收益率預測的(de)貝葉斯收縮

作者：石川

摘要：投資品的(de)收益率預測在資産配置中格外重要。使用(yòng)貝葉斯框架來(lái)進行收益率期望的(de)預測可(kě)取得(de)不錯的(de)效果。

1 收益率預測

投資品的(de)收益率預測在資産配置中格外重要。馬科維茨的(de)現代資産配置理(lǐ)論之所以在實際中被專業投資機構诟病就是因爲它雖然簡單，但卻是建立在非常“嚴苛”的(de)假設下(xià)：即待配置的(de)投資品的(de)收益率的(de)期望和(hé)方差是已知的(de)（即可(kě)以預測的(de)）。一旦預測的(de)數值非常離譜，那麽資産配置效用(yòng)的(de)最大(dà)化(huà)就變成誤差的(de)最大(dà)化(huà)。

在收益率期望和(hé)方差中，期望的(de)預測比方差（以及不同投資品之間的(de)協方差）的(de)預測更加重要。Chopra and Ziemba（1993）的(de)研究表明(míng)，收益率期望的(de)誤差對(duì)資産配置的(de)影(yǐng)響比收益率方差（以及協方差）的(de)影(yǐng)響高(gāo)一個(gè)數量級。可(kě)見，收益率期望的(de)預測是最關鍵的(de)。然而，歐美(měi)大(dà)量學術界和(hé)業界的(de)研究表明(míng)，收益率期望的(de)預測是非常困難的(de)。但是，前赴後繼的(de)學術研究也(yě)逐漸證明(míng)，使用(yòng)貝葉斯框架來(lái)進行收益率期望的(de)預測能取得(de)不錯的(de)效果。

2 天平的(de)兩端

2.1 多(duō)因子模型

多(duō)因子模型的(de)核心就是選擇一些合适的(de)因子、并把投資品的(de)收益率看成這(zhè)些因子的(de)線性函數。然後利用(yòng)線性回歸确定因子的(de)參數。這(zhè)樣當因子有了(le)最新的(de)數值後，就可(kě)以利用(yòng)得(de)到的(de)線性方程得(de)到投資品收益率的(de)預測。最簡單的(de)多(duō)因子模型就是夏普的(de)資本資産定價模型 CAPM（Sharpe 1964）。該模型以市場(chǎng)組合的(de)（超額）收益率爲因子，把單個(gè)投資品的(de)（超額）收益率描繪爲該因子的(de)線性方程，單個(gè)投資品對(duì)該因子的(de)暴露就是衆人(rén)皆知的(de) beta，即系統風險系數。這(zhè)個(gè)模型由于隻有一個(gè)因子，因此是個(gè)單因子模型（多(duō)因子模型的(de)特例）。而在 CAPM 之後，最著名的(de)多(duō)因子模型就是法瑪-佛倫奇三因子模型（Fama and French 1993），該模型在 CAPM 的(de)基礎上引入市值和(hé)市淨率兩個(gè)因子對(duì)投資品的(de)收益率進行建模。

多(duō)因子模型的(de)優點是每個(gè)因子都有很強的(de)業務解釋。由于它們從業務出發，因此有一定的(de)預測性。此外，由于所有的(de)投資品都通(tōng)過相同的(de)業務因子進行預測，因此多(duō)因子模型具有很強的(de)結構性。然而，多(duō)因子模型的(de)缺點是，模型中的(de)有限個(gè)因子無法解釋投資品收益率面對(duì)的(de)所有風險；它們隻能解釋自身業務對(duì)應的(de)風險。因此，多(duō)因子模型的(de)預測是有偏的(de)（biased），是以忽略一部分(fēn)無法解釋的(de)風險爲代價的(de)。

2.2 基于曆史數據的(de)統計模型

顧名思義，基于曆史的(de)統計模型就是利用(yòng)投資品的(de)曆史數據求出樣本均值，并以該均值作爲未來(lái)收益率均值的(de)預測。例如，我們可(kě)以用(yòng)過去 26 期周收益率數據的(de)均值當做(zuò)下(xià)周周收益率均值的(de)預測。由于每個(gè)投資品的(de)預測隻用(yòng)到自己過去的(de)曆史數據，因此這(zhè)個(gè)模型是無結構性的(de)（它相當于每個(gè)投資品自成一個(gè)因子）。此外，基于曆史數據的(de)預測是無偏的(de)（unbiased），它可(kě)以反應每個(gè)投資品所暴露的(de)所有風險。但是，大(dà)量的(de)研究和(hé)投資實踐證明(míng)，投資品的(de)曆史收益率和(hé)未來(lái)收益率之間沒有太多(duō)必然的(de)聯系。換句話(huà)說，曆史數據均值對(duì)未來(lái)收益率均值的(de)預測性較差。

這(zhè)兩個(gè)模型的(de)優缺點總結如下(xià)。可(kě)見它們優劣勢互補，相當于站在天平的(de)兩端。

3 貝葉斯收縮

既然這(zhè)兩種方法各有千秋，一個(gè)自然的(de)想法就是能否把它們結合一下(xià)，得(de)到更加有效的(de)收益率期望預測。在這(zhè)方面，貝葉斯壓縮（Bayes shrinkage）是一個(gè)強有力的(de)工具（Jorion 1986，Harvey et. al. 2008）。

這(zhè)個(gè)“收縮”的(de)思路也(yě)可(kě)以推廣到投資品協方差矩陣的(de)預測（Ledoit and Wolf 2003）。此外，無論是單一投資品自己收縮還(hái)是多(duō)個(gè)投資品一起收縮，學術界都有非常多(duō)的(de)研究、取得(de)了(le)豐富的(de)成果。

參考文獻

Chopra, V. K. and W. T. Ziemba (1993). The effort of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice. Journal of Portfolio Management 19(2), 6 – 11

Fama, E. F. and K. R. French (1993). Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds. Journal of Financial Economics 33(1), 3 – 56.

Harvey, C. R., J. C. Liechty, M. W. Liechty (2008). Bayes vs. resampling: A rematch. Journal of Investment Management 6(1), 1 – 17

Jorion, P. (1986). Bayes-Stein estimation for portfolio analysis. Journal of Financial and Quantitative Analysis 21(3), 279 – 292

Ledoit, O. and M. Wolf (2003). Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection. Journal of Empirical Finance 10(5), 603 – 621

Sharpe, W. F. (1964). A theory of market equilibrium under conditions of risk. Journal of Finance 19(3), 425 – 442

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