Factor War 外傳

作者：石川
摘要：Novy-Marx 又出來(lái)搞事情。無論你同意與否，他(tā)都成功敲響了(le) wake-up call。

1 引言

自 Cochrane (2011) 的(de)铿锵三問以及 Harvey (2017) 的(de)大(dà)聲疾呼之後，學界在 factor zoo 的(de)問題上有所收斂，但卻将戰場(chǎng)引到了(le)模型之間的(de)比拼。近年來(lái)，學術界圍繞哪家多(duō)因子模型更勝一籌展開了(le)激烈的(de)競争。從 Barillas and Shanken (2018) 到 Fama and French (2018)，從 Hou et al. (2019, 2020) 到 Fama and French (2020)，各路神仙鬥的(de)不亦樂(yuè)乎。需要背景知識的(de)小夥伴請參考《從 Factor Zoo 到 Factor War：實證資産定價走向何方》以及《A New Norm ?》。一場(chǎng)轟轟烈烈的(de) factor war 絲毫沒有要停歇的(de)意思。而在這(zhè)場(chǎng)變革中，一位資深學者也(yě)不甘寂寞，他(tā)就是憑借 gross profitability 盈利因子一舉成名的(de) Robert Novy-Marx。

最近幾年，Novy-Marx 一直通(tōng)過寫作參與 factor war 這(zhè)個(gè)話(huà)題。而他(tā)的(de)很多(duō) empirical findings，雖然不一定所有人(rén)都同意，也(yě)足夠引起人(rén)們的(de)重視：在 p-hacking 之風盛行的(de)當下(xià)，多(duō)因子模型之間的(de) pk 到底産生了(le)多(duō)少價值？今天這(zhè)篇小文以《Factor War 外傳》爲題，圍繞 Novy-Marx 的(de)一些發現來(lái)再次審視 factor war 這(zhè)個(gè)問題。我個(gè)人(rén)的(de)觀點是，無論你是否同意他(tā)的(de)發現，Novy-Marx 都成功敲響了(le) wake-up call。

2 爲什(shén)麽 q-factor model 能解釋動量 ?

最近幾年，Hou, Xue, and Zhang (2015) 基于 q-theory 提出的(de) q-factor model 可(kě)謂大(dà)放異彩。無論是以定價 anomalies 還(hái)是不同模型的(de)因子之間相互解釋而言，q-factor model 都吊打包括 Fama and French (1993, 2015) 三/五因子模型在内的(de)諸多(duō)對(duì)手（關于不同模型的(de)介紹，見《主流多(duō)因子模型巡禮》）。q-factor model 包括市場(chǎng)、規模、投資和(hé)盈利四個(gè)因子；其中後兩者直接從 q-theory 推導而來(lái)。在 Hou, Xue, and Zhang (2015) 一文中，三位作者花了(le)不少筆墨通(tōng)過檢驗不同模型下(xià)異象的(de)定價錯誤高(gāo)低，并以此說明(míng) q-factor model 的(de)優秀。而其中一個(gè)令人(rén)印象深刻的(de)結果是，q-factor model 能夠輕而易舉的(de)解釋動量。下(xià)圖節選自該文的(de)表 4，其中 R6-6 以及 R11-1 代表兩個(gè)常見的(de)（中期）動量異象。在 q-factor 模型下(xià)，這(zhè)兩個(gè)異象 abnormal return 的(de) t-值僅分(fēn)别爲 0.71 和(hé) 0.54。

與其形成鮮明(míng)對(duì)比的(de)是這(zhè)兩個(gè)異象在 Fama-French 模型上的(de) abnormal returns，它們的(de) t-值均超過 4.0。衆所周知，由于無法被解釋，動量一直是 Fama-French 三、五因子模型的(de)“痛”，而這(zhè)也(yě)是爲什(shén)麽 Eugene Fama 在 Fama and French (2018) 中将動量視作一個(gè)因子加入了(le)模型，這(zhè)才有了(le)後來(lái)的(de) Fama-French 六因子模型之說（盡管如此，Fama 依然提倡謹慎地對(duì)待動量）。然而，動量異象在 q-factor model 之下(xià)神奇的(de)消失了(le)。更令人(rén)感到費解的(de)是，Fama and French (2015) 五因子模型同樣包含投資和(hé)盈利因子，但卻對(duì)動量無能爲力。那麽爲什(shén)麽 q-factor model 能夠解釋動量？是否 q-theory 和(hé)股票(piào)的(de) price momentum 有什(shén)麽瓜葛？對(duì)此，Novy-Marx (2018b) 給出了(le)自己的(de)看法：q-factor model 能夠解釋動量，僅僅是個(gè)美(měi)麗的(de)錯誤。

要搞清楚爲什(shén)麽 q-factor model 能夠解釋動量，就必須從理(lǐ)解它的(de)因子出發，而這(zhè)裏起到關鍵作用(yòng)的(de)就是其中基于單季度 ROE 來(lái)構造的(de)盈利因子。這(zhè)也(yě)成爲 Novy-Marx 抨擊的(de)對(duì)象。根據定義，Novy-Marx 将單季度 ROE 做(zuò)了(le)如下(xià)分(fēn)解：

式中 E 爲當季的(de) earnings，B_{-1} 爲滞後了(le)一個(gè)季度的(de) book value，E_{-4} 爲滞後 4 個(gè)季度的(de) earnings。根據上述分(fēn)解，單季度 ROE 被分(fēn)解成兩部分(fēn)：第一部分(fēn)爲 lagged-E/B，第二部分(fēn)爲 ΔE/B。如何理(lǐ)解這(zhè)兩個(gè)部分(fēn)呢(ne)？不妨先來(lái)看一張圖。

上圖顯示了(le)和(hé)單季度 ROE 有著(zhe)千絲萬縷關聯的(de)幾個(gè)變量構造的(de)異象投資組合的(de)累計收益曲線。這(zhè)些變量包括：PEAD（依照(zhào)學術界定義、使用(yòng) SUE 構造）、ΔE/B、E/B 以及 lagged-E/B，其中 E/B 是每年 6 月(yuè)末使用(yòng)年報中的(de) earnings 和(hé) book value 計算(suàn)的(de)盈利的(de)低頻(pín)分(fēn)量。實證數據顯示，PEAD 和(hé) ΔE/B 收益率的(de)相關性非常高(gāo)（80.9%；且回歸結果顯示 ΔE/B 其實就是一個(gè) PEAD 因子），而 E/B 和(hé) lagged-E/B 收益率的(de)相關性也(yě)非常高(gāo)（89.9%）。回顧 Novy-Marx (2018b) 對(duì)單季度 ROE 的(de)分(fēn)解，并結合上述實證結果，Novy-Marx 認爲單季度 ROE 中所包含的(de)兩項分(fēn)别爲低頻(pín)盈利分(fēn)量（lagged-E/B）和(hé)高(gāo)頻(pín)的(de) earnings innovation（ΔE/B）。而他(tā)認爲這(zhè)種混搭搞砸了(le)一切。

回歸分(fēn)析顯示，單季度 ROE 之所以能夠解釋動量是因爲其中的(de) ΔE/B 發揮了(le)作用(yòng)；由于 ΔE/B 是一個(gè) PEAD 因子，PEAD 也(yě)應能夠解釋動量。這(zhè)些結論在美(měi)股的(de)實證分(fēn)析中均得(de)到了(le)确認。然而，這(zhè)卻引出了(le)另一個(gè)問題，爲什(shén)麽 PEAD 能夠解釋動量？對(duì)于這(zhè)個(gè)問題，Novy-Marx (2018a) 也(yě)早有研究，該文的(de)标題簡潔的(de)概括了(le)他(tā)的(de)觀點：Fundamentally, momentum is fundamental momentum。他(tā)認爲股價的(de)動量是基本面動量的(de)體現，其内在的(de)核心是基本面的(de)動量，而 PEAD 是基本面動量的(de)一個(gè)很好的(de) measure，因此 PEAD 可(kě)以解釋動量。基于上述結果，單季度 ROE 之所以能夠解釋動量，是因爲其中的(de) ΔE/B 部分(fēn)，而非低頻(pín)盈利分(fēn)量。這(zhè)個(gè)結果似乎合情合理(lǐ)，它能夠很好地回答(dá)爲什(shén)麽 Fama-French 的(de)盈利因子對(duì)動量無能爲力，因爲他(tā)們的(de) RMW 盈利因子使用(yòng)的(de)年報數據，僅對(duì)應單季度 ROE 中的(de)低頻(pín)盈利分(fēn)量，而不包含 earnings innovation 部分(fēn)。

除了(le)動量外，另一個(gè)不能被 Fama-French 模型解釋但卻在 q-factor model 前面“敗下(xià)陣來(lái)”的(de)因子則是 Novy-Marx (2013) 自己提出的(de) gross profitability 盈利因子（以下(xià)記爲 PMU）。該因子在 q-factor model 下(xià)的(de) abnormal return 的(de) t-值僅爲 0.71。爲此，Novy-Marx (2018b) 也(yě)對(duì)此進行了(le)分(fēn)（pi）析（pan）。Again，q-factor model 能夠解釋 PMU 也(yě)是一個(gè)錯誤。爲了(le)說明(míng)這(zhè)一點，仍然将 ROE 拆成低頻(pín)盈利 + 高(gāo)頻(pín) earnings innovation 兩部分(fēn)，并通(tōng)過不同的(de)解釋變量來(lái)解釋 PMU。下(xià)表給出了(le)實證結果。模型（3）-（5）顯示加入了(le) ROE 之後，确實可(kě)以解釋 PMU（α 的(de) t-值不超過 1.60）。然而在模型（6）和(hé)（7）中，當使用(yòng) lagged-E/B 和(hé) ΔE/B 替代 ROE 時(shí)，結果卻出乎意料 —— PMU 無法被解釋，其 abnormal return 的(de) t-值在這(zhè)兩個(gè)模型設定下(xià)分(fēn)别爲 2.19 和(hé) 3.24。

爲什(shén)麽會出現這(zhè)種背離，即單季度 ROE 作爲一個(gè)整體可(kě)以解釋 PMU，但當把它拆開稱爲低頻(pín)盈利 + 高(gāo)頻(pín) earnings innovation 後卻不再能解釋 PMU 了(le)呢(ne)？實證結果顯示，單季度 ROE 中的(de)低頻(pín)分(fēn)量很大(dà)程度上和(hé) PMU 因子 co-vary（這(zhè)很好理(lǐ)解，因爲 PMU 也(yě)用(yòng)的(de)年報的(de)數據），而單季度 ROE 中的(de)高(gāo)頻(pín) ΔE/B 自身有很高(gāo)的(de)溢價（它就是個(gè) PEAD 嘛，它也(yě)是 ROE 高(gāo)溢價的(de)來(lái)源）。二者的(de)共同作用(yòng)導緻單季度 ROE 和(hé) PMU 有很強的(de)相關性（來(lái)自低頻(pín)分(fēn)量），且 ROE 的(de)高(gāo)溢價（來(lái)自高(gāo)頻(pín)分(fēn)量）又很大(dà)程度上解釋了(le) PMU 的(de)高(gāo)溢價，二者疊加造成單季度 ROE 解釋 PMU。一旦将二者的(de)混搭拆開，變成兩個(gè)單獨的(de)因子，由于 PMU 僅和(hé)低頻(pín)分(fēn)量高(gāo)度相關、但低頻(pín)分(fēn)量沒有什(shén)麽溢價，因此 PMU 無法再被解釋。綜上所述，單季度 ROE 能夠解釋 PMU 隻是個(gè)錯誤。

結合上面的(de)實證結果和(hé)討(tǎo)論可(kě)知，雖然單季度 ROE 能夠解釋動量和(hé) gross profitability，但發揮作用(yòng)的(de)均是其中的(de) earnings innovation 部分(fēn)（前者的(de)原因是價格動量由基本面動量驅動；後者的(de)原因僅僅是混搭造成的(de)錯誤），而非真正的(de)低頻(pín)盈利分(fēn)量。因此，Novy-Marx 指出 q-factor model 中基于單季度 ROE 構造的(de)因子并非盈利因子，而是一個(gè) PEAD 因子（ΔE/B 背後的(de)驅動原因是 PEAD），它和(hé) q-theory 沒什(shén)麽關系。這(zhè)挑戰了(le) q-factor model 的(de)根基。

3 Cost Matters

相比于 Novy-Marx (2018b) 僅僅針對(duì) q-factor model 來(lái)分(fēn)析，他(tā)和(hé)兩位合作者的(de)另一篇新作（Detzel, Novy-Marx, and Velikov 2019）則討(tǎo)論了(le)所有常見的(de)多(duō)因子模型。該文比較了(le)下(xià)表中的(de)模型。需要說明(míng)的(de)是，這(zhè)篇文章(zhāng)目前還(hái)沒被挂在 SSRN 上，但從網上依然能找到一些頗有意思的(de)結果。

在研究多(duō)因子模型時(shí)，test assets 和(hé) factor model 同樣重要。一般來(lái)說，各種異象被用(yòng)來(lái)當作 test assets（見《Which test assets ?》）。從資産定價的(de)角度來(lái)說，在檢驗多(duō)因子模型時(shí)，無論異象和(hé)因子的(de)收益率均不需要考慮交易成本（學術界也(yě)是這(zhè)麽做(zuò)的(de)）。然而，由于 p-hacking 的(de)問題，大(dà)量挖出的(de)異象都是虛假的(de)，在樣本外以及考慮了(le)合理(lǐ)的(de)交易成本後根本無法獲得(de)顯著的(de)超額收益。

爲此，不少學者主張考慮了(le)成本之後的(de)異象才對(duì)投資實務有價值。在這(zhè)個(gè)背景下(xià)，一個(gè)關聯的(de)問題是，當 test assets 的(de)收益率考慮了(le)交易成本後，多(duō)因子模型中的(de) factor returns 是否也(yě)應該扣掉交易費用(yòng)？顯然，使用(yòng)理(lǐ)論的(de) on paper 因子收益率檢驗扣除交易成本的(de)異象收益率并不合理(lǐ)。因此，這(zhè)個(gè)問題的(de)答(dá)案應該是肯定的(de)。Campbell Harvey 教授也(yě)強調過這(zhè)一點。（順便提一句：順著(zhe)這(zhè)個(gè)思路，使用(yòng)理(lǐ)論的(de)因子收益率分(fēn)析基金經理(lǐ)實際交易出來(lái)的(de)策略的(de)收益率，也(yě)會造成基金經理(lǐ)超額收益結果被低估，因此不夠合理(lǐ)。）

因此，任你一個(gè)多(duō)因子模型中的(de)因子的(de)理(lǐ)論收益率再高(gāo)，由因子 span 得(de)到的(de) tangency portfolio 的(de)夏普率再大(dà)，若沒有考慮交易成本也(yě)是白搭。正是在上述背景下(xià)，Detzel, Novy-Marx, and Velikov (2019) 一文分(fēn)析了(le)不同模型在考慮了(le)交易成本之後的(de)效果。結果嘛，至少在該文的(de)樣本中，Fama and French 依然笑(xiào)到了(le)最後；而 q-factor model 真是情何以堪。

爲了(le)确保結果的(de)客觀性，我也(yě)查到了(le)另外一篇文獻（Chabi-Yo, Goncalves, and Loudis 2020），它也(yě)得(de)到了(le)類似的(de)結果（僅看下(xià)圖中 panel a 即可(kě)）。有意思的(de)是，雖然 q-factor model（圖中 q4）在考慮了(le)成本後和(hé) Fama-French 系列模型沒啥差異，但是 q5（Hou et al. 2020）依然很優秀。

不管怎樣，本小節介紹問題爲多(duō)因子模型的(de)比較提出了(le)新的(de)挑戰。在《因子投資：方法與實踐》的(de)第 4.4 節中，我們討(tǎo)論了(le)多(duō)因子模型的(de)簡約性問題，并指出随著(zhe)模型複雜(zá)度的(de)提升，模型總能解釋越來(lái)越多(duō)的(de)異象。當更高(gāo)的(de)交易成本伴随更複雜(zá)的(de)因子（使用(yòng)多(duō)個(gè)變量構造）或包含更多(duō)因子的(de)模型而來(lái)時(shí)，人(rén)們就不得(de)不考慮它的(de)影(yǐng)響。而當考慮了(le)交易成本之後，很多(duō)先前的(de)認知和(hé)實證結果就會被打破。

4 思考

本文的(de)二、三小結以 Novy-Marx 和(hé)其合作者的(de)兩篇論文爲背景，介紹了(le) factor war 的(de)最新進展。除此之外，還(hái)有一個(gè)小插曲值得(de)品味。在 Novy-Marx (2018b) 的(de)腳注 1 中，他(tā)也(yě)對(duì) q-factor model 的(de) ROE 因子是否存在使用(yòng)未來(lái)數據也(yě)有質疑。這(zhè)裏的(de)未來(lái)數據指的(de)是在曆史時(shí)點錯誤使用(yòng)事後修正的(de)數據。

對(duì)美(měi)股而言，Compustat 有很多(duō)數據庫（下(xià)圖）。根據不同數據庫的(de)說明(míng)，Snaphot、Point-in-Time、Unrestated Quarterly 應不存在上述未來(lái)數據問題。但如果使用(yòng) Historical 數據庫，由于它使用(yòng)修正的(de)數據覆蓋原始數據，且不保留原始數據，因此就會出現上述問題。從官方介紹可(kě)知，不存在問題的(de)數據庫的(de)季度數據僅能追溯到 1987 年。

而另一方面，Hou, Xue, and Zhang (2015) 的(de)實證區(qū)間從 1972 年開始。這(zhè)意味著(zhe)其僅能使用(yòng) Historical 數據庫，因此也(yě)就難逃修正造成的(de)未來(lái)數據的(de)問題，一如 Novy-Marx (2018b) 指出的(de)那樣。

前文《q-factor model 往事》曾介紹過 q-factor model 誕生背後的(de)種種，也(yě)提到了(le) Novy-Marx 在其中發揮的(de)微妙作用(yòng)。因此，實在不理(lǐ)解爲什(shén)麽他(tā)對(duì) q-factor model 這(zhè)麽大(dà)“意見”。當然，我們關心的(de)也(yě)不是他(tā)和(hé) q-factor model 的(de)恩怨情仇，而是從這(zhè)些實證研究中到底能夠獲得(de)怎樣的(de)啓發。

作爲本文的(de)結尾，下(xià)面就簡要談談對(duì) factor war 的(de)思考（特别感謝 [因子動物(wù)園] 園長(cháng)和(hé)我進行的(de)深入探討(tǎo)）。首先來(lái)說 Novy-Marx (2018b) 對(duì)單季度 ROE 的(de)拆解以及實證結果。無論人(rén)們是否同意他(tā)的(de)做(zuò)法，該文的(de)結果都在呼籲不應該僅僅因爲一個(gè)模型能夠解釋更多(duō)的(de)異象就簡單粗暴的(de)理(lǐ)解它更好。如果從模型提出的(de)機制出發，它不應該能解釋某個(gè)異象（比如 Daniel, Hirshleifer, and Sun 2020 三因子模型從原理(lǐ)上就不應該解釋 size，而它也(yě)确實無法解釋 size）但實證結果卻矛盾，那麽就值得(de)深思。而這(zhè)其實也(yě)引出了(le)更一般的(de)問題，即多(duō)因子模型的(de)評價很大(dà)程度上取決于 test assets 的(de)選擇。而使用(yòng)各種異象作爲 test assets 也(yě)并非最合理(lǐ)的(de)處理(lǐ)方式（見《Which test assets ?》）。當評價結果非常依賴 test assets 而 test assets 本身又沒有定論時(shí)，以此爲判定依據的(de) factor war 就沒有價值。抛開 test assets 不說，如果以 tangency portfolio 的(de)夏普率來(lái)評判，那就要考慮本文第三節提到的(de)問題：cost matters。在這(zhè)個(gè)問題上，學界顯然也(yě)還(hái)有很長(cháng)的(de)路要走。而 Fama and French (2018) 也(yě)曾呼籲，以最大(dà)化(huà) tangency portfolio 夏普率來(lái)挑選因子實在是本末倒置。

除了(le)上述幾點，[因子動物(wù)園] 園長(cháng)還(hái)補充了(le) Bryzgalova, Huang, and Julliard (2020) 一文，對(duì) factor war 提出了(le)新的(de)見解。該文基于 51 個(gè)因子的(de)所有可(kě)能組合，構造了(le) 2.25 × 10^15 個(gè)模型（對(duì)，10 的(de) 15 次方……），然後使用(yòng)貝葉斯方法發現概率最大(dà)的(de) 1000 個(gè)模型的(de)概率之和(hé)非常低，即真實模型的(de)分(fēn)布相當離散。如果有相對(duì)占優的(de)模型，參照(zhào)一般的(de)統計規律，不同模型爲真的(de)概率應該是幂律變化(huà)的(de)，但候選因子模型的(de)表現顯然并非如此。也(yě)許，factor war 永遠(yuǎn)不會有答(dá)案，而我們也(yě)不應在這(zhè)個(gè)問題上糾結下(xià)去。

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