實證研究 —— A 股上顯著的(de)風格因子

作者：石川

摘要：本文檢驗了(le) A 股市場(chǎng)上主流風格因子的(de)顯著性。以中證 500 指數爲例，顯著的(de)風格因子包括 beta、earnings yield 以及 liquidity。

1 引言

前文《解釋股票(piào)截面預期收益差異的(de)獨立因子》介紹了(le) Review of Financial Studies 上發表的(de) Green, Hand and Zhang (2017) 一文（以下(xià)稱 GHZ）。該文使用(yòng) Fama-MacBeth regression（Fama and MacBeth 1973）同時(shí)檢驗了(le) 94 個(gè)美(měi)股上的(de)因子，并發現了(le) 12 個(gè)能夠解釋股票(piào)預期收益率截面差異的(de)顯著因子。

本文按照(zhào) GHZ 的(de)思路對(duì) A 股上的(de)風格因子進行簡單實證，看看到底哪些因子是顯著的(de)。爲了(le)使實證結果更有指導價值，本文選用(yòng)中國市場(chǎng)上主流的(de)風格因子進行討(tǎo)論。在針對(duì) A 股的(de)因子研究中，MSCI 旗下(xià)的(de) Barra 大(dà)概是最知名的(de) —— 這(zhè)主要因爲它家 marketing 做(zuò)的(de)比較好；比如 MSCI 在今年 8 月(yuè)底在北(běi)京、深圳、香港三地同時(shí)高(gāo)調發布了(le)最新的(de)中國模型 CNE6。除了(le) MSCI 之外，國内也(yě)有一些優秀的(de)風險因子數據提供商，這(zhè)些本土化(huà)的(de)風格因子模型由于更接地氣，也(yě)廣泛被市場(chǎng)認可(kě)。

根據 GHZ 提出的(de)方法，檢驗顯著因子的(de)過程包括如下(xià)步驟：

1. 通(tōng)過在每一期進行截面回歸得(de)到所有風格因子收益率的(de)時(shí)間序列（即 Fama-MacBeth regression）；

2. 對(duì)每個(gè)因子，求出收益率的(de)均值以及均值的(de)标準誤；

3. 計算(suàn)每個(gè)因子的(de) t-statistic 以及 p-value；

4. 由于 multiple testing（即同時(shí)檢驗多(duō)個(gè)因子）的(de)影(yǐng)響，對(duì) p-value 進行修正；

5. 根據修正後的(de) p-value 是否小于 0.05 判斷顯著的(de)因子。

下(xià)面以中證 500 成分(fēn)股爲例，分(fēn)析風格因子在其上的(de)顯著性。行文将逐一說明(míng)上述步驟。

2 因子收益率

在因子顯著性檢驗中，最重要的(de)無疑是獲得(de)靠譜的(de)因子收益率時(shí)序數據。在實證中，我們采用(yòng)米筐科技提供的(de)因子收益率數據。作爲國内領先的(de)量化(huà)投資數據和(hé)解決方案提供商，米筐高(gāo)質量的(de)風險因子模型一共包括 39 個(gè)因子，其中市場(chǎng)聯動因子 1 個(gè)，申萬一級行業因子 28 個(gè)，風格因子 10 個(gè)。此外，爲了(le)更好的(de)捕捉風格因子在不同指數上表現的(de)差異，米筐提供了(le)以常用(yòng)指數（包括滬深 300、中證 500、中證 800）的(de)成分(fēn)股以及全市場(chǎng)爲股票(piào)池的(de)因子收益率數據。

實證的(de)回測期從 2010 年 1 月(yuè) 1 日到 2018 年 11 月(yuè) 30 日。這(zhè) 10 個(gè)風格因子包括：beta、 book-to-price、earnings yield、growth、leverage、liquidity、momentum、nonlinear size、residual volatility 以及 size。這(zhè)些風格因子事實上是 10 大(dà)類因子，每一大(dà)類内部又有進一步的(de)細分(fēn)因子。這(zhè) 10 大(dà)類因子間進行了(le)必要的(de)正交化(huà)處理(lǐ)，相關性較低。本文的(de)實證使用(yòng)這(zhè) 10 大(dà)類因子，而非更細分(fēn)的(de)小因子。在計算(suàn)因子收益率時(shí)，該模型使用(yòng)全部 39 個(gè)因子在每一期進行截面回歸（即 Fama-MacBeth regression），保證了(le)得(de)到的(de)風格因子投資組合是這(zhè)些因子的(de)純因子組合，從而排除對(duì)别的(de)因子的(de)暴露、更好的(de)評價目标因子獲取超額收益的(de)效果。在實證的(de)回測期内，中證 500 指數上因子日頻(pín)收益率如下(xià)所示。

有了(le)收益率的(de)時(shí)間序列，我們接下(xià)來(lái)計算(suàn)收益率均值和(hé)均值的(de)标準誤。

3 收益率均值和(hé)均值标準誤

在 GHZ 這(zhè)篇文章(zhāng)中，檢驗美(měi)股上有效因子的(de)頻(pín)率是月(yuè)頻(pín)。而我們使用(yòng)的(de)因子收益率是日頻(pín) —— 因爲該模型最重要的(de)是對(duì)風險建模。爲了(le)在 A 股上複現 GHZ 的(de)研究思路，我們先進行必要的(de)處理(lǐ)，計算(suàn)月(yuè)頻(pín)因子收益率的(de)期望以及标準誤。對(duì)于收益率，使用(yòng)每個(gè)月(yuè)内所有交易日的(de)累積收益率作爲該因子的(de)月(yuè)頻(pín)收益率。對(duì)月(yuè)頻(pín)收益率在時(shí)序上取均值就得(de)到月(yuè)均收益率，記爲 μ。爲了(le)計算(suàn)收益率均值的(de) standard error，首先需要求出月(yuè)頻(pín)收益率的(de)标準差（standard deviation）。爲此，本文借鑒 Barra 的(de)處理(lǐ)方法，即計算(suàn)日頻(pín)收益率的(de)标準差，并将其推廣到月(yuè)頻(pín)。

在計算(suàn)日頻(pín)收益率的(de)标準差時(shí)，必須要主要到因子收益率在時(shí)間序列上存在很強的(de)自相關性，這(zhè)會影(yǐng)響收益率标準差的(de)計算(suàn)。以 beta、book-to-price、earnings yield 以及 growth 四個(gè)因子爲例，下(xià)圖顯示了(le)其因子收益率的(de)自相關系數随滞後期的(de)變化(huà)。每個(gè)圖中陰影(yǐng)部分(fēn)爲 5% 的(de)置信區(qū)間。在很大(dà)的(de)滞後期範圍内，日頻(pín)因子收益率均存在顯著的(de)自相關性。

由于上述原因，在使用(yòng)因子收益率時(shí)間序列計算(suàn)其标準差時(shí)，必須考慮對(duì)時(shí)序相關性進行修正。爲此，我們采用(yòng) Newey-West 調整（Newey and West 1987），在調整中選擇的(de)最大(dà)滞後期爲 50。令 s_d 表示經 Newey-West 調整後的(de)日頻(pín)因子收益率的(de)标準差（爲了(le)簡化(huà)表達式，省略了(le)表示具體某個(gè)因子的(de)下(xià)标）。在得(de)到日頻(pín)标準差之後，假設每個(gè)月(yuè)内有 22 個(gè)交易日并通(tōng)過下(xià)式得(de)到月(yuè)頻(pín)因子收益率的(de)标準差 s：

最後，使用(yòng)月(yuè)頻(pín)因子收益率的(de)标準差計算(suàn)出因子收益率均值的(de) standard error（n 表示月(yuè)頻(pín)期數）：

通(tōng)過上述處理(lǐ)就可(kě)以求出我們關心的(de)變量，因子月(yuè)均收益率 μ 和(hé)它的(de)标準誤 s.e.(μ)。實證中，中證 500 指數上這(zhè)10個(gè)風格因子的(de) μ 和(hé) s.e.(μ) 分(fēn)别如下(xià)表所示。

下(xià)面就來(lái)計算(suàn) t-statistic 以及 p-value。

4 t-statistic and p-value

有了(le) μ 和(hé) s.e.(μ)，根據 t-statistic 的(de)定義有：

由于月(yuè)頻(pín)期數超過 100，因此 t 分(fēn)布和(hé)正态分(fēn)布十分(fēn)接近，故采用(yòng)正态分(fēn)布将上述 t-statistic 轉化(huà)爲 p-value。就一個(gè)因子是否顯著來(lái)說，我們關注的(de)是它的(de) t-statistic 是否顯著不爲零，其具體取值可(kě)正可(kě)負。從選股的(de)角度來(lái)說，如果一個(gè)因子的(de)收益率顯著爲負，那麽隻需要将它的(de)多(duō)、空對(duì)調過來(lái)使用(yòng)即可(kě)。因此，依照(zhào) GHZ 的(de)計算(suàn)方法，本文計算(suàn)雙尾 p-value。具體的(de)，由 t-statistic 計算(suàn) p-value 的(de)方法如下(xià)：

上式中，Φ 表示标準正态分(fēn)布的(de)累積密度函數。中證 500 上 10 個(gè)風格因子的(de) t-statistic 及 p-value 分(fēn)别爲：

5 修正 p-value

在檢驗因子時(shí)，multiple testing —— 同時(shí)檢驗很多(duō)因子并找到其中最顯著的(de) —— 是一個(gè)嚴重的(de)問題。爲了(le)正确評價因子是否顯著，必須考慮 multiple testing 的(de)影(yǐng)響、修正原始的(de) p-value。常見的(de)修正方法分(fēn)爲兩類：1. 以控制 family-wise error rate（族錯誤率）爲目标的(de) Bonferroni 和(hé) Holm 修正；2. 以控制 false discovery rate 爲目标的(de) BHY 修正。Family-wise error rate（FWER）和(hé) false discovery rate（FDR）代表著(zhe) Type I error 的(de)兩個(gè)不同的(de)定義。Type I error 是錯誤的(de)拒絕原假設，也(yě)叫 false positive 或 false discovery。在我們的(de)上下(xià)文中，它意味著(zhe)錯誤的(de)發現了(le)一個(gè)其實沒用(yòng)的(de)因子。

假設 K 個(gè)因子的(de) p-value 分(fēn)别爲 p_1、p_2、…、p_K。根據事先選定的(de)顯著性水(shuǐ)平，比如 0.05，其中 R 個(gè)因子在單因子測試中被認爲是顯著的(de)。換句話(huà)說，我們有 R 個(gè)發現（discoveries） —— 包括 true discoveries 和(hé) false discoveries。令 N_r ≤ R 代表 false discoveries 的(de)個(gè)數。FWER 和(hé) FDR 的(de)定義如下(xià)：

從定義不難看出，FWER 是至少出現一個(gè) false discovery 的(de)概率，控制它對(duì)圍繞單一因子的(de)假設來(lái)說是相當嚴格的(de)，會大(dà)大(dà)提升 Type II Error。相比之下(xià)，FDR 控制的(de)是 false discoveries 的(de)比例，它允許 N_r 随 R 增加，是一種更溫和(hé)的(de)方法。此外，BHY 方法對(duì)檢驗統計量之間的(de)相關性不敏感，它的(de)适應性更強。無論采用(yòng)哪種方法，修正後的(de) p-value 通(tōng)常大(dà)于單一因子測試中得(de)到的(de) p-value，因此會有相當一部分(fēn)在單一檢驗中存活下(xià)來(lái)的(de)因子在修正後不再顯著。

依照(zhào) GHZ 使用(yòng)的(de)方法，本文采用(yòng) BHY 修正（Benjamini and Hochberg 1995, Benjamini and Yekutieli 2001）。它從諸多(duō)因子的(de)原始 p-value 中最大(dà)的(de)一個(gè)開始逆向修正，公式如下(xià)：

由定義可(kě)知，原始 p-value 最大(dà)的(de)因子調整後的(de) BHY p-value 就是它自己。從第二大(dà) p-value 開始，依次按照(zhào)上述公式計算(suàn)，計算(suàn)其他(tā)因子調整後的(de) BHY p-value。在中證 500 的(de)例子中，這(zhè) 10 個(gè)因子經調整後的(de) p-value 分(fēn)别如下(xià)所示（紅色标注出了(le)調整後 p-value 小于 0.05 的(de)顯著因子）；作爲比較，同時(shí)給出了(le)原始 p-value。

不難發現，所有因子調整後的(de) p-value 均不小于原始 p-value。

6 顯著風格因子

本文第 2 到第 5 小結的(de)分(fēn)析最終在中證 500 上發現了(le)三個(gè)顯著因子： beta、earnings yield 以及 liquidity；而其他(tā)七個(gè)風格因子均無法獨立解釋中證 500 成分(fēn)股預期收益率的(de)截面差異。把這(zhè) 10 個(gè)風格因子的(de)累積收益率作圖如下(xià)。可(kě)以看到，這(zhè)三個(gè)因子（liquidity 需要多(duō)、空對(duì)調過來(lái)用(yòng)）的(de)效果确實強于其他(tā)七個(gè)因子。在使用(yòng)了(le)純因子模型（Fama-MacBeth regression）并考慮了(le) multiple testing 帶來(lái)的(de)修正之後，人(rén)們熟知的(de) book-to-price、size 以及 residual volatility 等因子在中證 500 上則不再顯著。

除了(le)中證 500 指數外，米筐還(hái)提供滬深 300、中證 800 以及全市場(chǎng)上的(de)風格因子收益率。最終，按照(zhào)上述檢驗思路可(kě)以計算(suàn)出不同選股池上的(de)顯著因子，結果如下(xià)。

7 結語

本文使用(yòng) GHZ 的(de)方法檢驗了(le) A 股市場(chǎng)上主流的(de) 10 大(dà)風格因子的(de)顯著性。跨市場(chǎng)而言，顯著的(de)因子包括 beta、earnings yield、liquidity、nonlinear size 以及 residual volatility；但這(zhè)些風格因子在不同指數上的(de)效果也(yě)有所差别。需要說明(míng)的(de)是，無論是 Barra 的(de)中國股票(piào)模型，還(hái)是本土化(huà)的(de)優秀因子模型，它們首先都是一個(gè)風險模型，其次才是也(yě)可(kě)以當作收益率截面模型來(lái)用(yòng)。這(zhè)些模型最重要的(de)作用(yòng)是波動率預測和(hé)投資組合的(de)風險歸因。本文主要的(de)目的(de)是再次梳理(lǐ)檢驗因子顯著性的(de)流程，實證中涉及的(de)這(zhè) 10 大(dà)類因子未必就是最能捕捉 A 股市場(chǎng)上 asset pricing 機制的(de)因子。感興趣的(de)小夥伴可(kě)以嘗試更細分(fēn)的(de)因子。隻不過在 multiple testing 的(de)修正下(xià)，我們預期很多(duō)因子僅僅是“看上去很美(měi)”。

參考文獻

Benjamini, Y. and Y. Hochberg (1995). Controlling the false discovery rate: A practical and powerful approach to multiple testing. Journal of the Royal Statistical Society Series B 57, 289 – 300.

Benjamini, Y. and D. Yekutieli (2001). The control of the false discovery rate in multiple testing under dependency. Annals of Statistics 29, 1165 – 1188.

Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: Empirical tests. Journal of Political Economy 81(3), 607 – 636.

Green, J., J. R. M. Hand, and X. F. Zhang (2017). The characteristics that provide independent information about average U.S. monthly stock returns. Review of Financial Studies 30(12), 4389 – 4436.

Newey, W. K. and K. D. West (1987). A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix. Econometrica 55(3), 703 – 708.

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