寫給你的(de)金融時(shí)間序列分(fēn)析：基礎篇

作者：石川

摘要：本文爲系列第一篇：介紹金融時(shí)間序列的(de)特性和(hé)進行時(shí)間序列分(fēn)析的(de)目的(de)；解釋時(shí)間序列分(fēn)析中的(de)核心概念：自相關性。

1 引言

時(shí)間序列分(fēn)析（time series analysis）是量化(huà)投資中的(de)一門基本技術。時(shí)間序列是指在一定時(shí)間内按時(shí)間順序測量的(de)某個(gè)變量的(de)取值序列。比如變量是股票(piào)價格，那麽它随時(shí)間的(de)變化(huà)就是一個(gè)時(shí)間序列；同樣的(de)，如果變量是股票(piào)的(de)收益率，則它随時(shí)間的(de)變化(huà)也(yě)是一個(gè)時(shí)間序列。時(shí)間序列分(fēn)析就是使用(yòng)統計的(de)手段對(duì)這(zhè)個(gè)序列的(de)過去進行分(fēn)析，以此對(duì)該變量的(de)變化(huà)特性建模、并對(duì)未來(lái)進行預測。

時(shí)間序列分(fēn)析在工程學、經濟學、氣象學、金融學等衆多(duō)領域有著(zhe)廣泛的(de)應用(yòng)。在金融學領域，介紹時(shí)間序列分(fēn)析的(de)優秀書(shū)籍層出不窮。其中最家喻戶曉之一的(de)要數美(měi)國芝加哥(gē)大(dà)學商學院 Ruey S. Tsay 教授撰寫的(de)金融時(shí)間序列分(fēn)析——Analysis of Financial Time Series（下(xià)圖，該書(shū)也(yě)同時(shí)有中文版）。

金融時(shí)間序列分(fēn)析要求使用(yòng)者具備一定的(de)高(gāo)等數學知識。特别是其中一些高(gāo)級的(de)模型，如分(fēn)析波動率的(de) ARCH/GARCH 模型、極值理(lǐ)論、連續随機過程、狀态空間模型等都對(duì)使用(yòng)者的(de)數學水(shuǐ)平有著(zhe)極高(gāo)的(de)要求。因此，在很多(duō)人(rén)眼中，金融時(shí)間序列分(fēn)析無疑帶著(zhe)厚厚的(de)面紗，令人(rén)望而卻步。然而，如果學習(xí)的(de)目的(de)是爲了(le)解金融時(shí)間序列的(de)特點、熟悉金融時(shí)間序列分(fēn)析的(de)目的(de)、并使用(yòng)線性但非常實用(yòng)的(de)模型（比如 ARMA 模型）對(duì)金融時(shí)間序列進行預測并以此制定量化(huà)策略，那麽隻要具備簡單的(de)統計學基礎，就完全能夠實現這(zhè)些目标。

出于這(zhè)個(gè)目的(de)，從本周開始，量化(huà)核武研究這(zhè)個(gè)專題下(xià)将推出四篇文章(zhāng)，深入淺出的(de)介紹金融時(shí)間序列分(fēn)析的(de)相關知識。該系列不會涉及上面提到的(de)那些高(gāo)級模型；相反的(de)，本系列以對(duì)股票(piào)收益率建模并構建投資策略爲目标，按部就班的(de)把實現這(zhè)個(gè)目标所需要的(de)每一塊“積木(mù)”清晰地呈獻給讀者。這(zhè)四篇文章(zhāng)的(de)結構爲：

本系列文章(zhāng)會避免過多(duō)羅列晦澀難懂(dǒng)的(de)大(dà)數學（但會涉及必要的(de)數學知識），希望帶你走入金融時(shí)間序列分(fēn)析的(de)大(dà)門，爲你今後學習(xí)更高(gāo)級的(de)模型奠定一些基礎。這(zhè)是寫給你的(de)金融時(shí)間序列分(fēn)析。

2 金融時(shí)間序列分(fēn)析

爲了(le)避免下(xià)文中涉及的(de)概念過于抽象，我們假設本文討(tǎo)論的(de)金融時(shí)間序列爲投資品的(de)收益率序列。

金融時(shí)間序列分(fēn)析考慮的(de)是金融變量（比如投資品收益率）随時(shí)間演變的(de)理(lǐ)論和(hé)實踐。任何金融時(shí)間序列都包含不确定因素，因此統計學的(de)理(lǐ)論和(hé)方法在金融時(shí)間序列分(fēn)析中至關重要。金融資産的(de)時(shí)間序列常被看作是未知随機變量序列随時(shí)間變化(huà)的(de)一個(gè)實現。通(tōng)常假設該随機變量序列僅在時(shí)間軸上的(de)離散點有定義，則該随機變量序列就是一個(gè)離散随機過程。比如股票(piào)的(de)日收益率就是離散的(de)時(shí)間序列。在量化(huà)投資領域，我們的(de)目标是通(tōng)過統計手段對(duì)投資品的(de)收益率這(zhè)個(gè)時(shí)間序列建模，以此推斷序列中不同交易日的(de)收益率之間有無任何特征，以此來(lái)預測未來(lái)的(de)收益率并産生交易信号。

一個(gè)時(shí)間序列可(kě)能存在的(de)特征包括以下(xià)幾種：

量化(huà)投資的(de)交易者的(de)目标是利用(yòng)統計建模來(lái)識别金融時(shí)間序列中潛在的(de)趨勢、季節變化(huà)和(hé)序列相關性。利用(yòng)一個(gè)好的(de)模型，金融時(shí)間序列分(fēn)析的(de)主要應用(yòng)包括：

上文說到，金融時(shí)間序列的(de)關系中，最重要的(de)當屬自相關性。這(zhè)是因爲我們很容易從一個(gè)時(shí)間序列中識别出趨勢以及季節變換。當除去這(zhè)些關系後，剩下(xià)的(de)時(shí)間序列往往看來(lái)十分(fēn)随機。然而對(duì)于金融時(shí)間序列，比如投資品的(de)收益率，看似随機的(de)時(shí)間序列中往往存在著(zhe)驚人(rén)的(de)自相關。對(duì)自相關建模并加以利用(yòng)能夠大(dà)幅提高(gāo)交易信号的(de)準确性。配對(duì)交易的(de)均值回複策略就是這(zhè)麽一個(gè)例子。均值回複策略利用(yòng)一對(duì)投資品價差序列的(de)負相關性進行投資，産生做(zuò)多(duō)或者做(zuò)空的(de)交易信号，實現盈利。

本文的(de)下(xià)面幾節就來(lái)介紹如何計算(suàn)時(shí)間序列的(de)自相關性。爲此，首先來(lái)看兩個(gè)基礎概念：協方差和(hé)相關系數。之後會談及時(shí)間序列的(de)平穩性，它是時(shí)間序列分(fēn)析的(de)一個(gè)必要前提。最後介紹時(shí)間序列的(de)自相關性。

3 協方差和(hé)相關系數

本節介紹概率論中的(de)基礎概念：協方差和(hé)相關系數。熟悉它們的(de)讀者可(kě)跳過。假設兩個(gè)随機變量 X 和(hé) Y 滿足未知的(de)概率分(fēn)布（可(kě)以是同分(fēn)布也(yě)可(kě)以是不同的(de)分(fēn)布）。E[] 爲求解數學期望的(de)運算(suàn)符。X 和(hé) Y 的(de)總體協方差（population covariance）爲：

其中，μ_X 和(hé) μ_Y 分(fēn)别爲 X 和(hé) Y 的(de)總體均值（population mean）。

在實際中，由于總體的(de)概率分(fēn)布未知，我們隻能通(tōng)過 X 和(hé) Y 的(de)觀測值來(lái)計算(suàn)樣本均值（sample mean）。假設我們各有 X 和(hé) Y 的(de)觀測值 n 個(gè)，則它們的(de)樣本協方差（sample covariance）爲：

其中，\bar X 和(hé) \bar Y 爲 X 和(hé) Y 的(de)樣本均值。上面公式中右側之所以除以 n - 1 而非 n 的(de)原因是，這(zhè)麽做(zuò)可(kě)以保證樣本協方差是（未知）總體協方差的(de)一個(gè)無偏估計（unbiased estimator）。假設我們随機生成兩個(gè)随機變量 X 和(hé) Y 的(de)序列，它們的(de)散點圖如下(xià)。

按照(zhào)上面的(de)公式，X 和(hé) Y 的(de)樣本協方差爲 893.215203。它有什(shén)麽意義呢(ne)？在回答(dá)這(zhè)個(gè)問題之前，讓我們再來(lái)看另外兩個(gè)變量，我們稱之爲 X100 和(hé) Y100。它們分(fēn)别定義爲 X100 = 100 * X 和(hé) Y100 = 100 * Y。可(kě)見，它們僅僅是 X 和(hé) Y 各乘以 100 得(de)到的(de)。X100 和(hé) Y100 的(de)樣本協方差爲 8932152.03，這(zhè)是 X 和(hé) Y 的(de)協方差的(de) 10000 倍。然而，如果僅僅因此就得(de)出 X100 和(hé) Y100 的(de)相關性高(gāo)于 X 和(hé) Y 的(de)相關性就大(dà)錯特錯了(le)。事實上，由于 X100 和(hé) Y100 是由 X 和(hé) Y 分(fēn)别乘以 100 得(de)到的(de)，因此它們之間的(de)相關性顯然和(hé) X 與 Y 的(de)相關性相同。

上面這(zhè)個(gè)例子說明(míng)使用(yòng)協方差衡量變量相關性的(de)緻命缺點：協方差是有量綱的(de)，因此它的(de)大(dà)小受随機變量本身波動範圍的(de)影(yǐng)響。在上個(gè)例子中，當兩個(gè)随機變量的(de)波動範圍擴大(dà) 100 倍後，它們的(de)協方差擴大(dà)了(le) 10000 倍。因此，人(rén)們希望使用(yòng)某個(gè)和(hé)協方差有關，但是又是無量綱的(de)測量來(lái)描述兩個(gè)随機變量的(de)相關性。最簡單的(de)做(zuò)法就是用(yòng)變量自身的(de)波動對(duì)協方差進行标準化(huà)。相關系數（correlation 或者 correlation coefficient）便由此得(de)來(lái)。

令 ρ 表示 X 和(hé) Y 的(de)總體相關系數（population correlation），它的(de)定義爲：

其中 σ_X 和(hé) σ_Y 分(fēn)别爲 X 和(hé) Y 的(de)總體标準差（population standard deviation）。通(tōng)過使用(yòng) X 和(hé) Y 的(de)标準差對(duì)它們的(de)協方差歸一化(huà)，ρ 的(de)取值範圍在 -1 到 +1 之間，即 [-1, +1]：

值得(de)一提的(de)是，相關系數僅僅刻畫(huà) X 和(hé) Y 之間的(de)線性相關性；它不描述它們之間的(de)（任何）非線性關系。在實際中，由于總體的(de)概率分(fēn)布未知，我們隻能通(tōng)過 X 和(hé) Y 的(de)觀測值來(lái)計算(suàn) X 和(hé) Y 的(de)樣本相關系數（sample correlation）：

其中，sd(X) 和(hé) sd(Y) 分(fēn)别爲 X 和(hé) Y 的(de)樣本标準差（sample standard deviation）。在上面的(de)例子中，無論考慮 X 和(hé) Y 還(hái)是 X100 和(hé) Y100（即無論如何縮放 X 和(hé) Y），它們的(de)相關系數都是 0.894655，這(zhè)和(hé)我們的(de)預期相符。由于這(zhè)個(gè)數值非常接近 1，它意味著(zhe) X 和(hé) Y 之間存在很強的(de)線性正相關。

4 平穩性

平穩性（stationarity）是時(shí)間序列分(fēn)析的(de)基礎。

爲了(le)通(tōng)俗的(de)理(lǐ)解平穩性，來(lái)看下(xià)面這(zhè)個(gè)類比（這(zhè)是我能想到的(de)最好的(de)例子）。假如某股票(piào)的(de)日收益率由轉輪盤賭決定：轉到不同數字就對(duì)應不同的(de)收益率。在每個(gè)時(shí)刻 t，我們都轉同一個(gè)輪盤賭并确定收益率 r_t。隻要這(zhè)個(gè)輪盤不變，那麽對(duì)于所有的(de) t，r_t 的(de)概率分(fēn)布都是一樣的(de)、不随時(shí)間變化(huà)。這(zhè)樣的(de)時(shí)間序列 ｛r_t｝ 就是（嚴格）平穩的(de)。如果從某個(gè)時(shí)刻 t’ 開始，輪盤發生了(le)變化(huà)（比如輪盤上面的(de)數字變多(duō)了(le)），那麽顯然從 t ≥ t’ 開始，r_t 的(de)分(fēn)布就便随之發生變化(huà)，因此時(shí)間序列 ｛r_t｝ 就不是平穩的(de)。

在數學上，時(shí)間序列的(de)嚴平穩（strictly stationary）有著(zhe)更精确的(de)定義：它要求時(shí)間序列中任意給定長(cháng)度的(de)兩段子序列都滿足相同的(de)聯合分(fēn)布。這(zhè)是一個(gè)很強的(de)條件，在實際中幾乎不可(kě)能被滿足。因此我們還(hái)有弱平穩（weakly stationary）的(de)定義，它要求時(shí)間序列滿足均值平穩性（stationary in mean）和(hé)二階平穩性（secondary order stationary）。

弱平穩假設對(duì)于分(fēn)析投資品收益率至關重要。

爲了(le)解釋這(zhè)一點，來(lái)看一個(gè)例子。假設我們想知道 2017 年 5 月(yuè) 16 日這(zhè)天上證指數收益率的(de)均值是多(duō)少，而我們的(de)猜想是它來(lái)自一個(gè)未知的(de)分(fēn)布。也(yě)許你會馬上說“查一下(xià) Wind 不就知道了(le)？上證指數那天的(de)收益率是 0.74%”。注意，0.74% 這(zhè)個(gè)數值僅僅是那天上證指數未知收益率分(fēn)布的(de)一個(gè)實現（realization）！它不是均值，因此從時(shí)間序列分(fēn)析的(de)角度來(lái)說僅僅知道 0.74% 遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

對(duì)于一般的(de)未知概率分(fēn)布，隻要通(tōng)過進行大(dà)量重複性實驗，就可(kě)以有足夠多(duō)的(de)獨立觀測點來(lái)進行統計推斷（計算(suàn)均值和(hé)方差這(zhè)些統計量）。按照(zhào)這(zhè)個(gè)思路，我們必須把 2017 年 5 月(yuè) 16 日這(zhè)一天經曆許多(duō)遍，得(de)到許多(duō)個(gè)那天的(de)收益率觀測值，然後用(yòng)這(zhè)些觀測值計算(suàn)出收益率的(de)均值。不幸的(de)是，曆史隻發生一次，時(shí)間也(yě)一去不複返，我們隻能實實在在的(de)經曆一遍 2017 年 5 月(yuè) 16 日，隻能得(de)到一個(gè)收益率的(de)觀測點，即 0.74%。因此這(zhè)個(gè)方法對(duì)于金融數據是行不通(tōng)的(de)。

然而，如果我們假設上證指數的(de)收益率序列滿足弱平穩，就柳暗花明(míng)了(le)。根據弱平穩假設，上證指數的(de)日收益率序列 ｛r_t｝ 的(de)均值是一個(gè)與時(shí)間無關的(de)常數，即 E[r_t] = μ。這(zhè)樣便可(kě)以利用(yòng)一段時(shí)間的(de)曆史數據來(lái)計算(suàn)出日收益率的(de)均值。比如我們可(kě)以對(duì)上證指數在 2017 年交易日的(de)日收益率序列取平均，把它作爲對(duì)總體均值 μ 的(de)一個(gè)估計。根據弱平穩性，該平均值也(yě)正是 2017 年 5 月(yuè) 16 日的(de)收益率均值。

同樣的(de)道理(lǐ)，在弱平穩的(de)假設下(xià)，可(kě)以根據曆史數據方便的(de)對(duì)時(shí)間序列的(de)諸多(duō)統計量進行推斷。在金融文獻中，也(yě)通(tōng)常假定投資品收益率序列是弱平穩的(de)。隻要有足夠多(duō)的(de)曆史數據，這(zhè)個(gè)假定可(kě)以用(yòng)實證方法驗證。比如，我們可(kě)以把數據分(fēn)成若幹個(gè)子集，并分(fēn)别計算(suàn)每個(gè)子集的(de)統計量，然後通(tōng)過統計的(de)手段檢驗這(zhè)些來(lái)自不同子集的(de)統計量的(de)一緻性。

需要說明(míng)的(de)是，即便是弱平穩性，有時(shí)金融數據也(yě)無法滿足。回想第二節中那個(gè)上證指數日收益率标準差的(de)圖，它清晰的(de)說明(míng)，在 2001 到 2017 年之間，标準差是随時(shí)間變化(huà)的(de)。這(zhè)意味著(zhe)在這(zhè)段時(shí)間内，收益率序列不滿足二階平穩性。對(duì)于此，我們可(kě)以通(tōng)過更複雜(zá)的(de)非線性模型對(duì)波動率建模（比如 GARCH），又或者可(kě)以把時(shí)間段細分(fēn)爲更短的(de)區(qū)間，使得(de)在每個(gè)小區(qū)間内的(de)收益率序列盡量滿足弱平穩性。

有了(le)上一節和(hé)本節的(de)内容做(zuò)鋪墊，下(xià)面我們就可(kě)以聊聊時(shí)間序列的(de)自相關性了(le)。

5 自相關性和(hé)自相關函數

假設我們有弱平穩的(de)投資品收益率序列 ｛r_t｝。自相關性考察的(de)是 t 時(shí)刻的(de)收益率 r_t 和(hé)距當前任意間隔 k 時(shí)刻的(de)收益率 r_(t-k) 之間的(de)線性相依關系（k 的(de)取值是所有 ≥ 0 的(de)整數）。由于 r_t 和(hé) r_(t-k) 來(lái)自同一個(gè)時(shí)間序列，因此我們将第三節中的(de)相關系數的(de)概念應用(yòng)到 r_t 和(hé) r_(t-k) 上，便推廣出自相關系數（autocorrelation）。

在弱平穩假設下(xià)，這(zhè)個(gè)間隔爲 k 的(de)自相關系數與時(shí)間 t 無關，而僅僅與間隔 k 有關，由 ρ_k 表示。由第三節中介紹的(de)相關系數的(de)定義可(kě)知：

上面的(de)推導中用(yòng)到了(le)弱平穩的(de)性質，即協方差和(hé)方差平穩性（換句話(huà)說，二階平穩性）。從這(zhè)個(gè)定義不難看出，當 k = 0 時(shí)有：

這(zhè)表示 r_t 的(de)間隔爲 0 的(de)自相關系數恒定爲 1。此外，ρ_k 還(hái)有如下(xià)的(de)性質：

和(hé)第三節一樣，上面定義的(de) ρ_k 是總體的(de)統計特性。實際中，我們仍然隻能通(tōng)過有限的(de)樣本數據來(lái)計算(suàn)樣本的(de)統計特性。令 ζ_k 爲與 ρ_k 對(duì)應的(de)樣本統計量，則有：

上式中，c_k 是 r_t 的(de)間隔爲 k 的(de)樣本自協方差（sample autocovariance of lag k）；ζ_k 爲 r_t 的(de)間隔爲 k 的(de)樣本自相關系數（sample autocorrelation of lag k）。如果把 ζ_k 看作是 k 的(de)方程，則它通(tōng)常被稱爲樣本自相關方程（sample autocorrelation function；同樣的(de)，ρ_k 爲總體自相關方程），它刻畫(huà)了(le)時(shí)間序列的(de)重要特性。利用(yòng)相關圖（correlogram）可(kě)以清晰地看到 ζ_k 是如何随間隔 k 變化(huà)的(de)。下(xià)圖爲兩個(gè)假想時(shí)間序列的(de)相關圖。它們呈現出完全不同結構的(de)自相關性。事實上，第一個(gè)相關圖的(de)時(shí)間序列存在明(míng)顯的(de)趨勢；而第二個(gè)相關圖的(de)時(shí)間序列存在明(míng)顯的(de)周期性。這(zhè)兩個(gè)例子說明(míng)相關圖可(kě)以告訴我們很多(duō)時(shí)間序列的(de)内在特性。

金融時(shí)間序列的(de)相關圖雖然遠(yuǎn)沒有這(zhè)兩個(gè)假象序列的(de)相關圖這(zhè)麽有結構，但相關圖在我們對(duì)時(shí)間序列建模時(shí)至關重要。之前已經說過，金融時(shí)間序列，特别是收益率序列，最重要的(de)特性是一些不容易被發現的(de)自相關性。（通(tōng)常股票(piào)的(de)收益率序列沒有季節性或者明(míng)顯的(de)趨勢性；即便是弱趨勢也(yě)可(kě)以由自相關性反應。）因此，拿來(lái)一個(gè)收益率序列，隻要畫(huà)出相關圖，就可(kě)以檢測該序列在任何間隔 k 有無統計上顯著的(de)自相關性。

對(duì)金融時(shí)間序列建模，最重要的(de)就是挖掘出該序列中的(de)不同間隔 k 的(de)自相關性。相關圖可(kě)以幫助我們判斷模型是否合适。這(zhè)是因爲金融時(shí)間序列的(de)特征中往往包括相關性和(hé)随機噪聲。如果模型很好的(de)捕捉了(le)自相關性，那麽原始時(shí)間序列與模型拟合的(de)時(shí)間序列之間的(de)殘差應該近似的(de)等于随機噪聲。殘差序列自然也(yě)是一個(gè)時(shí)間序列，因此可(kě)以對(duì)它畫(huà)出相關圖。一個(gè)标準随機噪聲的(de)自相關滿足 ρ_0 = 1 以及 ρ_k = 0, k = 1, 2, 3, …，即對(duì)于任意不爲 0 的(de)間隔，随機噪聲的(de)自相關均爲 0。下(xià)圖爲一個(gè)随機噪聲的(de)相關圖（我們是用(yòng)标準正态分(fēn)布構造了(le)有 500 個(gè)點的(de)随機噪聲序列）：

關于這(zhè)個(gè)圖：

因此，在評價對(duì)金融時(shí)間序列的(de)建模是否合适時(shí)，我們首先找到原始時(shí)間序列和(hé)它的(de)拟合序列之間的(de)殘差序列；然後隻要畫(huà)出這(zhè)個(gè)殘差序列的(de)相關圖就可(kě)以看到它是否含有任何模型未考慮的(de)額外自相關性：

6 下(xià)文預告

作爲金融時(shí)間序列分(fēn)析系列的(de)開篇，本文介紹金融時(shí)間序列的(de)特性和(hé)進行金融時(shí)間序列分(fēn)析的(de)目的(de)；并解釋時(shí)間序列分(fēn)析中的(de)核心概念：自相關性。對(duì)金融時(shí)間序列建模的(de)核心就是捕捉該序列中不同間隔上的(de)自相關性。相關圖可(kě)以清晰地刻畫(huà)任何一個(gè)時(shí)間序列在不同間隔的(de)自相關性。

在下(xià)一篇中，我們将會從最簡單的(de)白噪聲和(hé)随機遊走出發，說明(míng)它們無法有效刻畫(huà)投資品收益率序列中體現出來(lái)的(de)自相關性。這(zhè)會促使我們提出更高(gāo)級的(de)模型，包括 AR，MA，以及 ARMA。這(zhè)些模型背後的(de)理(lǐ)論是什(shén)麽？如何正确的(de)挑選模型的(de)參數以構建最适當的(de)模型？這(zhè)些将會在本系列後面幾篇文章(zhāng)中探討(tǎo)。

免責聲明(míng)：入市有風險，投資需謹慎。在任何情況下(xià)，本文的(de)内容、信息及數據或所表述的(de)意見并不構成對(duì)任何人(rén)的(de)投資建議(yì)。在任何情況下(xià)，本文作者及所屬機構不對(duì)任何人(rén)因使用(yòng)本文的(de)任何内容所引緻的(de)任何損失負任何責任。除特别說明(míng)外，文中圖表均直接或間接來(lái)自于相應論文，僅爲介紹之用(yòng)，版權歸原作者和(hé)期刊所有。