特質性波動率之謎

作者：石川

摘要：Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 從套利風險和(hé)套利不對(duì)稱性解釋了(le)美(měi)股上的(de)特質性波動率之謎。針對(duì) A 股的(de)分(fēn)析顯示，市場(chǎng)中存在低特質性波動率異象。

1 引言

自 Ang et al. (2006) 發表以來(lái)，特質性波動率（Idiosyncratic Volatility）和(hé)未來(lái)預期收益率之間的(de)關系就成爲 empirical asset pricing 研究中的(de)一個(gè) hot potato。然而針對(duì)美(měi)股的(de)大(dà)量研究表明(míng)，這(zhè)二者之間的(de)關系仍然是 mixed。作爲“反方”代表，那自然是 Ang et al. (2006) 這(zhè)篇發表于 Journal of Finance 上的(de)題爲 The cross-section of volatility and expected returns 的(de)文章(zhāng)（Google Scholar 引用(yòng)超過 3000 次），它指出特質性波動率高(gāo)的(de)股票(piào)在未來(lái)預期收益率更低，說明(míng)了(le)二者之間的(de)負相關。此外，Ang et al. (2009) 也(yě)在 Journal of Financial Economics 上發文，通(tōng)過來(lái)自美(měi)國和(hé)全球的(de)更多(duō)實證結果說明(míng)特質性波動率和(hé)預期收益率之間的(de)負相關性。作爲“正方”代表，Fu (2009) 可(kě)算(suàn)是一篇代表性的(de)文章(zhāng)。該文發表于 Journal of Financial Economics 上，題爲 Idiosyncratic risk and the cross-section of expected stock returns（Google Scholar 引用(yòng)超過 1000 次）。如果僅看論文标題，Ang et al. (2006) 和(hé) Fu (2009) 都讓人(rén)傻傻分(fēn)不清，但後者卻提出特質性波動率和(hé)收益率之間存在正相關。它認爲 Ang et al. (2006) 發現的(de)負相關源于一小撮高(gāo)特質性波動率股票(piào)收益率的(de)反轉。

由于 Ang et al. (2006) 太有名，除了(le)像 Fu (2009) 在其他(tā)頂刊上發文提出不同看法的(de)，也(yě)還(hái)有人(rén)不嫌事兒(ér)大(dà)，直接以 A comment on “The cross-section of volatility and expected returns”: the statistical significance of FVIX is driven by a single outlier 爲題對(duì) Ang et al. (2006) 的(de)觀點進行了(le)抨擊（Anderson, Bianchi, and Goldberg 2012）。該文認爲在 Ang et al. (2006) 的(de)實證分(fēn)析中，1987 年 10 月(yuè)是一個(gè)極端 outlier，它使得(de)因子收益率的(de) standard error 被嚴重低估（縮水(shuǐ)了(le)一半），因此導緻放大(dà)了(le) t-statistics 即顯著性；排除該點後，Ang et al. (2006) 發現的(de)關系不再顯著。

不知道 Ang et al. (2006) 面對(duì)上述質疑作何感想。頗有意思的(de)是，Anderson, Bianchi, and Goldberg (2012) 這(zhè)篇 UC Berkeley 的(de) working paper 最終于 2015 年發表于 Quantitative Finance 期刊（Anderson, Bianchi, and Goldberg 2015）。相較于 working paper 中的(de)非常有針對(duì)性的(de)标題（A comment on XXX），期刊版本的(de)标題則溫和(hé)的(de)多(duō) —— In search of statistically valid risk factors，而且三位作者還(hái)感謝了(le) Ang et al. (2006) 四位作者對(duì)其 working paper 的(de)建設性評論。

除了(le)上述旗幟鮮明(míng)的(de)“正、反”兩派外，還(hái)有一些論文的(de)研究結論是特質性波動率和(hé)未來(lái)預期收益率之間受到多(duō)種因素影(yǐng)響，因此難有定論（Bali and Cakici 2008）。下(xià)表總結了(le)學術界關于特質性波動率和(hé)未來(lái)預期收益之間的(de)三種觀點。

學術界把上述分(fēn)歧稱爲 idiosyncratic volatility puzzle（特質性波動率之謎），而有人(rén)也(yě)試圖提出相對(duì)統一的(de)理(lǐ)由解釋不同的(de)現象。這(zhè)背後的(de)代表作要數 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 一文，它也(yě)正是搞事情因子小組本期研究的(de)對(duì)象。Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 發表于 Journal of Finance，從套利不對(duì)稱性（arbitrage asymmetry）的(de)角度對(duì)特質性波動率之謎進行了(le)解釋。在這(zhè)篇文章(zhāng)中，最精彩的(de)一張圖無疑是下(xià)面這(zhè)個(gè) portfolio sort test 結果，它精妙的(de)傳達了(le)該研究的(de)發現。

在（most）overpriced 組中（下(xià)圖左側），特質性波動率和(hé)收益率（以經 Fama and French 1993 三因子調整後的(de) α 表示）呈現負相關；在（most）underpriced 組中（下(xià)圖右側），特質性波動率和(hé)收益率呈現正相關。套利不對(duì)稱性導緻市場(chǎng)對(duì) overpriced 股票(piào)套利不充分(fēn)，因此 overpriced 組的(de)負相關強于 underpriced 組的(de)正相關；從截面上來(lái)看，特質性波動率和(hé)收益率呈現負相關，即低特質性波動率異象。

本文的(de)實證目标就是檢驗特質性波動率在 over 和(hé) underpriced 組中的(de)非對(duì)稱性是否存在于 A 股市場(chǎng)。下(xià)文将按如下(xià)邏輯展開：第二節介紹 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 的(de)核心内容；第三節對(duì) Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 的(de)方法論提一點感想；第四、五節對(duì) A 股市場(chǎng)進行相關實證研究；第六節總結全文。

2 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015)

高(gāo)特質性波動率常常被視作阻止套利的(de)因素之一。基于這(zhè)一出發點，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 從套利風險和(hé)套利不對(duì)稱性兩個(gè)角度對(duì)特質性波動率之謎進行了(le)研究。

關于套利風險的(de)來(lái)源，最常見的(de)便是噪聲交易者的(de)行爲。套利交易者在價格高(gāo)估時(shí)會賣空股票(piào)，但此時(shí)噪聲交易者可(kě)能繼續買入，進一步推高(gāo)價格，甚至最終迫使套利交易者因追加保證金的(de)壓力等原因而止損。關于套利風險的(de)更詳盡闡述，請參考《聽(tīng) Richard Thaler 講行爲金融學的(de)知識框架》一文的(de)第二節。另一方面，套利的(de)不對(duì)稱性也(yě)與投資者的(de)交易行爲有關。投資者往往不願意賣出、賣空被高(gāo)估的(de)股票(piào)，或賣空的(de)成本過高(gāo)。這(zhè)使得(de)套利活動在被高(gāo)估的(de)股票(piào)中更難以進行。

結合套利風險和(hé)套利不對(duì)稱性兩點，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 建立了(le)特質性波動率、套利風險以及錯誤定價（mispricing）三者間的(de)聯系，提出了(le)猜想、從而爲特質性波動率之謎提供了(le)解釋。我們按原文中的(de)邏輯繪制了(le)下(xià)圖，方便各位小夥伴理(lǐ)解。

爲了(le)證實他(tā)們的(de)猜想，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 針對(duì)美(měi)股進行了(le)大(dà)量的(de)實證研究。首先，在實證的(de)第一步需要找出 overpriced 和(hé) underpriced 的(de)股票(piào)。爲此，他(tā)們采用(yòng)了(le)讓人(rén)有些意想不到的(de)處理(lǐ)方法。Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 利用(yòng) 11 個(gè) Fama and French (1993) 三因子模型（下(xià)稱 FF3）無法解釋的(de)經典異象構建了(le)一個(gè)綜合錯誤定價指标（mispricing measure）。這(zhè) 11 個(gè)異象包括：

這(zhè)些異象在美(měi)股上均能取得(de) FF3 無法解釋的(de)超額收益。假設對(duì)于某個(gè)異象，按其背後的(de)邏輯排序後，多(duō)頭組合能獲得(de)正的(de)超額收益、空頭組合能獲得(de)負的(de)超額收益；這(zhè)意味著(zhe)越是多(duō)頭靠前的(de)股票(piào)越有可(kě)能是 underpriced、越是空頭靠前的(de)股票(piào)也(yě)有可(kě)能是 overpriced。值得(de)一提的(de)是，這(zhè)些指标衡量的(de)是股票(piào)因噪聲交易者行爲導緻的(de)潛在錯誤定價，而非對(duì)真實錯誤定價程度的(de)事後反映。具體實施中，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 使用(yòng)每個(gè)異象對(duì)應的(de)指标依次爲股票(piào)排序：從每個(gè)指标的(de)邏輯出發，越是能在未來(lái)獲得(de)正超額收益的(de)股票(piào)排名分(fēn)越低、越是能在未來(lái)獲得(de)負超額收益的(de)股票(piào)排名分(fēn)越高(gāo)。使用(yòng)全部 11 個(gè)異象指标對(duì)股票(piào)排序後，每支股票(piào)就有 11 個(gè)分(fēn)數，把它們取平均就得(de)到綜合得(de)分(fēn) —— 綜合得(de)分(fēn)越高(gāo)，未來(lái)預期超額收益越低，因此該股票(piào)越是 overpriced。至于爲什(shén)麽使用(yòng) 11 個(gè)異象，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 給出的(de)解釋是可(kě)以平抑單一異象的(de)噪音(yīn)。我們将在本文第三節對(duì)此小評（tu）論（cao）一下(xià)。有了(le)衡量股票(piào) mispricing 的(de)指标，就可(kě)以和(hé)特質性波動率一起做(zuò) double sort 然後檢驗關于特質性波動率和(hé)預期收益率的(de)正、負相關性了(le)。Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 在數據中得(de)到了(le)預期中的(de)結果。

除上述 main results 之外，原作還(hái)以機構持股比例爲代表，檢驗了(le)套利限制程度對(duì)特質性波動率異象的(de)影(yǐng)響。結果顯示，在機構持股比例較低（套利限制較大(dà)）的(de)股票(piào)中，特質性波動率異象更加顯著。進一步，他(tā)們以 Baker and Wurgler (2006) 的(de)投資者情緒指數爲代表，考察了(le)特質性波動率異象的(de)時(shí)變特征。結果顯示，在投資者情緒高(gāo)漲時(shí)，特質性波動率異象高(gāo)度顯著，但在投資者情緒低迷時(shí)，特質性波動率異象不再顯著。總體來(lái)看，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 發現特質性波動率異象與套利的(de)不對(duì)稱性高(gāo)度相關。在 overpriced 股票(piào)中，特質性波動率與收益率高(gāo)度負相關；但在 underpriced 股票(piào)中，特質性波動率對(duì)股票(piào)收益的(de)影(yǐng)響變爲了(le)正的(de)，更加接近經典理(lǐ)論的(de)推斷。此外，在套利限制更大(dà)的(de)股票(piào)中、以及在投資者情緒高(gāo)漲時(shí)，特質性波動率異象更加顯著。下(xià)面将對(duì) Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 一文的(de) main results 在 A 股進行實證，我們的(de)目标是看看是否能在 A 股複現本文第一節那張經典的(de) portfolio sort test 結果。

3 一點感想

在實證之前先來(lái)談點對(duì) Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 采用(yòng)多(duō)個(gè)指标作爲綜合 mispricing measure 的(de)感想。該文用(yòng)了(le) 11 個(gè) FF3 異象來(lái)評價股票(piào)是否被高(gāo)（低）估，很難讓人(rén)不對(duì)是否存在 data mining 有疑問。這(zhè) 11 個(gè)異象的(de)選擇其實頗有曆史。Stambaugh, Yu, and Yuan (2012) 檢驗投資者情緒對(duì)因子表現影(yǐng)響時(shí)，首次使用(yòng)了(le)這(zhè) 11 個(gè)異象，因爲 FF3 因子無法有效解釋它們。而 Stambaugh and Yuan (2016) 也(yě)正是利用(yòng)這(zhè) 11 個(gè)異象來(lái)構建了(le)大(dà)名鼎鼎的(de) Mispricing Factors 四因子模型。雖然在那篇文章(zhāng)中，他(tā)們的(de)具體處理(lǐ)方法略有不同，但本質與 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 仍是一緻的(de)。似乎在研究 mispricing 時(shí)采用(yòng)多(duō)個(gè)指标是這(zhè)幾位作者的(de)傳統。此外，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 還(hái)特意解釋了(le)利用(yòng)股票(piào)在不同異象的(de)平均排序來(lái)定義 mispricing 的(de)原因。基于平均排序的(de)多(duō)空組合的(de)月(yuè)均 α 差異爲 1.48%，是不同異象的(de)多(duō)空組合 α 差異的(de)均值 0.87% 的(de) 1.7 倍，平均排序能更好地度量股票(piào)的(de)錯誤定價程度。

在本文寫作的(de)計劃中，除了(le)考察能否在 A 股複現 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 的(de) main results 外，搞事情因子小組的(de)另一個(gè)關注點是檢驗原文的(de)方法是否有過拟合之嫌。爲此，我們的(de)計劃是從諸多(duō)異象指标中随機抽取 5 個(gè)來(lái)計算(suàn)定價錯誤、将股票(piào)排序，從而代替全部指标來(lái)檢驗特質性波動率和(hé)收益率的(de)關系是否仍然成立。遺憾的(de)是，上述願望最終未能實現（看過下(xià)一節的(de)實證就知道原因了(le)）。下(xià)面進入針對(duì) A 股的(de)實證。

4 針對(duì) A 股的(de)實證

我們沿用(yòng)搞事情小組的(de)老傳統：實證期爲 2005 年 1 月(yuè)至 2018 年 12 月(yuè)；排除銀行和(hé)非銀金融；在每月(yuè)末構建投資組合的(de)時(shí)候剔除掉次新股、停牌股、風險警示股、一字停牌股；同時(shí)考慮等權和(hé)市值加權兩種情況。對(duì)于特質性波動率，實證中采用(yòng) FF3 無法解釋的(de)殘差波動率來(lái)表示。而在用(yòng)來(lái)計算(suàn) mispricing 的(de)指标上，由于數據問題，我們沒能複現 Failure probability、Net stock issues 以及 Composite equity issues 三個(gè)指标，故而采用(yòng)剩餘 8 個(gè)指标進行實證。從 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 的(de)本意來(lái)看，這(zhè)些指标在美(měi)股上均能獲得(de) FF3 無法解釋的(de)顯著超額收益。然而以往的(de)經驗表明(míng)，很多(duō)針對(duì)美(měi)股的(de)指标在 A 股上是不好使的(de)。爲了(le)對(duì)每個(gè)指标有個(gè)客觀的(de)認識，首先考察單一指标的(de) IC 及 ICIR，結果如下(xià)。

上述結果表明(míng)，這(zhè)些指标中絕大(dà)多(duō)數在 A 股上均不顯著，即它們中的(de)大(dà)多(duō)數無法在截面上有效衡量股票(piào) mispricing 的(de)程度。這(zhè)無疑爲下(xià)一步的(de)實證結果打上了(le)巨大(dà)的(de)問号。在給出針對(duì) A 股的(de)實證結果之前，有必要指出的(de)是，在 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 一文最早的(de) working paper 版本中，三位作者既考慮了(le)分(fēn)層 sort（即先使用(yòng) mispricing measure 将所有股票(piào)分(fēn)成 5 組、再在每組内按 IVOL 分(fēn)成 5 組）又考慮了(le) mispricing measure 和(hé) IVOL 兩個(gè)指标獨立 sort（将全部股票(piào)各自分(fēn)獨立成 5 組）這(zhè)兩種情況。對(duì)于這(zhè)兩種方法的(de)差異，三位作者給出的(de)解釋是：

This dependent two-way sort allows us to focus on how IVOL effects depend on the direction and degree of mispricing. At the same time, however, the dependent sort potentially sacrifices some clarity in understanding how these IVOL effects aggregate across stocks to deliver the overall negative IVOL relation, since the breakpoints for IVOL differ across mispricing quantiles.

考慮到這(zhè)種差異，在 working paper 中三位作者使用(yòng) dependent two-way sort 作爲第一選擇，而用(yòng) independent double sort 作爲 robustness check。從結果來(lái)看，兩種方法非常接近、獲得(de)了(le)相同的(de)結論。不過有意思的(de)是，在最終發表的(de)版本中，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 僅報告了(le)使用(yòng) independent double sort 的(de)結果。在本文的(de)實證中，我們采用(yòng) dependent two-way sort。使用(yòng)前述 8 個(gè)指标構成綜合 mispricing measure 将股票(piào)池中的(de)股票(piào)分(fēn)成 5 組，然後在每組内利用(yòng) IVOL 再分(fēn)成 5 組，一共得(de)到 25 個(gè) portfolios，考察不同 mispricing 組内 portfolios 收益率和(hé) IVOL 的(de)單調性，檢驗是否能在 A 股上複現本文第一節提到的(de)那張經典的(de) portfolio sort test 結果。在實證中，我們既考察了(le)每個(gè) portfolio 的(de)絕對(duì)收益，也(yě)考慮了(le)它們的(de) FF3-α。爲了(le)本文的(de)緊湊性，以下(xià)僅給出 FF3-α 的(de)結果。當使用(yòng)等權時(shí)，這(zhè) 25 個(gè) portfolios 的(de)月(yuè)頻(pín) FF3-α 如下(xià)圖所示。

從上圖的(de)結果中可(kě)觀察到如下(xià)現象：

如果采用(yòng)市值加權，也(yě)可(kě)以得(de)到類似的(de)結果，這(zhè)裏不再贅述。

本文第三節提到，我們本打算(suàn)使用(yòng)随機抽樣的(de)方式檢驗使用(yòng)多(duō)個(gè)異象指标是否存在過拟合問題。但從上述結果來(lái)看，由于無法在 A 股上完美(měi)複現 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 的(de)結果，因此檢驗過拟合也(yě)就沒有什(shén)麽意義，隻得(de)作罷。然而，我們還(hái)是對(duì)使用(yòng)多(duō)個(gè)（本實證中是 8 個(gè)）指标作爲度量股票(piào) mispricing 的(de)指标感到不安。爲此，在下(xià)一小節中将對(duì)衡量 mispricing 的(de)方法進行簡化(huà)、開展進一步實證。

5 針對(duì) A 股的(de)實證 (II)

在簡化(huà)中，我們僅采用(yòng) BM 一個(gè)指标代替上述 8 個(gè)指标作爲 mispricing measure：由于 BM 和(hé)未來(lái)收益率正相關，因此高(gāo) BM 的(de)股票(piào)被認爲 underpriced、低 BM 的(de)股票(piào)被認爲 overpriced。使用(yòng) BM 和(hé) IVOL 進行 dependent two-way sort，再來(lái)考察這(zhè) 25 個(gè) portfolios 的(de) FF3-α。下(xià)面給出等權和(hé)市值加權時(shí)的(de)結果。

雖然定量的(de)結果有些差異，但從定性來(lái)說，僅使用(yòng) BM 作爲 mispricing measure 和(hé)使用(yòng)上一節的(de) 8 個(gè)指标構建綜合 mispricing measure 相比，我們能夠觀察到十分(fēn)接近的(de) portfolio sort test 結果。這(zhè)二者的(de)差異主要體現在 most underpriced 組中的(de) FF3-α。相比于僅使用(yòng) BM，使用(yòng) 8 個(gè)指标确實能更準确的(de)度量個(gè)股的(de) mispricing 程度（以潛在過拟合爲代價）。以上就是針對(duì) A 股進行的(de)全部實證分(fēn)析。雖然沒能在 most underpriced 組中看到正相關，但也(yě)确實看到不同 mispricing 組中單調性的(de)差異，以及整體截面上 IVOL 和(hé)收益率的(de)負相關，驗證了(le) A 股上的(de)低特質性波動率異象。

6 結語

特質性波動率代表著(zhe)特質性風險，而風險越高(gāo)意味著(zhe)收益率也(yě)應該越高(gāo)，因此經典理(lǐ)論認爲特質性波動率和(hé)收益率之間應該是正相關的(de)關系。然而，更多(duō)的(de)實證分(fēn)析表明(míng)這(zhè)二者之間卻表現出負相關，這(zhè)便形成了(le)特質性波動率之謎。近年來(lái)，大(dà)量的(de)學者投身到研究特質性波動率之謎的(de)行列中，而本文實證的(de) Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 正是其中的(de)代表。該文從套利風險和(hé)套利不對(duì)稱性的(de)角度拆解了(le)不同 mispricing 股票(piào)的(de) IVOL 異象，爲我們理(lǐ)解這(zhè)個(gè)謎團提供了(le)新的(de)思路。

在本文對(duì) A 股的(de)實證中，我們僅針對(duì) Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 的(de) main results 進行了(le)探索。該文中的(de)另一個(gè)重要發現是 IVOL 異象和(hé)市場(chǎng)情緒之間的(de)關系。在這(zhè)方面，由于 A 股中尚沒有普适性很高(gāo)的(de)情緒指标，因此這(zhè)方面的(de)實證暫時(shí)擱置了(le)。搞事情因子小組未來(lái)的(de)計劃是先對(duì) A 股進行情緒指标的(de)深度分(fēn)析，然後再回過頭來(lái)研究它和(hé) IVOL（以及其他(tā)異象）之間的(de)關系。最後，作爲補充文獻，值得(de)一提的(de)還(hái)有 Liang and Tang (2018) 這(zhè)篇文章(zhāng)。它将 IVOL 拆解成 uncertainty 和(hé) residual volatility 兩部分(fēn)，并指出 IVOL 和(hé)收益率的(de)負相關主要源于 uncertainty 部分(fēn)，爲理(lǐ)解 IVOL 之謎提供了(le)新的(de)視角（[因子動物(wù)園] 的(de)這(zhè)篇文章(zhāng)有簡要解讀）。我們也(yě)會繼續追蹤相關的(de)研究，以期在今後更好的(de)理(lǐ)解特質性波動率之謎背後的(de)成因。

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