇中不涉及 $\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ ，因此上述 Proposition 1 并不成立。針對(duì)這(zhè)些情況，Kozak and Nagel (2022) 提出了(le) Proposition 2。

在 $\pmb{\mu}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Phi}$ 假設下(xià)，令 $\pmb{W}_t=\pmb{X}_t\pmb{S}_t$ ，其中 $\pmb{S}_t$ 是某個(gè)可(kě)逆 $J$ 維矩陣，那麽利用(yòng)因子 $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$ 取代個(gè)股時(shí)，不損失投資機會（即因子 span SDF）的(de)充要條件是個(gè)股的(de)協方差矩陣滿足如下(xià)分(fēn)解：

$\pmb{\Sigma}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Psi}_t\pmb{X}_t^\prime+\pmb{U}_t\pmb{\Omega}_t\pmb{U}_t^\prime$

其中 $\pmb{\Psi}_t$ 、 $\pmb{\Omega}_t$ 以及 $\pmb{U}_t$ 是滿足相應維數要求的(de)矩陣，且 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ 。在實踐中，爲了(le)盡可(kě)能滿足 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ ，一個(gè)可(kě)行的(de)做(zuò)法是讓 $\pmb{X}_t$ 包含更多(duō)的(de)公司特征：哪怕一些特征無法解釋預期收益率的(de)截面差異，而是隻能解釋個(gè)股的(de)協方差，隻要它們有助于實現 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ ，那麽就應該被包含在 $\pmb{X}_t$ 中，并用(yòng)來(lái)構造因子投資組合并确保投資機會。

我們下(xià)面來(lái)看看，在 Proposition 2 下(xià)， $\pmb{S}_t$ 取 $(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}$ （即 OLS）或者 $\pmb{I}_J$ （即直接使用(yòng)公司特征）時(shí)，構造的(de)因子有哪些特點。當 $\pmb{S}_t= (\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}$ 時(shí)， $\pmb{f}_{t+1}=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$ 。此時(shí)， $\pmb{W}_t^\prime=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime$ ，因此有

$\begin{array}{rll} \pmb{\mu}_{f,t}&=&\pmb{W}_t^\prime\pmb{\mu}_t\\ &=&(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t\pmb{\Phi}\\ &=&(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)\pmb{\Phi}\\ &=&\pmb{\Phi} \end{array}$

因此，和(hé)前述 GLS 情況類似， $\pmb{\mu}_{f,t}=\pmb{\Phi}$ 且 $\pmb{\beta}_t=\pmb{X}_t$ 。當 $\pmb{S}_t=\pmb{I}_J$ ，即 $\pmb{W_t}=\pmb{X}_t$ 時(shí)， $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{X}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$ ，此外，可(kě)推導出 $\pmb{\beta}_t=\pmb{X}_t(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}$ 。

利用(yòng) $\pmb{S}_t=\pmb{I}_J$ （這(zhè)是業界非常流行的(de)使用(yòng)方式），我們再對(duì) $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ 這(zhè)一約束條件做(zuò)一個(gè)直觀地解釋。爲了(le)使多(duō)因子模型能夠 span SDF（或者給所有個(gè)股準确定價），個(gè)股和(hé)因子之間的(de) $\beta$ 應能夠解釋預期收益率的(de)所有變化(huà)（即 $\beta$ span 預期收益率）。在 $\pmb{S}_t=\pmb{I}_J$ 時(shí)， $\beta$ 由兩部分(fēn)組成：

$\pmb{X}_t\pmb{\Psi}_t\pmb{X_t}^\prime\pmb{X}_t+\pmb{U}_t\pmb{\Omega}_t\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t$

當 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ 時(shí)，上述中第二項爲零。由于第一項是 $\pmb{X}_t$ 和(hé)某個(gè)可(kě)逆矩陣相乘，且由模型假設已知 $\pmb{X}_t$ 和(hé) $\pmb{\mu}_t$ 的(de)線性關系，因此 $\beta$ 确實能夠完美(měi)解釋預期收益率。

然而，當 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t\ne 0$ 時(shí)（即約束條件不滿足），上述第二項不爲零。因此 $\beta$ 會被 $\pmb{X}_t$ 之外的(de)部分(fēn)所“污染”，而這(zhè)部分(fēn)是沒有被定價的(de)（因爲隻有 $\pmb{X}_t$ 和(hé)預期收益率有關）。由于 SDF 隻包含被定價的(de)風險，而上述構造的(de)因子中存在未被定價的(de)風險，因此使用(yòng)上述因子勢必會犧牲投資機會。那麽，在實踐中，當 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ 不滿足時(shí)，能否通(tōng)過某些方法對(duì)沖掉未被定價的(de)風險，從而構造更好的(de)因子呢(ne)？這(zhè)就是 Kozak and Nagel (2022) 一文討(tǎo)論的(de)第二個(gè)方面，我們擇日再來(lái)梳理(lǐ)。

參考文獻

Fama, E. F. and K. R. French (1993). Common risk factors in the returns on stocks and bonds. Journal of Financial Economics 33(1), 3 – 56.

Fama, E. F. and K. R. French (2020). Comparing cross-section and time-series factor models. Review of Financial Studies 33(5), 1891 – 1926.

Kozak, S. and S. Nagel (2022). When do cross-sectional asset pricing factors span the stochastic discount factor? Working paper.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section. Journal of Financial Economics 135(2), 271 – 292.

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