Farewell，ad-hoc 多(duō)因子模型

發布時(shí)間：2022-01-28 | 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作者：石川

摘要：強加人(rén)爲稀疏性假設的(de)多(duō)因子模型注定會成爲一段曆史，但以它們爲基礎也(yě)會孕育出新的(de)範式。

1 引言

前文《稀疏性幻覺》曾抛出這(zhè)樣的(de)觀點，在以往被提出的(de)、如今早已成爲實證資産定價中占主導地位的(de)諸多(duō)多(duō)因子模型都帶有非常強的(de)稀疏性假設。這(zhè)背後的(de)動機是繞過和(hé)收益率有關的(de)協變量的(de)高(gāo)維數問題，從而用(yòng)低維模型研究定價問題。然而，希望通(tōng)過包含有限個(gè)因子的(de) ad-hoc 多(duō)因子模型來(lái)解釋股票(piào)預期收益率或者 span 出更大(dà)的(de)夏普比率平方，僅僅是一種稀疏性幻覺。雖然追求簡約模型本身并無不妥，但這(zhè)些曆史上曾經輝煌一時(shí)的(de)模型并非實證資産定價的(de)未來(lái)，也(yě)終将退出曆史的(de)舞台。本文借 Cooper et al. (2021) 一文，從 APT 的(de)角度針對(duì)上述觀點再來(lái)做(zuò)一番探討(tǎo)。

2 APT 與 PCA

關于 APT（Ross 1976）的(de)經濟學動機，Cochrane (2005) 有如下(xià)描述：Factor structure can imply factor pricing (APT). The APT suggests that one start with a statistical analysis of the covariance matrix of returns and find portfolios that characterize common movement. 這(zhè)段話(huà)的(de)意思就是，能夠解釋資産收益率共同運動的(de)因子也(yě)應該是能夠解釋資産預期收益率截面差異的(de)因子。在市場(chǎng)中不存在近似無風險套利機會這(zhè)個(gè)假設下(xià)，Kozak, Nagel, and Santosh (2018) 同樣論述了(le)這(zhè)一點（見《Which beta (III)?》）。這(zhè)個(gè)經濟學動機也(yě)正是最近幾年利用(yòng) PCA 構造隐性因子模型備受關注的(de)原因。這(zhè)也(yě)是本節的(de)題目爲 APT 與 PCA 的(de)原因。我們再從數學上簡單看一下(xià)。假設資産的(de)超額收益滿足如下(xià)回歸模型：

$R^e_{i}=a_i+\beta_{i,1}\tilde{F}_{1}+\cdots+\beta_{i,K}\tilde{F}_{K}+\varepsilon_{i}.$

其中 $R^e_{i}$ 是資産的(de)超額收益， $\tilde{F}_{k}\equiv F_k-\mbox{E}[F_k], k=1,\cdots,K$ 是 demean 之後的(de)因子（因子可(kě)以是 traded portfolios，即我們熟悉的(de) long/short portfolio returns，也(yě)可(kě)以是 nontraded portfolios）。由于在上式中對(duì)因子取值做(zuò)了(le)去均值處理(lǐ)，因此有 $\mbox{E}[R^e_i]=a_i$ 。接下(xià)來(lái)，令 $M$ 表示随機貼現因子（SDF）。由于 $R^e_i$ 表示超額收益，因此有 $\mbox{E}[MR^e_i]=0$ 。對(duì)上面的(de)回歸模型兩邊同時(shí)乘以 $M$ 并求期望可(kě)得(de)：

0=a_i\mbox{E}[M]+\beta_{i,1}\mbox{E}[M\tilde{F}_{1}]+\cdots+\beta_{i,K}\mbox{E}[M\tilde{F}_{K}]+\mbox{E}[M\varepsilon_{i}].

利用(yòng) $\mbox{E}[R^e_i]=a_i$ ，将 $\mbox{E}[R^e_i]$ 替換上式中的(de) $a_i$ 并做(zuò)簡單運算(suàn)：

$\mbox{E}[R^e_i]=-\beta_{i,1}\frac{\mbox{E}[M\tilde{F}_{1}]}{\mbox{E}[M]}-\cdots-\beta_{i,K}\frac{\mbox{E}[M\tilde{F}_{K}]}{\mbox{E}[M]}-\frac{\mbox{E}[M\varepsilon_{i}]}{\mbox{E}[M]}.$

定義 $\lambda_k\equiv-\mbox{E}[ M\tilde{F}_k]/\mbox{E}[M]$ 以及 $\alpha_i\equiv-\mbox{E}[M\varepsilon_i]/\mbox{E}[M]$ ，上式最後變成我們熟悉的(de)形式：

$\mbox{E}[R^e_i]=\alpha_i+\beta_{i,1}\lambda_1+\cdots+\beta_{i,K}\lambda_K.$

可(kě)以證明(míng)，當因子是 traded portfolio returns 時(shí)， $\lambda_i=\mbox{E}[F_i]$ 。在 APT 的(de)推導中，隐含的(de)假設是不同資産的(de) $\varepsilon_{i}$ 是相互獨立的(de)，即 $\mbox{E}[\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}]=0$ ，且特質收益率的(de)方差 $\mbox{var}(\varepsilon_{i})$ 是有界的(de)。在這(zhè)兩個(gè)條件下(xià)，如果利用(yòng)本節的(de)回歸模型計算(suàn)不同資産超額收益率之間的(de)協方差矩陣，則一個(gè)自然的(de)結果就是這(zhè)些解釋資産預期收益率的(de)因子同時(shí)也(yě)能解釋資産的(de)協方差矩陣。在這(zhè)個(gè)結論下(xià)，APT 爲我們比較不同 ad-hoc 多(duō)因子模型提供了(le)一個(gè)天然的(de)基準 —— 我們可(kě)以通(tōng)過 PCA 分(fēn)解資産的(de)協方差矩陣，利用(yòng)特征向量作爲權重構造“統計”因子投資組合，以這(zhè)些組合的(de)收益率爲因子構造一個(gè)基準的(de)多(duō)因子模型。

如果 ad-hoc 模型能夠比較好的(de)描述投資者在市場(chǎng)中面對(duì)的(de)投資機會以及不同資産截面預期收益率的(de)差異，則它們在資産定價方面的(de)表現和(hé)上述基于 PCA 的(de)基準模型之間不應該存在統計上顯著的(de)差異。以此爲出發點，就能夠評價不同的(de) ad-hoc 多(duō)因子模型。這(zhè)也(yě)正是 Cooper et al. (2021) 的(de)研究動機。

3 實證結果

雖然理(lǐ)論很清晰，但是實證依然充滿挑戰，那就是基于哪個(gè)協方差矩陣構造基準模型。在這(zhè)方面，使用(yòng)個(gè)股是不現實的(de)，所以隻能取而代之使用(yòng)常見的(de) sorted portfolios 作爲資産。Cooper et al. (2021) 基于數據可(kě)得(de)性等原因選擇了(le) 42 個(gè)常見的(de)異象，并通(tōng)過每個(gè)異象變量将股票(piào)分(fēn)成 10 組（每月(yuè)再平衡），一共得(de)到了(le) 420 個(gè)投資組合。以它們爲資産計算(suàn)協方差矩陣，Cooper et al. (2021) 構造了(le)一個(gè)包含 6 個(gè)主成分(fēn)的(de)基準模型，記爲 APT6。再來(lái)看看被評價的(de) ad-hoc 多(duō)因子模型。該文一共考慮了(le) 7 個(gè)模型，都是人(rén)們非常熟悉的(de)，見下(xià)表。

爲了(le)比較來(lái)自 APT 的(de)基準模型和(hé)上述 7 個(gè) ad-hoc 模型，Cooper et al. (2021) 使用(yòng)了(le)很多(duō)常見的(de)實證資産定價檢驗手段。本節介紹其中一個(gè)，即 time-series spanning test。以上述 420 個(gè) sorted portfolios 作爲 test assets，分(fēn)别對(duì)這(zhè) 8 個(gè)模型進行時(shí)序回歸，計算(suàn)每個(gè) test asset 的(de) pricing error，并基于 pricing errors 進行檢驗。其中一個(gè)檢驗統計量是截面 R-squared，定義如下(xià)：

$R_c^2=1-\frac{\mbox{var}(\alpha_i)}{\mbox{var}(\bar{R}_i^e)}.$

其中 $\mbox{var}(\alpha_i)$ 是 test assets 的(de) pricing errors 在截面上的(de)方差， $\mbox{var}(\bar{R}_i^e)$ 是這(zhè)些資産的(de)平均收益率在截面上的(de)方差。由定義可(kě)知， $R_c^2$ 越大(dà)則說明(míng)模型解釋資産預期收益率的(de)能力越強。下(xià)表給出了(le)檢驗結果（隻需要看 Panel A 即可(kě)）。

從 Panel A 可(kě)知，來(lái)自 APT 的(de)基準模型的(de) $R_c^2$ 高(gāo)于任意一個(gè) ad-hoc 模型的(de) $R_c^2$ 。此外， $SR^2$ （請注意它不代表夏普比率平方）這(zhè)一行展示了(le)基準模型和(hé)單個(gè) ad-hoc 模型的(de) $R_c^2$ 之差，其下(xià)方括号内爲對(duì)應的(de) p-value。從 Panel A 的(de)結果可(kě)知，除了(le) HMXZ5 之外，其他(tā) ad-hoc 模型和(hé)基準模型相比的(de)差異均在 5% 的(de)顯著性水(shuǐ)平以下(xià)。而 HMXZ5 和(hé)基準模型的(de)差異的(de)顯著性水(shuǐ)平是 10% 以下(xià)。另外讓人(rén)驚訝的(de)是 BS6 模型的(de) $R_c^2$ 是負的(de)。（Panel B 的(de)穩健性檢驗給出了(le)類似的(de)結果。）

面對(duì)以上實證結果，我們似乎還(hái)不能馬上否定 ad-hoc 模型。其背後的(de)原因有兩個(gè)。首先，APT 模型是根據 420 個(gè)作爲 test assets 的(de)協方差矩陣構造的(de)，它是一個(gè)純粹的(de) in-sample test，它能解釋更多(duō)的(de)截面差異理(lǐ)所應當。第二，HMXZ5 這(zhè)個(gè)最近兩年出盡風頭的(de)模型（見 Hou et al 2019）和(hé) APT 模型的(de)差距在統計上并不是那麽顯著。不過值得(de)一提的(de)是，HMXZ5 雖然源自加強版的(de) q-theory model（見《從 Factor Zoo 到 Factor War，實證資産定價走向何方？》），但它也(yě)僅僅是事後的(de) in-sample 實證分(fēn)析。爲了(le)排除顧慮，使用(yòng)未被用(yòng)于構造 APT 模型的(de) test assets 就顯得(de)格外重要。爲此，Cooper et al. (2021) 使用(yòng)了(le)另外 8 個(gè)異象構造了(le) 80 個(gè) sorted portfolios 作爲 test assets。結果如下(xià)。

對(duì)于這(zhè) 80 個(gè) test assets 來(lái)說，基準模型 APT6 依然有不錯的(de)定價能力，其 $R_c^2$ 爲0.34（p-value = 0.000）。反觀各種 ad-hoc 模型，C4、HXZ4 以及 BS6 的(de) $R_c^2$ 均爲負。其中表現最好的(de)是 SY4。另外，雖然以定價能力差異來(lái)看，我們依然不能說 HMXZ5（此外這(zhè)回還(hái)有 FF6）和(hé)基準模型的(de)差異在統計上是顯著的(de)，但如果對(duì)照(zhào)著(zhe) $R_c^2$ 來(lái)看，HMXZ5 首先就沒有表現出統計上顯著的(de)定價能力。另外，考慮到 HMXZ5 是 HXZ4 的(de)拓展（僅僅加上了(le)額外的(de)預期投資增長(cháng)因子），我們也(yě)無法忽視 HXZ4 和(hé) HMXZ5 的(de)巨大(dà)反差（ $R_c^2$ 一正一負）。

除本節介紹的(de)實證結果之外，Cooper et al. (2021) 還(hái)考慮了(le)其他(tā)很多(duō)穩健性檢驗，感興趣的(de)小夥伴請閱讀原文。總體而言，來(lái)自 APT 的(de)基準模型無論在 in-sample test 還(hái)是在 out-of-sample test 都表現出了(le)更好的(de)定價能力，因而優于各類 ad-hoc 模型。在諸多(duō) ad-hoc 模型中，唯一能與其相比的(de)是 HMXZ5，但其所代表的(de)投資機會遜于 APT 模型。

4 結束語

最近幾年，實證資産定價的(de)研究範式已從 ad-hoc 多(duō)因子模型轉到隐性多(duō)因子模型，其中的(de)代表作當屬基于 PCA 方法的(de) Kelly, Pruitt, and Su (2019) 以及 Kozak, Nagel, and Santosh (2020)。（順便一提，這(zhè)兩篇文章(zhāng)分(fēn)别獲得(de) 2019 和(hé) 2020 JFE Fama-DFA best paper prize。）無論從對(duì)資産的(de)定價能力，還(hái)是從構造的(de)最大(dà)夏普比率平方來(lái)說，隐性因子模型都要優于 ad-hoc 多(duō)因子模型，一如 Cooper et al. (2021)。對(duì)于業界的(de)投資實務來(lái)說，多(duō)因子模型的(de)作用(yòng)找到最能解釋資産預期收益率差異（即最能代表投資機會）的(de)因子，并最大(dà)化(huà)樣本外的(de)條件風險收益特征。而從實證資産定價來(lái)說，多(duō)因子模型的(de)新範式應能夠正面應對(duì)協變量（公司特征）的(de)高(gāo)維數問題，在摒棄稀疏性假設的(de)前提下(xià)研究衆多(duō)高(gāo)度相關的(de)協變量和(hé)資産收益率的(de)關系。

在可(kě)以預見的(de)未來(lái)，無論是對(duì)業界還(hái)是學界的(de)目标，曾經輝煌一時(shí)的(de) ad-hoc 多(duō)因子模型似乎都無法繼續發揮太大(dà)的(de)作用(yòng)。雖然這(zhè)些模型讓多(duō)因子模型的(de)概念深入人(rén)心，但随著(zhe)理(lǐ)論和(hé)實證資産定價研究持續發展，終有那麽一個(gè)時(shí)刻，我們要對(duì)它們說聲拜拜。也(yě)許這(zhè)個(gè)時(shí)刻已經到來(lái)。

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