Portfolio Sort 的(de)源起、中興和(hé)未來(lái)

發布時(shí)間：2024-02-23 | 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作者：石川

摘要：Portfolio Sort 是實證資産定價和(hé)因子投資中的(de)常見方法。本文帶你了(le)解 Portfolio Sort 的(de)源起，中興和(hé)未來(lái)。

1 源起

資産定價的(de)研究目标是解釋不同資産的(de)預期收益率在截面上的(de)差異。爲了(le)構造因子、或者爲了(le)檢驗給定的(de)定價模型，選擇适當的(de)資産（被稱爲 test assets）十分(fēn)關鍵。在這(zhè)方面，一個(gè)自然的(de)想法是使用(yòng) individual assets，比如個(gè)股。但是個(gè)股層面巨大(dà)的(de) idiosyncratic noise 使得(de)估計得(de)到的(de) beta 誤差很大(dà)，造成 errors-in-variables（EIV）等問題。

正因如此，在最早檢驗 CAPM 的(de)時(shí)候，無論是 Black, Jensen, and Scholes (1972) 還(hái)是 Fama and MacBeth (1973) 都選擇使用(yòng)投資組合代替個(gè)股。具體而言，他(tā)們将個(gè)股按照(zhào)其曆史 beta 的(de)大(dà)小排序，然後構成不同的(de)投資組合，并檢驗這(zhè)些投資組合的(de)收益率和(hé) beta 的(de)關系。這(zhè)背後隐含的(de)邏輯是，個(gè)股 beta 的(de)估計誤差相互抵消，因此投資組合的(de) beta 估計值更準确。

這(zhè)就是最早的(de) portfolio sort。

2 中興

然而，真正讓 portfolio sort 成爲實證研究标配的(de)是 Fama and French (1992, 1993)。Fama 和(hé) French 利用(yòng) portfolio sort 分(fēn)别研究了(le) size、value 等異象并提出了(le) Fama-French 三因子模型。頗爲有意思的(de)是，在研究異象的(de)時(shí)候，股票(piào)被分(fēn)爲 10 組；然而在構造因子的(de)時(shí)候，股票(piào)則是依照(zhào)市值和(hé) BM 分(fēn)别被分(fēn)爲了(le)兩組和(hé)三組（下(xià)圖展示了(le) SMB 和(hé) HML 兩個(gè)因子的(de)構造方法）。

構造因子時(shí)的(de)分(fēn)組數通(tōng)常小于研究異象時(shí)的(de)分(fēn)組數。這(zhè)背後的(de)邏輯并不難理(lǐ)解：爲了(le)控制市值的(de)影(yǐng)響，構造因子往往使用(yòng)目标變量和(hé)市值獨立雙重排序。如果每個(gè)變量下(xià)分(fēn)的(de)組太多(duō)，那麽一些投資組合可(kě)能就沒有足夠數量的(de)股票(piào)。

作爲實證研究的(de)典範，Fama 和(hé) French 開創的(de)傳統被自然而然地延續了(le)下(xià)來(lái)。後續的(de)一衆實證研究，在通(tōng)過 portfolio sort 研究異象時(shí)，無不采用(yòng) 10 組的(de)劃分(fēn)；而當構造因子時(shí)，使用(yòng)的(de)組數則要少得(de)多(duō)。John Cochrane 在 AFA 主席演講時(shí)，關于 portfolio sort 曾評價道：

上述選擇組數的(de)做(zuò)法聽(tīng)上去是如此的(de)理(lǐ)所應當，以至于沒有誰會質疑它的(de)合理(lǐ)性。然而事實真的(de)如此嗎？從數學上說，portfolio sort 其實就是 nonparametric cross-sectional regression estimator。Cochrane (2011) 裏面的(de)這(zhè)張圖清晰地表明(míng)了(le)這(zhè)一點。

作爲一個(gè) nonparametric/kernel estimator，portfolio sort 卻是一個(gè)非标準化(huà)的(de)方法。比如，從 kernel estimator 的(de)角度來(lái)理(lǐ)解，每個(gè)分(fēn)組中的(de) asset 的(de)收益率估計值就由其所在組的(de)所有 assets 的(de)收益率均值決定。然而，portfolio sort 的(de)非标準之處在于臨界資産的(de)分(fēn)組。比如，以上圖中的(de) log(B/M) 爲例，如果某個(gè)公司的(de)數值稍稍小了(le)一點，那麽它就可(kě)能被劃分(fēn)到第 1 組，如果它的(de)數值稍稍高(gāo)了(le)一些，它就會被劃分(fēn)到第 2 組。這(zhè)種跳變和(hé) kernel regression 中常見的(de) kernel 完全不同（比如 Gaussian kernel）。因此，盡管 portfolio sort 簡單好用(yòng)且在實證研究中發揮了(le)重要的(de)作用(yòng)，但人(rén)們對(duì)它的(de)統計特性卻知之甚少。

除了(le)上面提到的(de)問題之外，另一個(gè)問題是股票(piào)數據是 unbalanced data，意味著(zhe)截面上的(de)股票(piào)個(gè)數會随時(shí)間會發生巨大(dà)的(de)變化(huà)。以下(xià)圖爲例，它展示了(le) CRSP 中所有股票(piào)以及 NYSE 上市的(de)股票(piào)的(de)數量随時(shí)間的(de)變化(huà)。就全部股票(piào)而言，在 1960 年之前截面上不足 2000 支股票(piào)；然後在 70 年代發生了(le)跳變，并在 90 年代上升至将近 8000 支；最近 20 年又逐漸下(xià)降至 4000 支。面對(duì)如此巨變的(de)截面股票(piào)數量，我們不禁要問，忽視股票(piào)數量的(de)變化(huà)而一直采用(yòng) 10 分(fēn)組是否合理(lǐ)？如果不甚合理(lǐ)，那麽應該如何确定最優的(de)分(fēn)組數？這(zhè)個(gè)最優的(de)分(fēn)組數又是否和(hé)截面上的(de)股票(piào)數量有關？

毫無疑問，繼承自 Fama and French 的(de) portfolio sort 承載和(hé)見證了(le)實證研究的(de)過去。但展望未來(lái)，通(tōng)過将 portfolio sort 視爲 nonparametric estimator，了(le)解其性質，并回答(dá)上面提到的(de)那些問題，才代表著(zhe)實證研究方法的(de)進步。

3 未來(lái)

Cattaneo et al. (2020) 對(duì)上述問題進行了(le)系統的(de)回答(dá)。該文通(tōng)過将 portfolio sort 視爲一個(gè) nonparametric estimator，提出了(le)一個(gè)關于它的(de)估計和(hé)推斷的(de)通(tōng)用(yòng)框架，并介紹了(le)有效的(de)漸近推斷方法。它通(tōng)過最小化(huà)估計量的(de)均方誤差，爲挑選最優分(fēn)組數提供了(le)理(lǐ)論依據。他(tā)們的(de)研究發現，最優的(de)分(fēn)組數和(hé)總的(de)期數以及截面上的(de)資産個(gè)數二者皆密切相關。我們借用(yòng)該文的(de)圖 1 從直覺上理(lǐ)解一下(xià)背後的(de)原因。

爲了(le)簡化(huà)討(tǎo)論，假設截面上資産個(gè)數不随時(shí)間變化(huà)。先看圖中的(de)第一行，顯示了(le) $J=4$ （即分(fēn) 4 組）的(de)情況。首先最左邊 $J=4, T=1$ 是隻有一期數據得(de)到的(de)分(fēn)組結果。當 $T=2$ 時(shí)，由于每個(gè)截面的(de)投資組合是分(fēn)别形成的(de)，因此 estimator 變得(de)更爲複雜(zá)（是兩個(gè)截面分(fēn)組的(de)平均）。第一行最右側展示了(le)當 $T=50$ （典型的(de)實證研究往往有數百期月(yuè)頻(pín)數據）時(shí)的(de)結果。從這(zhè)三張圖可(kě)以看到，整個(gè)過程中我們保持分(fēn)組數 $J$ 不變，然而 $T$ 的(de)增加使得(de) estimator 更加平滑。實證研究對(duì)于 $T$ 增加導緻的(de)平滑如何影(yǐng)響 estimator 并沒有充分(fēn)的(de)認識，而這(zhè)個(gè)結果也(yě)暗示著(zhe) $J$ 的(de)選擇與 $T$ 有關。

另一方面，圖中第二行考察了(le) $J=10$ 的(de)情況，從左到右仍然依次是 $T=1，T=2$ 以及 $T=50$ 。将這(zhè)兩行的(de)結果放在一起比較，可(kě)以看到偏差和(hé)方差之間的(de)權衡。當 $J$ 很小時(shí)，每組内的(de)資産很多(duō)，因此 estimator 的(de)方差較低，但是由于可(kě)能包含了(le)很多(duō)無關的(de)資産，因此偏差會很大(dà)。另一方面，當 $J$ 很大(dà)時(shí)，偏差會降低，而方差則會增大(dà)。因此，最優的(de)J應該由具體研究的(de)數據特征來(lái)決定。爲了(le)保持估計量的(de)一緻性，随著(zhe)總的(de)期數以及截面上資産個(gè)數的(de)增大(dà)， $J$ 應快(kuài)速增大(dà)以減少偏差，但同時(shí)又不能變化(huà)太快(kuài)以避免方差的(de)激增。

最終，Cattaneo et al. (2020) 給出了(le)如下(xià)結果： $t$ 期最優的(de)分(fēn)組數 $J_t$ 和(hé)總的(de)期數T以及截面上的(de)資産個(gè)數 $n_t$ 的(de)關系爲

$\displaystyle J_t=Kn_t^{1/2}T^{1/4},$

其中 $K$ 是一個(gè)依賴于數據生成過程的(de)常數。對(duì)應到實證，最優的(de)分(fēn)組數遠(yuǎn)大(dà)于常見的(de) 10 組這(zhè)個(gè)選擇，随截面上 assets 個(gè)數不同，最優的(de)分(fēn)組數的(de)變化(huà)範圍從數十到上百。值得(de)一提的(de)是，上述公式是對(duì)于構造異象而言。對(duì)于構造因子，Cattaneo et al. (2020) 給出了(le)一個(gè)類似的(de)關系。

在實證方面，該文以 size 和(hé) momentum 爲例，對(duì)比了(le)他(tā)們的(de)方法和(hé)傳統的(de)分(fēn) 10 組方法（下(xià)圖展示了(le)動量的(de)結果，左側爲該文的(de)方法，右側爲常規的(de) portfolio sort 結果）。從結果可(kě)知，1980 到 2015 這(zhè)個(gè)實證區(qū)間中，投資于過去的(de)輸家所導緻的(de)損失在增大(dà)：在整個(gè)實證區(qū)間内，輸家組的(de)平均收益率約爲 $-0.8\%$ ，而在 1980-2015 的(de)區(qū)間内這(zhè)個(gè)數值下(xià)降到 $-1.5\%$ 。因此，動量因子的(de)空頭部分(fēn)使該因子在這(zhè)個(gè)區(qū)間更加有利可(kě)圖，且這(zhè)一結論在排除金融危機等情況下(xià)依然穩健。反觀傳統的(de) portfolio sort 方法，它并不能提供同樣的(de)發現。

除單變量排序外，Cattaneo et al. (2020) 還(hái)對(duì)他(tā)們的(de) estimator 進行了(le)擴展，使其可(kě)以同時(shí)考慮多(duō)個(gè)變量，進行多(duō)變量排序。鑒于雙重排序在構造因子時(shí)十分(fēn)常見，這(zhè)種擴展顯得(de)尤爲必要。但另一方面，和(hé)傳統的(de)多(duō)變量排序一樣，他(tā)們的(de) estimator 也(yě)受到維數災難的(de)影(yǐng)響，即随著(zhe)用(yòng)于排序的(de)變量的(de)數量的(de)增加，其性能會下(xià)降。爲了(le)解決這(zhè)個(gè)問題，他(tā)們進一步允許其他(tā)條件變量以參數的(de)形式進入模型。這(zhè)種拓展在 portfolio sort 和(hé) cross-sectional regression 之間實現了(le)一定程度的(de)融合，但又不像純粹的(de) regression 那樣施加了(le)參數化(huà)的(de)假設，因此更加靈活。

無論是構造定價因子，還(hái)是構造 test assets 來(lái)檢驗多(duō)因子模型，portfolio sort 都至關重要。優秀的(de) test assets 應該能體現出資産收益率在 cross-section 的(de)差異。從這(zhè)個(gè)角度上說，忽視數據的(de)特征而對(duì)所有變量都一視同仁、分(fēn)成 10 組的(de)做(zuò)法确實略顯粗糙。Cattaneo et al. (2020) 爲 portfolio sort 确定最優分(fēn)組數量提供了(le)一種數據驅動方法，并表明(míng)最優分(fēn)組數量随期數以及截面上資産的(de)個(gè)數而變化(huà)，爲今後關于異象和(hé)因子的(de)研究提供了(le)新的(de)啓發。

參考文獻

Black, F., M. C. Jensen, and M. Scholes (1972). The capital asset pricing model: Some empirical tests. In M. C. Jensen (Ed.), Studies in the Theory of Capital Markets. New York, NY: Praeger.

Cattaneo, M. D., R. K. Crump, M. H. Farrell, and E. Schaumburg (2020). Characteristic-sorted portfolios: Estimation and inference. Review of Economics and Statistics 102(3), 531 – 551.

Cochrane, J. H. (2011). Presidential address: Discount rates. Journal of Finance 66(4), 1047 – 1108.

Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: Empirical tests. Journal of Political Economy 81(3), 607 – 636.

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