Risk-Return Tradeoffs (II)

許多(duō)論文拓展了(le)隐性條件因子模型 (4.8) 中關于 beta 的(de)設定。IPCA 可(kě)以被視爲使用(yòng)可(kě)觀察特征數據的(de)線性變化(huà)來(lái)近似風險暴露。盡管許多(duō)資産定價模型預測預期收益率和(hé)狀态變量之間存在非線性關系，但在篩選條件變量和(hé)挑選函數形式方面，理(lǐ)論文獻能夠提供的(de)指引十分(fēn)有限。機器學習(xí)的(de)出現使人(rén)們能夠用(yòng)一系列的(de)非線性方法來(lái)應對(duì)函數形式的(de)模糊性。

在早期的(de)研究中，Connor et al. (2012) 和(hé) Fan et al. (2016b) 通(tōng)過将 beta 視爲條件特征的(de)非參數函數，從而實現 beta 的(de)非線性設定（但與 IPCA 不同，爲了(le)可(kě)解釋性，這(zhè)些特征在時(shí)間維度上是固定的(de)）。利用(yòng)這(zhè)一框架，Kim et al. (forthcoming) 研究了(le)能夠對(duì)沖掉因子風險的(de)“套利”組合的(de)行爲。

Gu et al. (2021) 利用(yòng)神經網絡将 beta 表述爲特征的(de)非線性函數，從而擴展了(le) IPCA 模型。圖 4.3 展示了(le)他(tā)們的(de)“條件自編碼器”（CA）模型。圖 4.3 揭示了(le)其基本結構，該結構與 (4.8) 的(de)不同之處在于，它通(tōng)過非線性激活函數傳遞輸入數據（工具變量  ）。CA 是首個(gè)明(míng)确同時(shí)考慮風險和(hé)收益的(de)股票(piào)收益率深度學習(xí)模型。其結果表明(míng)，盡管就總體  而言 CA 和(hé) IPCA 表現相當，但在預測性  方面，它大(dà)大(dà)超過了(le) IPCA。換句話(huà)說，CA 能夠更準确地計算(suàn)資産因暴露于因子風險而獲得(de)的(de)條件補償。（譯者注：如果使用(yòng)線性激活函數，則 CA 基本上和(hé) IPCA 等價；但由于使用(yòng)了(le)非線性激活函數，從而使 CA 能夠描述協變量和(hé)收益率之間潛在的(de)非線性關系。不過從他(tā)人(rén)後來(lái)複現的(de)實證結果來(lái)看，雖然 CA 因能捕捉非線性而更具潛力，但是 IPCA 在樣本外的(de)表現似乎始終優于 CA。）

Gu et al. (2021) 是一個(gè)高(gāo)度複雜(zá)的(de)模型。其出色的(de)實證表現暗示著(zhe)，對(duì)于因子模型而言，複雜(zá)性提升帶來(lái)的(de)好處可(kě)能與 Kelly et al. (2022a) 在市場(chǎng)擇時(shí)研究中所發現的(de)效果類似（譯者注：即複雜(zá)度可(kě)以提升樣本外表現。）。Didisheim et al. (2023) 正式提出了(le)上述觀點并證明(míng)了(le)因子定價模型中複雜(zá)性的(de)優越性。他(tā)們的(de)分(fēn)析是基于條件随機貼現因子（SDF）視角展開。一般而言，SDF 可(kě)以被表述爲一組風險資産的(de)投資組合：

其中，  是  個(gè)資産的(de)超額收益率向量。  維向量  包含 SDF 的(de)條件權重，  代表  期信息集的(de)條件變量。由于不知道  的(de)函數形式，我們用(yòng)機器學習(xí)模型來(lái)近似它：

其中  是  的(de)某個(gè)非線性函數，且在上述近似中的(de)  相應的(de)參數數量  很大(dà)。該關于 SDF 的(de)機器學習(xí)模型可(kě)以解釋爲具有  個(gè)因子的(de)因子定價模型：

其中每個(gè)“因子”  是使用(yòng)非線性資産“特征”   爲權重的(de)風險資産的(de)投資組合（managed portfolio）。Didisheim et al. (2023) 的(de)主要理(lǐ)論結果顯示，在資産定價模型中因子越多(duō)越好。在該設定下(xià)，增加因子個(gè)數意味著(zhe)更充分(fēn)利用(yòng)  所包含的(de)信息，從而可(kě)以使用(yòng)相應的(de)方法更好地近似真正的(de) SDF。對(duì)于 SDF 的(de)更優近似将勝過了(le)需要估計更多(duō)參數所帶來(lái)的(de)統計成本。因此，随著(zhe)因子數量的(de)增加，樣本外的(de)預期定價誤差将減小。這(zhè)種關于模型複雜(zá)度的(de)解釋對(duì)傳統的(de) APT 構成了(le)挑戰，後者主張隻需少量的(de)風險因子便能夠爲任何可(kě)交易資産提供有關風險-收益率權衡的(de)完整描述（譯者注：APT 沒有這(zhè)個(gè)要求。）。這(zhè)意味著(zhe)，即使在套利不存在且 SDF 存在的(de)前提下(xià)，由于我們必須估計 SDF，因此很有可(kě)能（實際上是可(kě)以預見的(de)）将持續不斷地找到不能被已有因子定價的(de)新的(de)實證“風險”因子，而将它們加入定價模型将不斷地提高(gāo)其樣本外的(de)表現。

4.5 高(gāo)頻(pín)模型

随著(zhe)可(kě)交易資産越來(lái)越多(duō)的(de)以及它們的(de)高(gāo)頻(pín)交易數據越來(lái)越多(duō)，數據可(kě)得(de)性的(de)提升爲估計單個(gè)資産的(de)風險及其相互依賴性提供了(le)獨特的(de)機會。通(tōng)過簡單的(de)非參數化(huà)波動率和(hé)協方差，Andersen and Bollerslev (1998)、Andersen et al. (2001) 以及 Barndorff-Nielsen and Shephard (2002) 展示了(le)如何利用(yòng)豐富且及時(shí)的(de)日内價格數據更好地了(le)解資産市場(chǎng)的(de)波動。使用(yòng)高(gāo)頻(pín)指标有助于解決研究低頻(pín)時(shí)間序列時(shí)面對(duì)的(de)若幹挑戰。例如，它幫助研究者在無需依賴太多(duō)假設的(de)前提下(xià)，來(lái)處理(lǐ)結構性變化(huà)和(hé)時(shí)變的(de)參數。此外，對(duì)于日内數據建模而言，經典時(shí)間序列分(fēn)析中關于線性、平穩性、依賴性和(hé)異方差性的(de)許多(duō)标準假設往往是不必要的(de)。

在最新的(de)文獻中，我們發現存在兩大(dà)流派，它們均采用(yòng)機器學習(xí)技術來(lái)估計高(gāo)維協方差矩陣，并利用(yòng)高(gāo)頻(pín)數據提高(gāo)波動率預測的(de)準确性。

對(duì)于成功構建投資組合而言，準确的(de)協方差估計至關重要。但是，由于維數災難問題，估計高(gāo)維協方差矩陣是一個(gè)極具挑戰性的(de)統計問題。許多(duō)方法依賴于各種形式的(de)收縮以改進估計（Bickel and Levina 2008a; Bickel and Levina 2008b; Cai and Liu 2011; Ledoit and Wolf 2012; Ledoit and Wolf 2004）。受 APT 啓發，Fan et al. (2008) 考察了(le)包含可(kě)觀測因子的(de)嚴格因子模型，并提出了(le)基于因子模型的(de)協方差矩陣估計量，而 Fan et al. (2013) 則轉而研究了(le)包含隐性因子的(de)近似因子模型，并提出了(le)相應的(de)估計量。

當面闆數據的(de)（橫截面）維度接近樣本大(dà)小時(shí)，在高(gāo)頻(pín)數據中使用(yòng)因子結構式必要的(de)。然而，低頻(pín)和(hé)高(gāo)頻(pín)數據中的(de)計量經濟學方法在本質上存在差異。後者通(tōng)常基于一個(gè)通(tōng)用(yòng)的(de)連續時(shí)間半鞅模型，允許收益率的(de)變化(huà)中出現随機變化(huà)和(hé)跳躍。針對(duì)日内數據，Ait-Sahalia and Xiu (2019) 提出了(le)非參數 PCA 的(de)漸近理(lǐ)論，爲在連續時(shí)間中應用(yòng)因子模型鋪平了(le)道路。此外，基于連續時(shí)間因子模型，Fan et al. (2016a) 和(hé) Ait-Sahalia and Xiu (2017) 使用(yòng)高(gāo)頻(pín)數據提出了(le)個(gè)股高(gāo)維協方差矩陣的(de)估計量。

一個(gè)充滿前景的(de)研究方向是将關于高(gāo)頻(pín)風險度量的(de)文獻與關于預期收益率橫截面的(de)文獻相結合，從而利用(yòng)更豐富的(de)風險信息來(lái)獲得(de)有關風險-收益權衡的(de)深入見解。在這(zhè)個(gè)方向上的(de)一些相關研究包括 Bollerslev et al. (2016)。他(tā)們在連續時(shí)間框架下(xià)計算(suàn)了(le)個(gè)股對(duì)單一市場(chǎng)因子運動中連續和(hé)跳躍兩部分(fēn)各自的(de) beta 值，然後在離散時(shí)間框架中将研究了(le)上述 beta 估計值和(hé)股票(piào)預期收益率的(de)截面關系。Ait-Sahalia et al. (2021) 在統一的(de)連續時(shí)間框架下(xià)爲風險溢價提供了(le)統計推斷。他(tā)們在第一步考慮多(duō)個(gè)因子和(hé)随機 beta 值，并将通(tōng)過第一步估計得(de)到的(de) beta 應用(yòng)于第二步中，進而擴展了(le) Shanken (1992a) 的(de)經典推斷方法。在實證方面，他(tā)們使用(yòng) Ait-Sahalia et al. (2020) 使用(yòng) 15 分(fēn)鐘(zhōng)收益率構造的(de) Fama-French 和(hé)動量因子，檢驗了(le)日内收益率的(de)因子模型。

利用(yòng)高(gāo)頻(pín)數據測量波動率的(de)想法也(yě)使得(de)有關波動率預測的(de)研究充滿前景。Corsi (2009) 提出的(de)測量曆史已實現波動率的(de)異質自回歸（HAR）模型已是當前學術研究和(hé)業界實踐中領先的(de)波動率預測模型。最近，有許多(duō)論文研究如何通(tōng)過機器學習(xí)進行波動率預測，包括 Li and Tang (2022) 以及 Bollerslev et al. (2022)。但與收益率預測時(shí)機器學習(xí)預測的(de)有效性體現爲更高(gāo)的(de)夏普比率不同，對(duì)于波動率預測而言，人(rén)們尚不清楚機器學習(xí)模型能否以及在多(duō)大(dà)的(de)經濟學意義上超越了(le)已有的(de) HAR 模型。這(zhè)是研究中一個(gè)有趣的(de)開放性問題。

4.6 Alphas

本節討(tǎo)論關于 alpha 檢驗和(hé)機器學習(xí)的(de)相關文獻。Alpha 是預期收益率中未被因子暴露所解釋的(de)部分(fēn)，因此它是一個(gè)依賴模型（以及測試資産）的(de)對(duì)象。由于經濟理(lǐ)論通(tōng)常過于簡化(huà)、不能指明(míng)所有的(de)因子，且數據量也(yě)不足以讓人(rén)們通(tōng)過數據驅動的(de)方式推斷出所有真正的(de)因子，模型設定偏誤的(de)存在使得(de)區(qū)分(fēn) alpha 和(hé)因子暴露的(de)“公平”補償充滿挑戰。例如，alpha 可(kě)能是因子 beta 偏弱的(de)表現，這(zhè)讓人(rén)想起回歸中的(de)遺漏變量問題。換句話(huà)說，一個(gè)模型的(de) alpha 可(kě)能是另一個(gè)模型的(de) beta。在一個(gè)隐性因子模型中，alpha 和(hé) beta 最終是由一個(gè)區(qū)分(fēn)因子與特質性噪聲的(de)因子強度阈值來(lái)區(qū)分(fēn)的(de)。

我們主要從非條件隐性因子模型的(de)角度分(fēn)析 alpha。之所以強調非條件而不是條件 alpha 是因爲前者是學術研究的(de)重點。此外，我們關注隐性因子模型是因爲對(duì)隐形因子模型來(lái)說，模型設定偏誤問題沒那麽嚴重。

4.6.1 Alpha 檢驗和(hé)經濟重要性

長(cháng)久以來(lái)，實證資産定價的(de)焦點是原假設，即所有的(de) alpha 都等于零  ，是否成立。這(zhè)是一個(gè)單一假設，有别于我們稍後将討(tǎo)論的(de)多(duō)重假設 alpha 檢驗問題。一旦  被拒絕，它往往被解釋爲資産定價模型存在偏誤或者測試資産存在錯誤定價（有時(shí)它也(yě)會被錯誤地視爲違背了(le) Ross (1976) 提出的(de) APT）。（譯者注：即我們可(kě)以說拒絕了(le)一個(gè)實證模型，但是不能說拒絕了(le) APT。APT 是一個(gè)定價框架但并未給出什(shén)麽才是合适的(de)定價因子。）

衆所周知的(de) GRS 檢驗（Gibbons et al. 1989）是針對(duì)  的(de)卡方檢驗，專爲含有可(kě)觀測因子的(de)低維因子模型設計。Fan et al. (2015) 和(hé) Pesaran and Yamagata (2017) 設計了(le)在高(gāo)維環境中檢驗  的(de)方法。由于它消除了(le)原始 GRS 檢驗中要求  的(de)約束并當  較大(dà)時(shí)提高(gāo)了(le)檢驗的(de)功效，因此在方法上是一個(gè)重要的(de)進步。盡管這(zhè)些方法最初是爲包含可(kě)觀測因子的(de)因子模型提出的(de)，但可(kě)以将它們擴展到隐性因子模型中。事實上，Giglio et al. (2021a) 利用(yòng)公式 (4.4) 和(hé) (4.6) 給出的(de)因子暴露以及風險溢價估計，構建了(le)一個(gè)關于 alpha 的(de)估計量：

他(tā)們還(hái)推導了(le) alpha 的(de)必要漸近展開，爲在隐性因子模型中檢驗 alpha 鋪平了(le)道路。

GRS 檢驗統計量基于  ，它可(kě)以理(lǐ)解爲對(duì)于一個(gè)因子暴露爲零的(de)投資組合能夠獲得(de)的(de)最高(gāo)夏普比率平方。然而，估計這(zhè)個(gè)夏普比率是一回事，而通(tōng)過一個(gè)交易策略來(lái)實現它則是另一回事。也(yě)就是說，在 GRS 這(zhè)類檢驗中拒絕零 alpha 假設并不一定意味著(zhe)它能夠在經濟意義上産生多(duō)麽重要的(de)結果（譯者注：即很難在實際中在考慮了(le)所有交易成本以及市場(chǎng)摩擦之後，投過某個(gè)可(kě)實施的(de)投資策略來(lái)獲得(de)這(zhè)種夏普率。）。隻有在考慮了(le)潛在套利者交易策略的(de)可(kě)行性之後，定量討(tǎo)論 alpha 的(de)經濟重要性才是有意義的(de)。隻有從經濟角度評估統計上的(de)拒絕才對(duì)資産定價研究更有價值，也(yě)對(duì)從業者而言更加重要。

APT 假設套利者知道收益率生成過程的(de)真實參數。隻要樣本量足夠大(dà)，該這(zhè)假設可(kě)能是成立的(de)。因爲在這(zhè)種情況下(xià)，參數能夠被（漸近地）準确估計出來(lái)，且套利者的(de)行爲（近似地）表現得(de)好像他(tā)們确切地知道了(le)這(zhè)些真實參數。但問題是，在 APT 的(de)設置中，套利者必須知道越來(lái)越多(duō)的(de) alpha，因此，橫截面維度相對(duì)于典型的(de)樣本大(dà)小來(lái)說是太大(dà)。因此，即使是在  很大(dà)的(de)極限情況假設套利者了(le)解所有 alpha 也(yě)是不合理(lǐ)的(de)。

Da et al. (2022) 重新審視了(le) APT，并放寬了(le)參數已知的(de)假設。在他(tā)們的(de)設定中，套利者必須使用(yòng)一個(gè)基于樣本大(dà)小爲  的(de)曆史數據而構造的(de)可(kě)交易策略。對(duì)于  期的(de)任何可(kě)行策略  （譯者注：策略由投資組合的(de)權重  表示。），他(tā)們定義了(le)該策略下(xià)一期的(de)條件夏普比率：

其中  是  期的(de)信息集。他(tā)們指出  滿足：

其中當  趨向于無窮時(shí)   是因子的(de)協方差矩陣，而  是由  生成的(de)信息集。

很顯然，  是最優因子組合的(de)夏普比率平方。因此，對(duì)于任何因子中性策略  ，即  ，

這(zhè)個(gè)結果表明(míng)，alpha 的(de)後驗估計決定了(le)可(kě)行的(de)最優夏普比率以及統計套利利潤的(de)上限。任何機器學習(xí)策略，無論簡單還(hái)是複雜(zá)，都需要遵循這(zhè)個(gè)可(kě)行的(de)夏普比率上限。

一般來(lái)說，  ，僅隻有當  幾乎必然時(shí)等号才成立。這(zhè)裏，  來(lái)自可(kě)行的(de)交易策略，而  則代表了(le)不可(kě)行的(de)最優夏普比率。

可(kě)行和(hé)不可(kě)行策略之間的(de)“夏普比率差距”刻畫(huà)了(le)統計學習(xí)的(de)難度。學習(xí)難度越高(gāo)，則差距就越大(dà)。圖 4.4 考慮了(le)假想的(de)收益率生成過程并報告了(le)這(zhè)兩個(gè)夏普比率之比，其中  的(de)概率爲  ，  或  的(de)概率各爲  。殘差的(de)協方差矩陣  是一個(gè)以  爲方差的(de)對(duì)角陣。在這(zhè)類 DGP 中，  表征了(le) alpha 相對(duì)于噪聲的(de)強度，而  刻畫(huà)了(le)其稀有性。通(tōng)過改變  以及  的(de)取值，我們可(kě)以理(lǐ)解數據生成過程如何影(yǐng)響套利者的(de)表現，如圖 4.4 所示。随著(zhe)  的(de)增加，alpha 足夠大(dà)且學習(xí)難度不高(gāo)，夏普比率差距就會更小。盡管更普遍的(de) alpha 也(yě)會降低夏普比率差距的(de)縮小，但其稀有性的(de)作用(yòng)并不突出。

Da et al. (2022) 展示了(le)如何定量刻畫(huà)可(kě)行和(hé)不可(kě)行夏普比率之間的(de)差距。他(tā)們基于一個(gè)包含 27 個(gè)因子的(de)模型來(lái)評估 APT，其中 16 個(gè)公司特征和(hé) 11 個(gè) GICS 行業啞變量被用(yòng)作可(kě)觀測的(de) beta。使用(yòng) 1975 年 1 月(yuè)到 2020 年 12 月(yuè)的(de)數據，不可(kě)行夏普比率的(de)估計值超過 2.5，是機器學習(xí)算(suàn)法獲得(de)的(de)可(kě)行夏普比率估計值 0.5 的(de)四倍有餘。可(kě)行夏普比率（在考慮交易成本之前）低于 0.5 恰恰表明(míng) APT 在實證上十分(fēn)有效。從理(lǐ)論上講，如果套利者面臨更多(duō)的(de)統計困難，如模型設定偏誤、非稀疏的(de)殘差協方差矩陣等，可(kě)行和(hé)不可(kě)行夏普比率之間的(de)差距會進一步擴大(dà)。

4.6.2 多(duō)重假設檢驗

自從 CAPM 以來(lái)，金融經濟學界便開始共同尋找異象；即能獲得(de) CAPM 無法解釋的(de) alpha 的(de)投資組合。其中的(de)一些，如規模、價值和(hé)少數其他(tā)因子已被納入基準定價模型中（Fama and French 1993；Fama and French 2015）。之後，一旦研究者發現這(zhè)些基準模型無法解釋的(de) alpha 時(shí)，就宣布找到了(le)新的(de)異象。Harvey et al. (2016) 對(duì)此進行了(le)綜述并整理(lǐ)了(le)一個(gè)超過三百個(gè)異象的(de)清單。他(tā)們提出了(le)一個(gè)重要的(de)批判觀點，即在檢驗新異象的(de)顯著性時(shí)未能正确考慮多(duō)重假設檢驗的(de)影(yǐng)響。

在這(zhè)個(gè)背景下(xià)的(de)多(duō)重假設檢驗是指同時(shí)檢驗一組原假設：  。這(zhè)個(gè)問題與早先討(tǎo)論的(de)檢驗單一原假設  有本質區(qū)别。由于僅靠運氣就會使單個(gè) alpha 檢驗中出現一部分(fēn)顯著結果從而使它們的(de)原假設被錯誤地拒絕，因此多(duō)重假設建議(yì)容易造成僞發現問題。

設  是原假設  的(de)檢驗統計量。如果  （  是個(gè)預先指定的(de)阈值），那麽  就會被拒絕。令  代表原假設爲真的(de)假設的(de)編号集合。另外，令  表示樣本中所有被拒絕假設的(de)數量，令  表示該樣本中錯誤拒絕的(de)數量：

  和(hé)  都是随機變量，但  是可(kě)觀測的(de)而  卻不是。

對(duì)于任何預先選定的(de)水(shuǐ)平  ，比如  ，單個(gè)檢驗确保每個(gè)檢驗的(de)錯誤率的(de)上界由  确定：  。換句話(huà)說，預期的(de)錯誤拒絕個(gè)數可(kě)以多(duō)達  。爲了(le)減少僞發現的(de)數量，另一個(gè)方法是選擇一個(gè)更大(dà)的(de)阈值來(lái)控制族錯誤率（FWER）：  。不幸的(de)是，這(zhè)個(gè)方法在實踐中過于保守。第三個(gè)方法則可(kě)追溯到 Benjamini and Hochberg (1995)，即直接控制僞發現率 (FDR)：  ，其中僞發現比例（FDP）及其期望 FDR 分(fēn)别定義爲  。

雖然資産定價文獻中早就談到了(le)一般的(de)數據窺探問題（Lo and MacKinlay 1990; Sullivan et al. 1999），但早期的(de)建議(yì)是另選單一的(de)原假設，例如  或  （例如 White 2000; Kosowski et al. 2006; Fama and French 2010）。Barras et al. (2010)，Bajgrowicz and Scaillet (2012) 以及 Harvey et al. (2016) 則是最早在資産定價中采用(yòng) FDR 或 FWER 控制方法來(lái)遏制多(duō)重假設檢驗問題。Harvey and Liu (2020) 提出了(le)一個(gè)雙層自助法方法來(lái)控制 FDR，同時(shí)也(yě)考慮了(le)假陰性率和(hé)幾率比。Giglio et al. (2021a) 則提出了(le)一種嚴格的(de)推斷方法，用(yòng)于控制隐性因子模型中 alpha 的(de) FDR，同時(shí)解決了(le)遺漏的(de)變量問題、數據缺失問題以及測試資産維度過大(dà)的(de)問題。Jensen et al. (2023) 則通(tōng)過一個(gè)貝葉斯分(fēn)層模型來(lái)實現對(duì)多(duō)重假設檢驗的(de)修正。該模型使用(yòng)了(le)零 alpha 先驗并利用(yòng)因子的(de)聯合表現，允許利用(yòng)因子之間的(de)信息将 alpha 的(de)估計值向先驗收縮。

歸根結底，多(duō)重假設檢驗在本質上是一個(gè)統計問題。前述統計方法通(tōng)常滿足一個(gè)好的(de)統計檢驗所需具備的(de)标準，例如控制第一類錯誤或僞發現率等。然而，比起統計标準，經濟效益才是經濟主體最關心的(de)。但是，這(zhè)兩個(gè)目标通(tōng)常是相互沖突的(de)。Jensen et al. (2023) 和(hé) Da et al. (2022) 指出，盡管傳統多(duō)重假設檢驗方法能有效防範 FDR，但以此選擇 alpha 會導緻極其保守的(de)交易策略。Jensen et al. (2023) 證明(míng)，相比于使用(yòng)傳統方法控制 FDR 的(de)投資者，使用(yòng)貝葉斯分(fēn)層多(duō)重假設檢驗方法作爲評判因子标準的(de)投資者将能夠獲得(de)更大(dà)的(de)經濟效益。

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